Противоположная категория

В теории категорий , разделе математики , противоположная категория или двойственная категория C. ^на данной категории C формируется путем обращения морфизмов , т.е. замены источника и цели каждого морфизма. Если дважды выполнить перестановку, получится исходная категория, поэтому противоположностью противоположной категории является сама исходная категория. В символах, $(C^{\text{op}})^{\text{op}}=C$.

Примеры

• Примером может служить изменение направления неравенств в частичном порядке . Таким образом, если X — множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ ^на к

х ≤ ^на y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Новый порядок обычно называют двойным порядком ≤ и чаще всего обозначается ≥. Следовательно, двойственность играет важную роль в теории порядка, и каждая чисто теоретико-порядковая концепция имеет двойственную. Например, существуют противоположные пары ребенок/родитель, потомок/предок, нижняя граница / верхняя граница , нижний уровень / верхний уровень , идеал / фильтр и т. д. Эта теоретико-порядковая двойственность, в свою очередь, является частным случаем построения противоположных категорий, поскольку каждая Упорядоченный набор можно понимать как категорию.

• Учитывая полугруппу ( S , ·), противоположную полугруппу обычно определяют как ( S , ·) ^на = ( S где x * y ≔ y · x для всех x , y в S. , * ) Поэтому и для полугрупп существует строгий принцип двойственности. Ясно, что та же конструкция работает и для групп и известна и в теории колец , где она применяется к мультипликативной полугруппе кольца, чтобы получить противоположное кольцо. Опять же, этот процесс можно описать, дополняя полугруппу до моноида, взяв соответствующую противоположную категорию и затем, возможно, удалив единицу из этого моноида.
• Категория булевых алгебр и булевых гомоморфизмов эквивалентна непрерывных противоположной категории пространств Стоуна и функций .
• Категория аффинных схем эквивалентна . противоположной категории колец коммутативных
• ограничивается Двойственность Понтрягина эквивалентностью между категорией компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и противоположностью категории (дискретных) абелевых групп.
• По теореме Гельфанда–Наймарка категория локализуемых измеримых пространств (с измеримыми отображениями ) эквивалентна категории коммутативных алгебр фон Неймана (с нормальными с единицей гомоморфизмами *-алгебр ).

Свойства

Напротив консервирует продукты:

$(C\times D)^{\text{op}}\cong C^{\text{op}}\times D^{\text{op}}$ (см. категорию продукта )

Противоположность сохраняет функторы :

$(\mathrm {Funct} (C,D))^{\text{op}}\cong \mathrm {Funct} (C^{\text{op}},D^{\text{op}})$ (см. категорию функтора , противоположный функтор )

Напротив консервируют ломтики:

$(F\downarrow G)^{\text{op}}\cong (G^{\text{op}}\downarrow F^{\text{op}})$ (см. категорию запятой )

См. также

• Двойной объект
• Двойной (теория категорий)
• Двойственность (математика)
• Сопряженный функтор
• Контравариантный оператор
• Противоположный функтор

Ссылки

• Противоположная категория в n Lab
• Данилов, В.И. (2001) [1994], «Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мак Лейн, Сондерс (1978). Категории для работающего математика (второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN  1441931236 . OCLC   851741862 .
• Аводи, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. стр. 53–55 . ISBN  978-0199237180 . OCLC   740446073 .