Теорема Ланга

В алгебраической геометрии теорема Ланга , представленная Сержем Лангом , гласит: если G — связная гладкая алгебраическая группа над конечным полем $\mathbf {F} _{q}$, затем пишу $\sigma :G\to G,\,x\mapsto x^{q}$ для Фробениуса морфизм многообразий

$G\to G,\,x\mapsto x^{-1}\sigma (x)$ 

является сюръективным. Обратите внимание, что ядро ​​этого отображения (т. е. $G=G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})\to G({\overline {\mathbf {F} _{q}}})$) именно $G(\mathbf {F} _{q})$.

Из теоремы следует, что $H^{1}(\mathbf {F} _{q},G)=H_{\mathrm {{\acute {e}}t} }^{1}(\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q},G)$  исчезает, и, следовательно, любое G -расслоение на $\operatorname {Spec} \mathbf {F} _{q}$ изоморфно тривиальному. Также теорема играет основную роль в теории конечных групп лиева типа .

Не обязательно, чтобы G был аффинным. Таким образом, теорема применима и к абелевым многообразиям (например, эллиптическим кривым ). Фактически, это приложение было первоначальной мотивацией Ланга. Если G аффинен, то фробениус $\sigma$ может быть заменено любым сюръективным отображением с конечным числом неподвижных точек (точное утверждение см. ниже).

Доказательство (приведенное ниже) действительно проходит для любого $\sigma$ индуцирующий нильпотентный оператор на алгебре Ли группы G .

Теорема Ланга – Стейнберга

Стейнберг ( 1968 ) дал полезное усовершенствование теоремы.

Предположим, что — эндоморфизм алгебраической группы G. F Карта Ланга — это карта из G в G, переводящая g в g. ⁻¹ Ф ( г ).

Теорема Ланга – Стейнберга утверждает: что если F сюръективно и имеет конечное число неподвижных точек, а G — связная аффинная алгебраическая группа над алгебраически замкнутым полем, то отображение Ланга сюръективно.

Доказательство теоремы Ланга

Определять:

$f_{a}:G\to G,\quad f_{a}(x)=x^{-1}a\sigma (x).$

Тогда (отождествляя касательное пространство в точке a с касательным пространством в единичном элементе) мы имеем:

$(df_{a})_{e}=d(h\circ (x\mapsto (x^{-1},a,\sigma (x))))_{e}=dh_{(e,a,e)}\circ (-1,0,d\sigma _{e})=-1+d\sigma _{e}$ 

где $h(x,y,z)=xyz$. Отсюда следует $(df_{a})_{e}$ является биективным, поскольку дифференциал Фробениуса $\sigma$ исчезает. С $f_{a}(bx)=f_{f_{a}(b)}(x)$, мы тоже это видим $(df_{a})_{b}$ является биективным для любого b . Пусть X — замыкание образа $f_{1}$. Гладкие точки X ; образуют открытое плотное подмножество существует такой b таким образом, в G , что $f_{1}(b)$ является гладкой точкой X . Поскольку касательное пространство к X в точке $f_{1}(b)$ и касательное пространство к G в точке b имеют одинаковую размерность, отсюда следует, что X и G имеют одинаковую размерность, поскольку G гладкая. Поскольку G связна, образ $f_{1}$ тогда содержит открытое плотное подмножество U группы G . Теперь для произвольного элемента a из G по тем же рассуждениям образ $f_{a}$ содержит открытое плотное подмножество V группы G . Пересечение $U\cap V$ тогда непусто, но тогда это означает, что a есть образ $f_{1}$.

Ссылки

• Спрингер, Т.А. (1998). Линейные алгебраические группы (2-е изд.). Биркхойзер. ISBN  0-8176-4021-5 . OCLC   38179868 .
• Ланг, Серж (1956), «Алгебраические группы над конечными полями», American Journal of Mathematics , 78 : 555–563, doi : 10.2307/2372673 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2372673 , MR   0086367
• Стейнберг, Роберт (1968), Эндоморфизмы линейных алгебраических групп , Мемуары Американского математического общества, № 80, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , MR   0230728