Вертикальные и горизонтальные пучки

В математике вертикальный расслоение и горизонтальный расслоение представляют собой векторные расслоения, связанные с гладким расслоением . Точнее, для гладкого расслоения $\pi \colon E\to B$ , вертикальный расслоение $VE$ и горизонтальный пучок $HE$ являются подрасслоениями касательного расслоения $TE$ из $E$ чья сумма Уитни удовлетворяет $VE\oplus HE\cong TE$ . Это означает, что по каждой точке $e\in E$ , волокна $V_{e}E$ и $H_{e}E$ образуют дополнительные подпространства касательного пространства $T_{e}E$ . Вертикальный расслоение состоит из всех векторов, касающихся слоев, тогда как горизонтальный расслоение требует некоторого выбора дополнительного подрасслоения.

Чтобы сделать это точным, определите вертикальное пространство $V_{e}E$ в $e\in E$ быть $\ker(d\pi _{e})$ . То есть дифференциал $d\pi _{e}\colon T_{e}E\to T_{b}B$ (где $b=\pi (e)$ ) — линейная сюръекция, ядро которой имеет ту же размерность, что и слои $\pi$ . Если мы напишем $F=\pi ^{-1}(b)$ , затем $V_{e}E$ состоит ровно из векторов из $T_{e}E$ которые также касаются $F$ . Название мотивировано примерами низкой размерности, такими как тривиальное расслоение линий над кругом, которое иногда изображается как вертикальный цилиндр, проецирующийся на горизонтальный круг. Подпространство $H_{e}E$ из $T_{e}E$ называется горизонтальным пространством, если $T_{e}E$ является прямой суммой $V_{e}E$ и $H_{e}E$ .

Дизъюнктное объединение вертикальных пространств VeE _для E каждого е из пространства есть подрасслоение VE TE ; это вертикальный расслоение E . Аналогичным образом, при наличии горизонтальных пространств $H_{e}E$ плавно изменяются с е , их непересекающееся объединение представляет собой горизонтальный расслоение. Здесь намеренно используются слова «the» и «a»: каждое вертикальное подпространство уникально и явно определяется формулой $\ker(d\pi _{e})$ . За исключением тривиальных случаев, в каждой точке имеется бесконечное число горизонтальных подпространств. Также обратите внимание, что произвольный выбор горизонтального пространства в каждой точке, как правило, не образует гладкое векторное расслоение; они также должны меняться достаточно плавно.

Горизонтальное расслоение — это один из способов сформулировать понятие связности Эресмана на расслоении . Так, например, если E — главное G -расслоение , то обычно требуется, чтобы горизонтальное расслоение было G -инвариантным: такой выбор эквивалентен связности на главном расслоении . ^[1] Это особенно происходит, когда E является расслоением кадров , связанным с некоторым векторным расслоением, которое является основным $\operatorname {GL} _{n}$ пучок.

Формальное определение

Пусть π : E → B — гладкое расслоение над гладким B. многообразием Вертикальное расслоение — это ядро V E := ker(d π ) касательного отображения d π : TE → T B . ^[2]

Поскольку dπ _e сюръективен в каждой точке e , он дает регулярное подрасслоение в E. T Более того, вертикальное расслоение VE также интегрируемо .

Связность Эресмана на E — это выбор дополнительного подрасслоения HE к V E в T E , называемого горизонтальным расслоением связности. В каждой точке e в E два подпространства образуют прямую сумму , такую что Т _е E знак равно V _е E ⊕ ЧАС _е E .

Пример

Лента Мёбиуса представляет собой расслоение линий над окружностью, а окружность можно представить как среднее кольцо ленты. В каждой точке $e$ на полосе карта проекции проецирует ее в сторону среднего кольца, а волокно перпендикулярно среднему кольцу. Вертикальный пучок в этой точке $V_{e}E$ — касательное пространство к волокну.

Простой пример гладкого расслоения — декартово произведение двух многообразий . Рассмотрим расслоение B ₁ := ( M × N , pr ₁ ) с проекцией расслоения pr ₁ : M × N → M : ( x , y ) → x . Применяя определение из предыдущего абзаца для нахождения вертикального расслоения, мы сначала рассматриваем точку (m,n) в M × N . Тогда образ этой точки под пр ₁ есть m. Прообразом m под тем же pr ₁ является {m} × N , так что T _(m,n) ({m} × N ) = {m} × T N . Тогда вертикальным расслоением будет V B ₁ = M × T N , которое является подрасслоением T( M × N ). Если мы возьмем другую проекцию pr ₂ : M × N → N : ( x , y ) → y для определения расслоения B ₂ := ( M × N , pr ₂ ), то вертикальный расслоение будет V B ₂ = T М × Н.

В обоих случаях структура продукта дает естественный выбор горизонтального пучка и, следовательно, связи Эресмана: горизонтальный пучок B ₁ является вертикальным пучком B ₂ и наоборот.

Характеристики

Различные важные тензоры и дифференциальные формы из дифференциальной геометрии приобретают определенные свойства на вертикальных и горизонтальных пучках или даже могут быть определены через них. Некоторые из них:

Вертикальное векторное поле — это векторное поле , находящееся в вертикальном пучке. То есть для каждой точки e из E выбирается вектор $v_{e}\in V_{e}E$ где $V_{e}E\subset T_{e}E=T_{e}(E_{\pi (e)})$ — вертикальное векторное пространство в точке e . ^[2]
Дифференцируемая r-форма $\alpha$ на E называется горизонтальной формой, если $\alpha (v_{1},...,v_{r})=0$ всякий раз, когда хотя бы один из векторов $v_{1},...,v_{r}$ является вертикальным.
Форма связности исчезает на горизонтальном расслоении и отлична от нуля только на вертикальном расслоении. Таким образом, форма соединения может использоваться для определения горизонтального пакета: Горизонтальный пакет является ядром формы соединения.
Форма пайки , или тавтологическая одноформа, исчезает на вертикальном пучке и отлична от нуля только на горизонтальном пучке. По определению форма припоя принимает свои значения целиком в горизонтальном пучке.
Для случая каркасного расслоения исчезает форма кручения на вертикальном расслоении и может быть использована для определения именно той части, которую необходимо добавить к произвольному соединению, чтобы превратить его в соединение Леви-Чивита , т. е. сделать соединение быть без кручения. Действительно, если написать θ для формы припоя, то тензор кручения Θ задается формулой Θ = D θ (где D — внешняя ковариантная производная ). Для любой данной связности ω существует единственная форма σ на T E , называемая тензором искривления , которая обращается в нуль в вертикальном расслоении и такова, что ω + σ является другой 1-формой связности, не имеющей кручения. Полученная одноформа ω+σ есть не что иное, как связность Леви-Чивита. Это можно принять за определение: поскольку кручение определяется выражением $\Theta =D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta$ исчезновение кручения эквивалентно наличию $d\theta =-(\omega +\sigma )\wedge \theta$ , и нетрудно показать, что σ должно быть равно нулю на вертикальном расслоении и что σ должно быть G -инвариантным на каждом слое (точнее, что σ преобразуется в присоединенном представлении G ) . Обратите внимание, что это определяет связность Леви-Чивита без каких-либо явных ссылок на какой-либо метрический тензор (хотя метрический тензор можно понимать как частный случай формы припоя, поскольку он устанавливает отображение между касательными и котасательными расслоениями основания). пространство, т.е. между горизонтальным и вертикальным подпространствами пакета кадров).
В случае, когда E — главный расслоение, фундаментальное векторное поле обязательно должно существовать в вертикальном расслоении и исчезать в любом горизонтальном расслоении.