Волоконное произведение схем
В математике , в частности в алгебраической геометрии , расслоенное произведение схем является фундаментальной конструкцией. Оно имеет множество интерпретаций и особых случаев. Например, произведение слоев описывает, как алгебраическое многообразие в одном поле определяет разнообразие в большем поле, или обратный образ семейства многообразий, или слой семейства многообразий. Изменение базы – это тесно связанное понятие.
Определение
[ редактировать ]Категория собой схем представляет широкую область алгебраической геометрии. Плодотворная философия (известная как относительная точка зрения Гротендика ) заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма схем X → Y (называемого схемой X над Y ), а не для одной X. схемы Например, вместо того, чтобы просто изучать кривые , можно изучать семейства кривых по любой базовой схеме Y. алгебраические Действительно, эти два подхода дополняют друг друга.
В частности, под схемой над коммутативным кольцом R понимается схема X вместе с морфизмом X → Spec ( R ). Старое понятие алгебраического многообразия над полем k эквивалентно схеме над k с определенными свойствами. (Существуют разные соглашения относительно того, какие именно схемы следует называть «многообразиями». Один стандартный выбор состоит в том, что многообразие над полем k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k . [1] )
В общем случае морфизм схем X → Y можно представить как семейство схем, параметризованных точками Y . Учитывая морфизм некоторой другой схемы Z в Y , должно существовать семейство схем «обратного хода» Z. над и есть расслоенное произведение X × Y Z → Z. Это
Формально: полезным свойством категории схем является то, что расслоенное произведение всегда существует. [2] То есть для любых морфизмов схем X → Y и Z → Y существует схема X × Y Z с морфизмами на X и Z , что делает диаграмму
коммутативный и универсальный с этим свойством. То есть для любой схемы W с морфизмами на X и Z , чьи композиции с Y равны, существует единственный морфизм из W в X × Y Z , который делает диаграмму коммутирующей. Как всегда в случае универсальных свойств, это условие определяет схему X × Y Z с точностью до единственного изоморфизма, если он существует. Доказательство того, что расслоенные произведения схем всегда существуют, сводит задачу к тензорному произведению коммутативных колец (см. схемы склейки ). В частности, когда X , Y и Z являются аффинными схемами , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( B ) и Z = Spec( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , расслоенное произведение это аффинная схема
Морфизм X × Y Z → Z называется заменой базы или возвратом морфизма X → Y через морфизм Z → Y .
В некоторых случаях расслоенное произведение схем имеет правосопряженное ограничение скаляров .
Интерпретации и особые случаи
[ редактировать ]- В категории схем над полем k произведение k X × Y означает расслоенное произведение X × k Y (что является сокращением от расслоенного произведения над Spec( ) ). Например, произведение аффинных пространств A м и А н над полем k — аффинное пространство A м + н более К.
- Для схемы X над полем k и любым расширением поля E поля k X замена базы E означает расслоенное произведение X × Spec( k ) Spec( E ). Здесь X E схема над E. — Например, если X — кривая в проективной плоскости P 2
R над действительными числами R, определяемыми уравнением xy 2 = 7z 3 , то X C — комплексная кривая в P 2
C определяется тем же уравнением. Многие свойства алгебраического многообразия над полем k можно определить в терминах замены его базы на алгебраическое замыкание поля k , что упрощает ситуацию. - Пусть f : X → Y — морфизм схем, и пусть y — точка из Y . Тогда существует морфизм Spec( ( y ) ) → Y с образом y , где k ( y ) — поле вычетов y k . Слой y f k над y определяется как произведение слоев × Y Spec ( X ( ) ); это схема над полем k ( y ). [3] Эта концепция помогает обосновать грубое представление о морфизме схем X → Y как семейства схем, параметризованных Y .
- Пусть X , Y и Z — схемы над полем k с морфизмами X → Y и Z → Y над k . Тогда множество k - рациональных точек расслоенного произведения X x Y Z легко описать:
- То есть k -точка X x Y Z может быть отождествлена с парой k -точек X и Z, одинаковый образ в Y. имеющих Это следует из универсального свойства расслоенного произведения схем.
- Если X и Z — замкнутые подсхемы схемы Y , то послойное произведение X x Y Z — это в точности пересечение X ∩ Z с его естественной схемной структурой. [4] То же самое касается открытых подсхем.
Смена базы и спуск
[ редактировать ]Некоторые важные свойства P морфизмов схем сохраняются при произвольной замене базы . То есть, если X → Y обладает свойством P и Z → Y — любой морфизм схем, то замена базы X x Y Z → Z обладает свойством P. Например, плоские морфизмы , гладкие морфизмы , собственные морфизмы и многие другие классы. морфизмов сохраняются при произвольной замене базы. [5]
Слово « спуск» относится к обратному вопросу: если обратный морфизм X x Y Z → Z обладает некоторым свойством P, должен ли исходный морфизм X → Y обладать свойством P? Очевидно, что это вообще невозможно: например, Z может быть пустой схемой, и в этом случае обратный морфизм теряет всю информацию об исходном морфизме. Но если морфизм Z → Y плоский, сюръективный (также называемый плоским ) и квазикомпактный , то многие свойства действительно спускаются от Z к Y. строго Свойства, которые нисходят по убыванию, включают плоскостность, гладкость, правильность и многие другие классы морфизмов. [6] Эти результаты составляют часть Гротендика теории истинно плоского спуска .
Пример: для любого расширения поля k ⊂ E морфизм Spec( E ) → Spec( k ) строго плоский и квазикомпактный. Таким образом, из упомянутых результатов спуска следует, что схема X над k является гладкой над k тогда и только тогда, когда замена базы X E гладкая над E . То же самое касается правильности и многих других свойств.
Примечания
[ редактировать ]- ^ Проект Stacks, тег 020D .
- ^ Гротендик, EGA I, теорема 3.2.6; Хартсхорн (1977), Теорема II.3.3.
- ^ Хартсхорн (1977), раздел II.3.
- ^ Проект Stacks, тег 0C4I .
- ^ Проект Stacks, тег 02WE .
- ^ Проект Stacks, тег 02YJ .
Ссылки
[ редактировать ]- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
- Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157
Внешние ссылки
[ редактировать ]- Авторы проекта Stacks, The Stacks Project