Происхождение (математика)

В математике идея спуска расширяет интуитивную идею «склеивания» в топологии . Поскольку связующим звеном топологов является использование отношений эквивалентности в топологических пространствах , теория начинается с некоторых идей по идентификации.

Спуск векторных расслоений [ править ]

Случай построения векторных расслоений из данных о дизъюнктном объединении топологических пространств — это простой отправной пункт.

Предположим, X — топологическое пространство, покрытое открытыми множествами X _i . Пусть Y — дизъюнктное объединение i X _, так что существует естественное отображение

p:Y\rightarrow X.

Мы думаем о Y » X , с проекцией X _i «вниз» на X. как о « над В этом языке спуск подразумевает векторное расслоение на Y (то есть расслоение, заданное на каждом X _i ), и наша задача состоит в том, чтобы «склеить» эти расслоения Vi _, чтобы создать одно расслоение V на X. Мы имеем в виду, что V должен, будучи ограничен X _i , возвращать Vi _с точностью до изоморфизма расслоения.

Необходимые данные тогда следующие: на каждом перекрытии

X_{ij},

пересечение X _i и X _j , нам потребуются отображения

f_{ij}:V_{i}\rightarrow V_{j}

использовать для идентификации там V _i и V _j , поволокно за волокном. Далее, f _ij должен удовлетворять условиям, основанным на рефлексивных, симметричных и транзитивных свойствах отношения эквивалентности (условиям склейки). Например, композиция

f_{jk}\circ f_{ij}=f_{ik}

для транзитивности (и выбора подходящих обозначений). F становится _ii должны быть тождественными картами, и, следовательно, симметрия $f_{ij}=f_{ji}^{-1}$ (так что это послойный изоморфизм).

Это действительно стандартные условия в расслоений теории (см. карту переходов ). Следует отметить одно важное применение — смену волокон : если fij _— это все, что вам нужно для создания пучка, то существует множество способов создания связанного пучка . То есть мы можем взять по существу одни и те же , _fij действующие на разные слои.

Еще одним важным моментом является связь с цепным правилом : обсуждение способа построения тензорных полей можно резюмировать так: «Как только вы научитесь спускаться по касательному расслоению , для которого транзитивность является цепным правилом Якобиана , все остальное просто». естественность тензорных конструкций».

Чтобы приблизиться к абстрактной теории, нам необходимо интерпретировать непересекающееся объединение

X_{ij}

теперь как

Y\times _{X}Y,

произведение волокон (здесь эквалайзер ) двух копий проекции p. Расслоения на X _ij , которыми мы должны управлять, — это V ′ и V ", обратные образы к слою V через два разных отображения проекции на X .

Следовательно, перейдя на более абстрактный уровень, можно устранить комбинаторную сторону (то есть исключить индексы) и получить нечто, имеющее смысл для p, а не той специальной формы покрытия, с которой мы начали. Тогда это позволяет использовать подход теории категорий : остается только заново выразить условия склейки.

История [ править ]

Идеи были развиты в период 1955–1965 годов (примерно в то время, когда требования алгебраической топологии были выполнены, а требования алгебраической геометрии — нет). С точки зрения абстрактной теории категорий работа комонадов Бека представляла собой суммирование этих идей; см . теорему о монадичности Бека .

Остры трудности алгебраической геометрии с переходом к фактору. Актуальность (говоря так) проблемы для геометров объясняет название Гротендика семинара 1959 года TDTE по теоремам спуска и методам существования (см. FGA ), связывающее вопрос спуска с вопросом о представимых функторах в алгебраической геометрии в вообще, и проблема модулей в частности.

Полностью верный спуск [ править ]

Позволять $p:X'\to X$ . Каждый пучок F по X порождает данные спуска:

(F'=p^{*}F,\alpha :p_{0}^{*}F'\simeq p_{1}^{*}F'),\,p_{i}:X''=X'\times _{X}X'\to X'

где $\alpha$ удовлетворяет условию коцикла: ^[1]

p_{02}^{*}\alpha =p_{12}^{*}\alpha \circ p_{01}^{*}\alpha ,\,p_{ij}:X'\times _{X}X'\times _{X}X'\to X'\times _{X}X'

.

Полностью верный нисхождение говорит: $F\mapsto (F',\alpha )$ полностью верен. Теория спуска описывает условия, при которых происходит полностью точный спуск.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Данные о спуске квазикогерентных пучков, Stacks Project

SGA 1 , Глава VIII – это основная ссылка.
Зигфрид Бош; Вернер Люткебомерт; Мишель Рейно (1990). Модели Нерона . Результаты математики и их границы. 3-й эпизод. Том 21. Шпрингер-Верлаг . ISBN 3540505873 . Глава о теории происхождения более доступна, чем SGA.
Педиккио, Мария Кристина; Толен, Уолтер, ред. (2004). Категориальные основания. Специальные темы по порядку, топологии, алгебре и теории пучков . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 97. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-83414-7 . Збл 1034.18001 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Другие возможные источники включают в себя:

Анджело Вистоли, Заметки о топологиях Гротендика, расслоенных категориях и теории спуска arXiv : math.AG/0412512
Матье Романьи, Прямой путь к алгебраическим стекам

Внешние ссылки [ править ]

Что такое теория происхождения?

[1] Данные о спуске квазикогерентных пучков, Stacks Project

[1]