Jump to content

Волоконное произведение схем

В математике , в частности в алгебраической геометрии , расслоенное произведение схем является фундаментальной конструкцией. Оно имеет множество интерпретаций и особых случаев. Например, произведение слоев описывает, как алгебраическое многообразие в одном поле определяет разнообразие в большем поле, или обратный образ семейства многообразий, или слой семейства многообразий. Изменение базы – это тесно связанное понятие.

Определение

[ редактировать ]

Категория собой схем представляет широкую область алгебраической геометрии. Плодотворная философия (известная как относительная точка зрения Гротендика ) заключается в том, что большая часть алгебраической геометрии должна быть разработана для морфизма схем X Y (называемого схемой X над Y ), а не для одной X. схемы Например, вместо того, чтобы просто изучать кривые , можно изучать семейства кривых по любой базовой схеме Y. алгебраические Действительно, эти два подхода дополняют друг друга.

В частности, под схемой над коммутативным кольцом R понимается схема X вместе с морфизмом X Spec ( R ). Старое понятие алгебраического многообразия над полем k эквивалентно схеме над k с определенными свойствами. (Существуют разные соглашения относительно того, какие именно схемы следует называть «многообразиями». Один стандартный выбор состоит в том, что многообразие над полем k означает целочисленную разделенную схему конечного типа над k . [1] )

В общем случае морфизм схем X Y можно представить как семейство схем, параметризованных точками Y . Учитывая морфизм некоторой другой схемы Z в Y , должно существовать семейство схем «обратного хода» Z. над и есть расслоенное произведение X × Y Z Z. Это

Формально: полезным свойством категории схем является то, что расслоенное произведение всегда существует. [2] То есть для любых морфизмов схем X Y и Z Y существует схема X × Y Z с морфизмами на X и Z , что делает диаграмму

коммутативный и универсальный с этим свойством. То есть для любой схемы W с морфизмами на X и Z , чьи композиции с Y равны, существует единственный морфизм из W в X × Y Z , который делает диаграмму коммутирующей. Как всегда в случае универсальных свойств, это условие определяет схему X × Y Z с точностью до единственного изоморфизма, если он существует. Доказательство того, что расслоенные произведения схем всегда существуют, сводит задачу к тензорному произведению коммутативных колец (см. схемы склейки ). В частности, когда X , Y и Z являются аффинными схемами , поэтому X = Spec( A ), Y = Spec( B ) и Z = Spec( C ) для некоторых коммутативных колец A , B , C , расслоенное произведение это аффинная схема

Морфизм X × Y Z Z называется заменой базы или возвратом морфизма X Y через морфизм Z Y .

В некоторых случаях расслоенное произведение схем имеет правосопряженное ограничение скаляров .

Интерпретации и особые случаи

[ редактировать ]
  • В категории схем над полем k произведение k X × Y означает расслоенное произведение X × k Y (что является сокращением от расслоенного произведения над Spec( ) ). Например, произведение аффинных пространств A м и А н над полем k — аффинное пространство A м + н более К.
  • Для схемы X над полем k и любым расширением поля E поля k X замена базы E означает расслоенное произведение X × Spec( k ) Spec( E ). Здесь X E схема над E. — Например, если X — кривая в проективной плоскости P 2
    R
    над действительными числами R, определяемыми уравнением xy 2 = 7z 3 , то X C комплексная кривая в P 2
    C
    определяется тем же уравнением. Многие свойства алгебраического многообразия над полем k можно определить в терминах замены его базы на алгебраическое замыкание поля k , что упрощает ситуацию.
  • Пусть f : X Y — морфизм схем, и пусть y — точка из Y . Тогда существует морфизм Spec( ( y ) ) → Y с образом y , где k ( y ) — поле вычетов y k . Слой y f k над y определяется как произведение слоев × Y Spec ( X ( ) ); это схема над полем k ( y ). [3] Эта концепция помогает обосновать грубое представление о морфизме схем X Y как семейства схем, параметризованных Y .
  • Пусть X , Y и Z — схемы над полем k с морфизмами X Y и Z Y над k . Тогда множество k - рациональных точек расслоенного произведения X x Y Z легко описать:
То есть k -точка X x Y Z может быть отождествлена ​​с парой k -точек X и Z, одинаковый образ в Y. имеющих Это следует из универсального свойства расслоенного произведения схем.
  • Если X и Z — замкнутые подсхемы схемы Y , то послойное произведение X x Y Z — это в точности пересечение X Z с его естественной схемной структурой. [4] То же самое касается открытых подсхем.

Смена базы и спуск

[ редактировать ]

Некоторые важные свойства P морфизмов схем сохраняются при произвольной замене базы . То есть, если X Y обладает свойством P и Z Y — любой морфизм схем, то замена базы X x Y Z Z обладает свойством P. Например, плоские морфизмы , гладкие морфизмы , собственные морфизмы и многие другие классы. морфизмов сохраняются при произвольной замене базы. [5]

Слово « спуск» относится к обратному вопросу: если обратный морфизм X x Y Z Z обладает некоторым свойством P, должен ли исходный морфизм X Y обладать свойством P? Очевидно, что это вообще невозможно: например, Z может быть пустой схемой, и в этом случае обратный морфизм теряет всю информацию об исходном морфизме. Но если морфизм Z Y плоский, сюръективный (также называемый плоским ) и квазикомпактный , то многие свойства действительно спускаются от Z к Y. строго Свойства, которые нисходят по убыванию, включают плоскостность, гладкость, правильность и многие другие классы морфизмов. [6] Эти результаты составляют часть Гротендика теории истинно плоского спуска .

Пример: для любого расширения поля k E морфизм Spec( E ) → Spec( k ) строго плоский и квазикомпактный. Таким образом, из упомянутых результатов спуска следует, что схема X над k является гладкой над k тогда и только тогда, когда замена базы X E гладкая над E . То же самое касается правильности и многих других свойств.

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Проект Stacks, тег 020D .
  2. ^ Гротендик, EGA I, теорема 3.2.6; Хартсхорн (1977), Теорема II.3.3.
  3. ^ Хартсхорн (1977), раздел II.3.
  4. ^ Проект Stacks, тег 0C4I .
  5. ^ Проект Stacks, тег 02WE .
  6. ^ Проект Stacks, тег 02YJ .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 7d30584be5250efaa0d9e6e05359613c__1660674960
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/7d/3c/7d30584be5250efaa0d9e6e05359613c.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Fiber product of schemes - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)