Подключение (основной пакет)

Эта статья посвящена соединениям на основных пакетах. Сведения о других видах связей в математике см. в разделе Связь (математика) .

В математике , и особенно в дифференциальной геометрии и калибровочной теории , соединение — это устройство, определяющее понятие параллельного переноса на связке; то есть способ «соединить» или идентифицировать волокна в близлежащих точках. Основная -связность G на главном G-расслоении $P$ над гладким многообразием $M$ это особый тип связи, который совместим с действием группы $G$.

Основное соединение можно рассматривать как частный случай понятия соединения Эресмана , и его иногда называют основным соединением Эресмана . Это приводит к появлению (Эресмановских) связей на любом пучке волокон, связанном с $P$ через связанную конструкцию пучка . В частности, на любом ассоциированном векторном расслоении главная связь индуцирует ковариантную производную — оператор, который может дифференцировать секции этого расслоения по касательным направлениям в базовом многообразии. Главные связности обобщают на произвольные главные расслоения понятие линейной связности на расслоении многообразия реперов гладкого .

Формальное определение

Форма подключения основного пакета $\omega$ можно рассматривать как оператор проектирования на касательном расслоении $TP$ основного пакета $P$. Ядро формы связности задается горизонтальными подпространствами для соответствующей связности Эресмана .

Соединение эквивалентно определяется выбором горизонтального подпространства. $H_{p}\subset T_{p}P$ для каждого касательного пространства к главному расслоению $P$.

Основное связное соединение должно быть совместимо с правым групповым действием $G$ на $P$. Это можно представить как правильное умножение $R_{g}$ переводя горизонтальные подпространства друг в друга. Эта эквивариантность горизонтальных подпространств $H\subset TP$ интерпретируется с точки зрения формы соединения $\omega$ приводит к его характерным свойствам эквивариантности.

Позволять $\pi :P\to M$ — гладкое главное G -расслоение над гладким многообразием $M$. Тогда директор $G$-подключение включено $P$ является дифференциальной 1-формой на $P$ со значениями в алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ который $G$-эквивариантен и воспроизводит генераторы алгебры Ли фундаментальных векторных полей на $P$.

Другими словами, это элемент ω из $\Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})\cong C^{\infty }(P,T^{*}P\otimes {\mathfrak {g}})$ такой, что

1. ${\hbox{Ad}}_{g}(R_{g}^{*}\omega )=\omega$ где $R_{g}$ обозначает правильное умножение на $g$, и $\operatorname {Ad} _{g}$ является присоединенным представлением на ${\mathfrak {g}}$ (явно, $\operatorname {Ad} _{g}X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}$);
2. если $\xi \in {\mathfrak {g}}$ и $X_{\xi }$ — векторное поле на P, связанное с ξ путем дифференцирования действия G на P , тогда $\omega (X_{\xi })=\xi$ (идентично на $P$).

Иногда термин «принципал» $G$-соединение относится к паре $(P,\omega )$ и $\omega$ сама называется формой связи или 1-формой связи главной связи.

Замечания по расчетам

Наиболее известные нетривиальные вычисления принципала $G$-связности осуществляются с однородными пространствами из-за тривиальности (ко)касательного расслоения. (Например, пусть $G\to H\to H/G$, быть директором $G$-связывать $H/G$) Это означает, что 1-формы на тотальном пространстве канонически изоморфны $C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*})$, где ${\mathfrak {g}}^{*}$ является двойственной алгеброй Ли, следовательно $G$-связности находятся в биекции с $C^{\infty }(H,{\mathfrak {g}}^{*}\otimes {\mathfrak {g}})^{G}$.

с

Директор $G$-связь $\omega$ на $P$ определяет связность Эресмана на $P$ следующим образом. Прежде всего отметим, что фундаментальные векторные поля, генерирующие $G$ действие по $P$ обеспечить изоморфизм расслоения (покрывающий тождество $P$) из комплекта $V$ к $P\times {\mathfrak {g}}$, где $V=\ker(d\pi )$ является ядром касательного отображения ${\mathrm {d} }\pi \colon TP\to TM$ который называется вертикальным расслоением $P$. Отсюда следует, что $\omega$ однозначно определяет карту пакета $v:TP\rightarrow V$ какая идентичность на $V$. Такая проекция $v$ однозначно определяется своим ядром, которое представляет собой гладкое подрасслоение $H$ из $TP$ (называемый горизонтальным расслоением ) такой, что $TP=V\oplus H$. Это связь Эресмана.

И наоборот, связность Эресмана $H\subset TP$ (или $v:TP\rightarrow V$) на $P$ определяет принципала $G$-связь $\omega$ тогда и только тогда, когда это $G$-эквивариантны в том смысле, что $H_{pg}=\mathrm {d} (R_{g})_{p}(H_{p})$.

Отступите через раздел тривиализации

Тривиализирующее сечение главного расслоения $P$ задается s разделом $P$ над открытым подмножеством $U$ из $M$. Тогда откат s ^* ω главной связности является 1-формой на $U$ со значениями в ${\mathfrak {g}}$.Если раздел s заменяется новым разделом sg , определяемым формулой ( sg )( x ) = s ( x ) g ( x ), где g : M → G — гладкое отображение, то $(sg)^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g)^{-1}s^{*}\omega +g^{-1}dg$. Основная связь однозначно определяется этим семейством ${\mathfrak {g}}$-значные 1-формы, и эти 1-формы также называются формами соединения или 1-формами соединения , особенно в старой или более ориентированной на физику литературе.

Пакет основных соединений

Группа $G$ действует на касательном расслоении $TP$ при правильном переводе. Факторпространство которое TP / G также является многообразием и наследует структуру расслоения над TM , будет обозначаться dπ : TP / G → TM . Пусть ρ: TP / G → M проекция на M. — Слои расслоения TP / G под проекцией ρ несут аддитивную структуру.

Расслоение TP / G называется расслоением главных связностей ( Кобаяши, 1957 ). Сечение в Γ dπ: TP / G → TM такое, что Γ : TM → TP / G линейным морфизмом векторных расслоений над M , можно отождествить с главной связностью P. является И наоборот, главная связь, определенная выше, порождает такое сечение Γ в TP / G .

Наконец, пусть Γ — главная связность в этом смысле. Пусть q : TP → TP / G — фактор-отображение. Горизонтальное распределение связи – это пучок

$H=q^{-1}\Gamma (TM)\subset TP.$ Мы снова видим связь с горизонтальным расслоением и, следовательно, связность Эресмана.

Аффинное свойство

Если ω и ω ′ — главные связности на главном расслоении P , то разность ω ′ − ω является ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма на P, которая не только G -эквивариантна, но и горизонтальна в том смысле, что она обращается в нуль на любом сечении вертикального расслоения V группы P . Следовательно, он базовый и, следовательно, определяется 1-формой на M со значениями в присоединенном расслоении

${\mathfrak {g}}_{P}:=P\times ^{G}{\mathfrak {g}}.$

Обратно, любая такая форма определяет (посредством обратного образа) G -эквивариантную горизонтальную 1-форму на P , и пространство главных G -связностей является аффинным пространством для этого пространства 1-форм.

Примеры

Связь Маурера-Картана

Для тривиального принципала $G$-пучок $\pi :E\to X$ где $E=G\times X$, существует каноническая связь ^{стр. 49}

$\omega _{MC}\in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})$

называется связью Маурера-Картана. Оно определяется следующим образом: для точки $(g,x)\in G\times X$ определять

$(\omega _{MC})_{(g,x)}=(L_{g^{-1}}\circ \pi _{1})_{*}$ для $x\in X,g\in G$

что представляет собой композиция

$T_{(g,x)}E\xrightarrow {\pi _{1*}} T_{g}G\xrightarrow {(L_{g^{-1}})_{*}} T_{e}G={\mathfrak {g}}$

определение 1-формы. Обратите внимание, что

$\omega _{0}=(L_{g^{-1}})_{*}:T_{g}G\to T_{e}G={\mathfrak {g}}$

является формой Маурера-Картана на группе Ли. $G$ и $\omega _{MC}=\pi _{1}^{*}\omega _{0}$.

Тривиальный комплект

Для тривиального принципала $G$-пучок $\pi :E\to X$, раздел личности $i:X\to G\times X$ данный $i(x)=i(e,x)$ определяет соответствие 1-1

$i^{*}:\Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})\to \Omega ^{1}(X,{\mathfrak {g}})$

между соединениями на $E$ и ${\mathfrak {g}}$-значные 1-формы на $X$^{стр. 53} . Для ${\mathfrak {g}}$-значная 1-форма $A$ на $X$, существует единственная 1-форма ${\tilde {A}}$ на $E$ такой, что

1. ${\tilde {A}}(X)=0$ для $X\in T_{x}E$ вертикальный вектор
2. $R_{g}^{*}{\tilde {A}}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}$ для любого $g\in G$

Тогда, учитывая эту 1-форму, связность на $E$ можно построить, взяв сумму

$\omega _{MC}+{\tilde {A}}$

обеспечивая реальную связь на $E$. Эту уникальную 1-форму можно построить, сначала рассматривая ее ограниченной $(e,x)$ для $x\in X$. Затем, ${\tilde {A}}_{(e,x)}$ определяется $A$ потому что $T_{(x,e)}E=ker(\pi _{*})\oplus i_{*}T_{x}X$ и мы можем получить ${\tilde {A}}_{(g,x)}$взяв

${\tilde {A}}_{(g,x)}=R_{g}^{*}{\tilde {A}}_{(e,x)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ {\tilde {A}}_{(e,x)}$

Аналогично, форма

${\tilde {A}}_{(x,g)}={\text{Ad}}(g^{-1})\circ A_{x}\circ \pi _{*}:T_{(x,g)}E\to {\mathfrak {g}}$

определяет 1-форму, дающую свойства 1 и 2, перечисленные выше.

Распространение этого на нетривиальные пакеты

Это утверждение можно уточнить ^{стр. 55} еще дальше для нетривиальных расслоений $E\to X$ рассматривая открытое покрытие ${\mathcal {U}}=\{U_{a}\}_{a\in I}$ из $X$ с тривиализациями $\{\phi _{a}\}_{a\in I}$ и функции перехода $\{g_{ab}\}_{a,b\in I}$. Тогда существует соответствие 1-1 между соединениями на $E$ и коллекции 1-форм

$\{A_{a}\in \Omega _{1}(U_{a},{\mathfrak {g}})\}_{a\in I}$

которые удовлетворяют

$A_{b}=Ad(g_{ab}^{-1})\circ A_{a}+g_{ab}^{*}\omega _{0}$

на перекрестках $U_{ab}$ для $\omega _{0}$ форма Маурера -Картана на $G$, $\omega _{0}=g^{-1}dg$ в матричной форме.

Глобальная переформулировка пространства связей

Для директора $G$ пучок $\pi :E\to M$ совокупность связей в $E$ это аффинное пространство ^{стр. 57} для векторного пространства $\Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})$ где $E_{\mathfrak {g}}$ — ассоциированное векторное расслоение. Это означает, что для любых двух связей $\omega _{0},\omega _{1}$ существует форма $A\in \Omega ^{1}(M,E_{\mathfrak {g}})$ такой, что

$\omega _{0}=\omega _{1}+A$

Обозначим множество связей как ${\mathcal {A}}(E)$или просто ${\mathcal {A}}$ если контекст ясен.

Связь на комплексном расслоении Хопфа

Мы ^{стр. 94} может построить $\mathbb {CP} ^{n}$ в качестве директора $\mathbb {C} ^{*}$-пучок $\gamma :H_{\mathbb {C} }\to \mathbb {CP} ^{n}$ где $H_{\mathbb {C} }=\mathbb {C} ^{n+1}-\{0\}$ и $\gamma$ это карта проекции

$\gamma (z_{0},\ldots ,z_{n})=[z_{0},\ldots ,z_{n}]$

Обратите внимание на алгебру Ли $\mathbb {C} ^{*}=GL(1,\mathbb {C} )$ это просто сложная плоскость. 1-форма $\omega \in \Omega ^{1}(H_{\mathbb {C} },\mathbb {C} )$ определяется как

${\begin{aligned}\omega &={\frac {{\overline {z}}^{t}dz}{|z|^{2}}}\\&=\sum _{i=0}^{n}{\frac {{\overline {z}}_{i}}{|z|^{2}}}dz_{i}\end{aligned}}$

образует соединение, которое можно проверить, проверив определение. Для любого фиксированного $\lambda \in \mathbb {C} ^{*}$ у нас есть

${\begin{aligned}R_{\lambda }^{*}\omega &={\frac {{\overline {(z\lambda )}}^{t}d(z\lambda )}{|z\lambda |^{2}}}\\&={\frac {{\overline {\lambda }}\lambda {\overline {z}}^{t}dz}{|\lambda |^{2}\cdot |z|^{2}}}\end{aligned}}$

и поскольку $|\lambda |^{2}={\overline {\lambda }}{\lambda }$, у нас есть $\mathbb {C} ^{*}$-инвариантность. Это связано с тем, что присоединенное действие тривиально, поскольку алгебра Ли абелева. Для построения разбиения обратите внимание на любые $z\in H_{\mathbb {C} }$ у нас есть короткая точная последовательность

$0\to \mathbb {C} \xrightarrow {v_{z}} T_{z}H_{\mathbb {Z} }\xrightarrow {\gamma _{*}} T_{[z]}\mathbb {CP} ^{n}\to 0$

где $v_{z}$ определяется как

$v_{z}(\lambda )=z\cdot \lambda$

поэтому он действует как масштабирование в волокне (что ограничивается соответствующим $\mathbb {C} ^{*}$-действие). принимая $\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )$ мы получаем

${\begin{aligned}\omega _{z}\circ v_{z}(\lambda )&={\frac {{\overline {z}}dz}{|z|^{2}}}(z\lambda )\\&={\frac {{\overline {z}}z\lambda }{|z|^{2}}}\\&=\lambda \end{aligned}}$

откуда следует второе равенство, поскольку мы рассматриваем $z\lambda$ вертикальный касательный вектор и $dz(z\lambda )=z\lambda$. Обозначения несколько сбивают с толку, но если мы расширим каждый термин

${\begin{aligned}dz&=dz_{0}+\cdots +dz_{n}\\z&=a_{0}z_{0}+\cdots +a_{n}z_{n}\\dz(z)&=a_{0}+\cdots +a_{n}\\dz(\lambda z)&=\lambda \cdot (a_{0}+\cdots +a_{n})\\{\overline {z}}&={\overline {a_{0}}}+\cdots +{\overline {a_{n}}}\end{aligned}}$

становится понятнее (где $a_{i}\in \mathbb {C}$).

ковариантные и

Для любого линейного представления W группы G существует ассоциированное векторное расслоение $P\times ^{G}W$ над M , и главная связность индуцирует ковариантную производную на любом таком векторном расслоении. Эту ковариантную производную можно определить, используя тот факт, что пространство сечений $P\times ^{G}W$ над M изоморфно пространству G -эквивариантных W -значных функций на P . В более общем смысле, пространство k -форм со значениями в $P\times ^{G}W$ отождествляется с пространством G -эквивариантных и горизонтальных W -значных k -форм на P . Если α — такая k -форма, то ее внешняя производная dα G , хотя и - эквивариантна, уже не горизонтальна. Однако комбинация d α + ω Λ α такова. Это определяет внешнюю ковариантную производную d ^ой от $P\times ^{G}W$-значные k -формы на M в $P\times ^{G}W$-значные ( k +1)-формы на M . В частности, при k =0 мы получаем ковариантную производную по $P\times ^{G}W$.

Форма кривизны

Формой кривизны главной G -связности ω является ${\mathfrak {g}}$-значная 2-форма Ω, определенная формулой

$\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].$

Он G -эквивариантен и горизонтален, следовательно, соответствует 2-форме на M со значениями в ${\mathfrak {g}}_{P}$. Отождествление кривизны с этой величиной иногда называют вторым структурным уравнением (Картана) . Исторически появление структурных уравнений связано с развитием связи Картана . При переносе в контекст групп Ли структурные уравнения известны как уравнения Маурера-Картана : это одни и те же уравнения, но в другой настройке и обозначениях.

Плоские связи и характеристика жгутов с плоскими связями

Мы говорим, что связь $\omega$ является плоским, если его форма кривизны $\Omega =0$. Есть полезная характеристика главных расслоений с плоскими связностями; то есть главный $G$-пучок $\pi :E\to X$ имеет плоское соединение ^{стр. 68} тогда и только тогда, когда существует открытое покрытие $\{U_{a}\}_{a\in I}$ с тривиализациями $\left\{\phi _{a}\right\}_{a\in I}$ такие, что все функции перехода

$g_{ab}:U_{a}\cap U_{b}\to G$

постоянны. Это полезно, поскольку дает рецепт построения плоского принципала. $G$-расслоения на гладких многообразиях; а именно взять открытое покрытие и определить тривиализации с постоянными функциями перехода.

Соединения на связках рамы и кручение

Если главный расслоение Р является каркасным расслоением или (более обобщенно) если оно имеет форму пайки , то соединение является примером аффинного соединения , и кривизна не является единственным инвариантом, поскольку дополнительная структура пайки образует θ , который является эквивариантом R ^н -значную 1-форму на P . В частности, форма кручения на P , является R ^н -значная 2-форма Θ, определенная формулой

$\Theta =\mathrm {d} \theta +\omega \wedge \theta .$

Θ G -эквивариантен и горизонтален, поэтому он спускается к касательной 2-форме на M , называемой кручением . Это уравнение иногда называют первым структурным уравнением (Картана) .

Определение в алгебраической геометрии

Если X — это схема (или, в более общем смысле, стек, производный стек или даже предстек), мы можем связать с ним его так называемый стек де Рама , обозначаемый X _dR . Это свойство заключается в том, что главное расслоение G над X _dR — это то же самое, что и G с *плоской* связностью над X. расслоение

Ссылки

• Кобаяши, Шошичи (1957), «Теория связей», Ann. Мэтт. Чистое приложение. , 43 : 119–194, doi : 10.1007/ , S2CID120972987   BF02411907
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии , том. 1 (Новое издание), Wiley Interscience , ISBN  0-471-15733-3
• Коларж, Иван; Михор, Питер; Словак, Январь (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии (PDF) , Springer-Verlag, заархивировано из оригинала (PDF) 30 марта 2017 г. , получено 25 марта 2008 г.