Соединение Гротендика

В алгебраической геометрии и синтетической дифференциальной геометрии — связь Гротендика это способ просмотра связей с точки зрения данных о спуске из бесконечно малых окрестностей диагонали.

и

Связность Гротендика является обобщением связи Гаусса–Манина, построенной аналогично тому, как связность Эресмана обобщает связность Кошуля . Сама конструкция должна удовлетворять требованию геометрической инвариантности , которую можно рассматривать как аналог ковариантности для более широкого класса структур, включая схемы алгебраической геометрии. Таким образом, связь в определенном смысле должна существовать в естественном пучке топологии Гротендика . В этом разделе мы обсудим, как описать связность Эресмана в терминах теории пучков как связность Гротендика.

Позволять $M$ быть многообразием и $\pi :E\to M$ сюръективное что погружение , так $E$ многообразие, расслоенное над $M.$ Позволять $J^{1}(M,E)$ первого порядка — струйный пучок секций $E.$ Это можно рассматривать как пучок $M$ или расслоение по всему пространству $E.$ В последней интерпретации связность Эресмана — это сечение расслоения (над $E$) $J^{1}(M,E)\to E.$ Таким образом, задача состоит в том, чтобы получить внутреннее описание пучка сечений этого векторного расслоения.

Решение Гротендика состоит в том, чтобы рассмотреть диагональное вложение. $\Delta :M\to M\times M.$ Сноп $I$ идеалов $\Delta$ в $M\times M$ состоит из функций на $M\times M$ которые исчезают по диагонали. Большая часть бесконечно малой геометрии $M$ может быть реализовано с точки зрения $I.$ Например, $\Delta ^{*}\left(I,I^{2}\right)$ — пучок сечений кокасательного расслоения . Можно определить бесконечно малую окрестность первого порядка $M^{(2)}$ из $\Delta$ в $M\times M$ быть подсхемой, соответствующей пучку идеалов $I^{2}.$ (Описание координат см. ниже.)

Есть пара проекций $p_{1},p_{2}:M\times M\to M$ заданные проекцией соответствующие факторы декартова произведения, которые ограничивают возможность давать проекции $p_{1},p_{2}:M^{(2)}\to M.$ Теперь можно сформировать откат расслоенного пространства $E$ по тому или иному из $p_{1}$ или $p_{2}.$ В общем, не существует канонического способа идентифицировать $p_{1}^{*}E$ и $p_{2}^{*}E$ друг с другом. Связность Гротендика — это заданный изоморфизм между этими двумя пространствами. Можно приступить к определению кривизны и p-кривизны связи на одном и том же языке.

См. также

• Связь (математика) - функция, которая сообщает, как изменяется определенная переменная при движении вдоль определенных точек пространства.

Ссылки

1. Оссерман Б., «Соединения, кривизна и p-кривизна», препринт .
2. Кац Н., «Нильпотентные связности и теорема монодромии», IHES Publ. Математика. 39 (1970) 175–232.