Дифференциальная форма со значениями алгебры Ли

В дифференциальной геометрии форма со значениями в алгебре Ли — это дифференциальная форма со значениями в алгебре Ли . Такие формы имеют важные приложения в теории связностей на главном расслоении , а также в теории связностей Картана .

Формальное определение

Дифференциал со значениями в алгебре Ли $k$-форма на многообразии, $M$ гладкое сечение расслоения , — $({\mathfrak {g}}\times M)\otimes \wedge ^{k}T^{*}M$, где ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли , $T^{*}M$ представляет собой котангенс расслоения $M$ и $\wedge ^{k}$ обозначает $k^{\text{th}}$ внешняя мощность .

Клиновой продукт

Клиновое произведение обычных вещественнозначных дифференциальных форм определяется с помощью умножения действительных чисел. Для пары дифференциальных форм со значениями алгебры Ли клиновое произведение можно определить аналогично, но заменив операцию билинейной скобки Ли , чтобы получить другую форму со значениями алгебры Ли. Для ${\mathfrak {g}}$-ценный $p$-форма $\omega$ и ${\mathfrak {g}}$-ценный $q$-форма $\eta$, их клиновое произведение $[\omega \wedge \eta ]$ дается

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over p!q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )[\omega (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)}),\eta (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)})],$

где $v_{i}$- касательные векторы. Обозначение предназначено для обозначения обеих задействованных операций. Например, если $\omega$ и $\eta$ являются формами со значениями алгебры Ли, то имеем

$[\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})].$

Операция $[\omega \wedge \eta ]$ также можно определить как билинейную операцию над $\Omega (M,{\mathfrak {g}})$ удовлетворяющий

$[(g\otimes \alpha )\wedge (h\otimes \beta )]=[g,h]\otimes (\alpha \wedge \beta )$

для всех $g,h\in {\mathfrak {g}}$ и $\alpha ,\beta \in \Omega (M,\mathbb {R} )$.

Некоторые авторы использовали обозначения $[\omega ,\eta ]$ вместо $[\omega \wedge \eta ]$. Обозначения $[\omega ,\eta ]$, напоминающий коммутатор , оправдано тем, что если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ является матричной алгеброй, тогда $[\omega \wedge \eta ]$ есть не что иное, как градуированный коммутатор $\omega$ и $\eta$, то есть если $\omega \in \Omega ^{p}(M,{\mathfrak {g}})$ и $\eta \in \Omega ^{q}(M,{\mathfrak {g}})$ затем

$[\omega \wedge \eta ]=\omega \wedge \eta -(-1)^{pq}\eta \wedge \omega ,$

где $\omega \wedge \eta ,\ \eta \wedge \omega \in \Omega ^{p+q}(M,{\mathfrak {g}})$ представляют собой клиновые произведения, образованные с помощью матричного умножения на ${\mathfrak {g}}$.

Операции

Позволять $f:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}$ — гомоморфизм алгебры Ли . Если $\varphi$ это ${\mathfrak {g}}$-значная форма на многообразии, то $f(\varphi )$ это ${\mathfrak {h}}$-значная форма на том же многообразии, полученная применением $f$ ценностям $\varphi$: $f(\varphi )(v_{1},\dotsc ,v_{k})=f(\varphi (v_{1},\dotsc ,v_{k}))$.

Аналогично, если $f$ является полилинейным функционалом от $\textstyle \prod _{1}^{k}{\mathfrak {g}}$, тогда кладут

$f(\varphi _{1},\dotsc ,\varphi _{k})(v_{1},\dotsc ,v_{q})={1 \over q!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )f(\varphi _{1}(v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (q_{1})}),\dotsc ,\varphi _{k}(v_{\sigma (q-q_{k}+1)},\dotsc ,v_{\sigma (q)}))$

где $q=q_{1}+\ldots +q_{k}$ и $\varphi _{i}$ являются ${\mathfrak {g}}$-ценный $q_{i}$-формы. Более того, учитывая векторное пространство $V$, ту же формулу можно использовать для определения $V$-значная форма $f(\varphi ,\eta )$ когда

$f:{\mathfrak {g}}\times V\to V$

представляет собой многолинейную карту, $\varphi$ это ${\mathfrak {g}}$-значная форма и $\eta$ это $V$-значная форма. Обратите внимание, что когда

$f([x,y],z)=f(x,f(y,z))-f(y,f(x,z)){,}\qquad (*)$

предоставление $f$ равносильно совершению действия ${\mathfrak {g}}$ на $V$; то есть, $f$ определяет представление

$\rho :{\mathfrak {g}}\to V,\rho (x)y=f(x,y)$

и, наоборот, любое представление $\rho$ определяет $f$ с условием $(*)$. Например, если $f(x,y)=[x,y]$ (кронштейн ${\mathfrak {g}}$), то восстанавливаем определение $[\cdot \wedge \cdot ]$ приведенное выше, с $\rho =\operatorname {ad}$, присоединенное представление . (Обратите внимание на связь между $f$ и $\rho$ выше, таким образом, похоже на отношение между скобкой и $\operatorname {ad}$.)

В общем, если $\alpha$ это ${\mathfrak {gl}}(V)$-ценный $p$-форма и $\varphi$ это $V$-ценный $q$-форма, то чаще всего пишут $\alpha \cdot \varphi =f(\alpha ,\varphi )$ когда $f(T,x)=Tx$. Явно,

$(\alpha \cdot \phi )(v_{1},\dotsc ,v_{p+q})={1 \over (p+q)!}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn} (\sigma )\alpha (v_{\sigma (1)},\dotsc ,v_{\sigma (p)})\phi (v_{\sigma (p+1)},\dotsc ,v_{\sigma (p+q)}).$

С помощью этих обозначений, например, имеем:

$\operatorname {ad} (\alpha )\cdot \phi =[\alpha \wedge \phi ]$.

Пример: Если $\omega$ это ${\mathfrak {g}}$-значная однозначная форма (например, форма подключения ), $\rho$ представление ${\mathfrak {g}}$ в векторном пространстве $V$ и $\varphi$ а $V$-значная нулевая форма, тогда

$\rho ([\omega \wedge \omega ])\cdot \varphi =2\rho (\omega )\cdot (\rho (\omega )\cdot \varphi ).$

Формы со значениями в присоединенном пакете

См. также: присоединенный пучок

Позволять $P$ быть гладким главным расслоением со структурной группой $G$ и ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$. $G$ действует на ${\mathfrak {g}}$ через присоединенное представление , и поэтому можно сформировать связанный пакет:

${\mathfrak {g}}_{P}=P\times _{\operatorname {Ad} }{\mathfrak {g}}.$

Любой ${\mathfrak {g}}_{P}$-значные формы на базисном пространстве $P$ находятся в естественном взаимно однозначном соответствии с любыми тензорными формами на $P$ присоединенного типа.

См. также

• Форма Маурера – Картана
• Присоединенный пучок

Ссылки

• С. Кобаяши, К. Номидзу. Основы дифференциальной геометрии (Библиотека классики Wiley), том 1, 2.

Внешние ссылки

• Клиновое произведение алгебры Ли, оцененное в одной форме
• группоид значений форм алгебры Ли в n Lab