Ограничение Вейля

В математике алгебраического ограничение скаляров (также известное как « ограничение Вейля ») — это функтор , который для любого конечного полей L k /k и любого многообразия X над L порождает другое многообразие Res _{L / k} X , определенное над расширения . Это полезно для сведения вопросов о сортах на больших полях к вопросам о более сложных сортах на меньших полях.

Определение

Пусть L/k — конечное расширение полей, а X — многообразие, определенное над L . Функтор $\operatorname {Res} _{L/k}X$ из к - схемы ^на к множествам определяется

$\operatorname {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)$

(В частности, k -рациональные точки $\operatorname {Res} _{L/k}X$ являются L -рациональными точками X. ) Многообразие, представляющее этот функтор, называется ограничением скаляров и уникально с точностью до единственного изоморфизма, если оно существует.

С точки зрения пучков множеств ограничение скаляров — это просто продвижение вперед по морфизму $\operatorname {Spec} (L)\to \operatorname {Spec} (k)$ и правосопряжён к расслоенному произведению схем , поэтому приведенное выше определение можно перефразировать в гораздо большей общности. В частности, расширение полей можно заменить любым морфизмом кольцевых топосов , а гипотезы об X можно ослабить, например, до стеков. Это происходит за счет меньшего контроля над поведением ограничения скаляров.

Альтернативное определение

Позволять $h:S'\to S$ быть морфизмом схем . Для $S'$-схема $X$, если контравариантный функтор

$\operatorname {Res} _{S'/S}(X):\mathbf {Sch/S} ^{op}\to \mathbf {Set} ,\quad T\mapsto \operatorname {Hom} _{S'}(T\times _{S}S',X)$

представима , то назовем соответствующее $S$-схема, которую мы также обозначаем через $\operatorname {Res} _{S'/S}(X)$, ограничение Вейля $X$ относительно $h$.

Где $\mathbf {Sch/S} ^{op}$ обозначает двойственную категорию схем над фиксированной схемой $S$.

Характеристики

Для любого конечного расширения полей ограничение скаляров переводит квазипроективные многообразия в квазипроективные многообразия. Размерность полученного многообразия умножается на степень расширения.

При соответствующих гипотезах (например, плоской, собственной, конечно представимой) любой морфизм $T\to S$ алгебраических пространств дает ограничение скалярного функтора, который переводит алгебраические стеки в алгебраические стеки, сохраняя такие свойства, как Артина, Делиня-Мамфорда и представимость.

Примеры и приложения

Простые примеры:

1. Пусть L — конечное расширение k степени s . Затем $\operatorname {Res} _{L/k}(\operatorname {Spec} (L))=\operatorname {Spec} (k)$ и $\operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {A} ^{1}$ является s -мерным аффинным пространством $\mathbb {A} ^{s}$ над Spec k .
2. Если X — аффинное L -многообразие, определенное формулой $$X=\operatorname {Spec} L[x_{1},\dots ,x_{n}]/(f_{1},\dotsc ,f_{m});$$мы можем написать $\operatorname {Res} _{L/k}X$ как спецификация $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$, где $y_{i,j}$ ( $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$) — новые переменные, а $g_{l,r}$ ( $1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$) являются полиномами от $y_{i,j}$ задано путем взятия k -базиса $e_{1},\dotsc ,e_{s}$ L и настройка $x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\dotsb +y_{i,s}e_{s}$ и $f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dotsb +g_{t,s}e_{s}$.

Если схема является групповой, то любое ее ограничение Вейля будет таким же. Это часто используется в теории чисел, например:

1. Тор $$\mathbb {S} :=\operatorname {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m}$$ где $\mathbb {G} _{m}$ обозначает мультипликативную группу, играет существенную роль в теории Ходжа, поскольку категория Таннака вещественных структур Ходжа эквивалентна категории представлений $\mathbb {S} .$ Реальные точки имеют структуру группы Ли , изоморфную $\mathbb {C} ^{\times }$. См. группу Мамфорда-Тейта .
2. Ограничение Вейля $\operatorname {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ многообразия (коммутативной) группы $\mathbb {G}$ снова является (коммутативным) групповым многообразием размерности $[L:k]\dim \mathbb {G} ,$ если L сепарабельно над k .
3. Ограничение скаляров на абелевы многообразия (например, эллиптические кривые ) дает абелевы многообразия, если L сепарабельно над k . Джеймс Милн использовал это, чтобы свести гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера об абелевых многообразиях над всеми числовыми полями к той же гипотезе о рациональных числах.
4. В криптографии эллиптических кривых использует атака спуска Вейля ограничение Вейля для преобразования задачи дискретного логарифмирования на эллиптической кривой над конечным полем расширения L/K в задачу дискретного логарифмирования на многообразии Якоби гиперэллиптической кривой над базовым полем K. , которую потенциально легче решить из-за меньшего размера K.

Ограничения Вейля против преобразований Гринберга

Ограничение скаляров аналогично преобразованию Гринберга, но не обобщает его, поскольку кольцо векторов Витта на коммутативной алгебре A , вообще говоря, не является A -алгеброй.

Ссылки

Исходной ссылкой является раздел 1.3 лекций Вейля 1959–1960 годов, опубликованный как:

• Андре Вейль. «Адели и алгебраические группы», Прогресс в математике. 23 , Биркхойзер, 1982. Конспекты лекций, прочитанных в 1959–1960 годах.

Другие ссылки:

• Зигфрид Босх, Вернер Люткебомерт, Мишель Рейно. «Модели Нерона», Springer-Verlag, Берлин, 1990.
• Джеймс С. Милн. «К арифметике абелевых многообразий», Инвент. Математика. 17 (1972) 177-190.
• Мартин Олссон. «Стеки Hom и ограничение скаляров», Duke Math J., 134 (2006), 139–164. http://math.berkeley.edu/~molsson/homstackfinal.pdf
• Бьорн Пунен. «Рациональные точки зрения на разновидности», http://math.mit.edu/~poonen/papers/Qpoints.pdf.
• Найджел Смарт , страница спуска Вейля с библиографией, https://homes.esat.kuleuven.be/~nsmart/weil_descent.html