Тензор конторсии

Тензор конторсии в дифференциальной геометрии — это разница между связностью с кручением в нем и без него. Обычно он появляется при изучении спиновых связей . Так, например, вильбейн вместе со спиновой связью при условии исчезновения кручения дает описание гравитации Эйнштейна. В случае суперсимметрии то же ограничение исчезновения кручения дает (уравнения поля) одиннадцатимерной супергравитации . То есть тензор конторсии вместе со связностью становится одним из динамических объектов теории, низводя метрику на второстепенную, производную роль.

Устранение кручения в соединении называется поглощением кручения и является одним из этапов метода эквивалентности Картана для установления эквивалентности геометрических структур.

Определение в метрической геометрии

В метрической геометрии тензор конторсии выражает разницу между метрически-совместимой аффинной связью с символом Кристоффеля. ${\Gamma ^{k}}_{ij}$ и уникальная связность Леви-Чивита без кручения для той же метрики.

Тензор конторсии $K_{kji}$ определяется через тензор кручения ${T^{l}}_{ij}={\Gamma ^{l}}_{ij}-{\Gamma ^{l}}_{ji}$ как (до знака, см. ниже)

$K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})$

где индексы повышаются и понижаются относительно метрики:

$T_{ijk}\equiv g_{il}{T^{l}}_{jk}$.

Причина неочевидной суммы в определении тензора искривления связана с разницей между суммами, которая обеспечивает метрическую совместимость. Тензор кручения антисимметричен по первым двум индексам, а сам тензор кручения антисимметричен по двум последним индексам; это показано ниже.

$K_{ijk}={\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jki}-T_{kij})$

$K_{(ij)k}={\tfrac {1}{2}}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}(T_{ijk}+T_{jik})+{\tfrac {1}{2}}(T_{jki}+T_{ikj})-{\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{kji}){\bigr ]}$

$={\tfrac {1}{4}}(T_{ijk}+T_{jik}+T_{jki}+T_{ikj}-T_{kij}-T_{kji})$

$=0$

Полное метрически совместимое аффинное соединение можно записать как:

${\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},$

где ${\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}$ соединение Леви-Чивита без кручения:

${\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ji}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})$

Определение в аффинной геометрии

В аффинной геометрии нет ни метрики, ни метрической связи, поэтому нельзя повышать и понижать индексы по требованию. Подобный эффект все еще можно достичь, используя форму для пайки , позволяющую связать пучок с тем, что происходит в его базовом пространстве. Это явно геометрическая точка зрения: тензоры теперь являются геометрическими объектами в вертикальных и горизонтальных пучках , расслоения а не индексированными алгебраическими объектами, определенными только в базовом пространстве. В этом случае можно построить тензор конторсии, существующий как одноформа на касательном расслоении.

Напомним, что кручение связи $\omega$ может быть выражено как

$\Theta _{\omega }=D\theta =d\theta +\omega \wedge \theta$

где $\theta$ — форма припоя ( тавтологическая форма ). Нижний индекс $\omega$ служит лишь напоминанием о том, что этот тензор кручения получен из связи.

По аналогии с понижением индекса тензора кручения в разделе выше, можно проделать аналогичную операцию с формой припоя и построить тензор

$\Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=\langle \theta (Z),\Theta _{\omega }(X,Y)\rangle +\langle \theta (Y),\Theta _{\omega }(Z,X)\rangle -\langle \theta (X),\Theta _{\omega }(Y,Z)\rangle$

Здесь $\langle ,\rangle$ скалярное произведение. Этот тензор можно выразить как

$\Sigma _{\omega }(X,Y,Z)=2\langle \theta (Z),\sigma _{\omega }(X)\theta (Y)\rangle$

Количество $\sigma _{\omega }$ является формой искривления , и это именно то, что необходимо добавить к произвольному соединению, чтобы получить соединение Леви-Чивита без кручения. То есть, учитывая связность Эресмана $\omega$, есть еще одна связь $\omega +\sigma _{\omega }$ это без скручивания.

Тогда исчезновение кручения эквивалентно тому, что

$\Theta _{\omega +\sigma _{\omega }}=0$

или

$d\theta =-(\omega +\sigma _{\omega })\wedge \theta$

Это можно рассматривать как уравнение поля, связывающее динамику связи с динамикой тензора искривления.

Вывод

Один из способов быстро получить метрически совместимую аффинную связность — это повторить идею разности суммы-суммы, использованную при выводе связности Леви-Чивита, но не считать кручение равным нулю. Ниже приведен вывод.

Соглашение о выводе (выберите такое определение коэффициентов связности. Мотивация заключается в использовании форм связи один в калибровочной теории):

$\nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k},$

$\nabla _{i}\omega _{j}=\partial _{i}\omega _{j}-{\Gamma ^{k}}_{ji}\omega _{k},$

Начнем с условия метрической совместимости:

$\nabla _{i}g_{jk}=\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}=0,$

Теперь мы используем разность суммы-суммы (циклически индексируем по условию):

$\partial _{i}g_{jk}-{\Gamma ^{l}}_{ji}g_{lk}-{\Gamma ^{l}}_{ki}g_{jl}+\partial _{j}g_{ki}-{\Gamma ^{l}}_{kj}g_{li}-{\Gamma ^{l}}_{ij}g_{kl}-\partial _{k}g_{ij}+{\Gamma ^{l}}_{ik}g_{lj}+{\Gamma ^{l}}_{jk}g_{il}=0$

$\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-\Gamma _{kji}-\Gamma _{jki}-\Gamma _{ikj}-\Gamma _{kij}+\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}=0$

Теперь мы используем приведенное ниже определение тензора кручения (для голономной системы отсчета), чтобы переписать соединение:

${T^{k}}_{ij}={\Gamma ^{k}}_{ij}-{\Gamma ^{k}}_{ji}$

$\Gamma _{kij}=T_{kij}+\Gamma _{kji}$

Обратите внимание, что это определение кручения имеет знак, противоположный обычному определению при использовании приведенного выше соглашения. $\nabla _{i}v^{j}=\partial _{i}v^{j}+{\Gamma ^{j}}_{ki}v^{k}$ для нижнего индексного порядка коэффициентов связи, т. е. имеет знак, противоположный бескоординатному определению $\Theta _{\omega }=D\theta$ в следующем разделе по геометрии. Исправление этого несоответствия (которое, по-видимому, часто встречается в литературе) приведет к получению тензора искривления с противоположным знаком.

Подставим определение тензора кручения в то, что у нас есть:

$\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-(T_{kji}+\Gamma _{kij})-\Gamma _{jki}-(T_{ikj}+\Gamma _{ijk})-\Gamma _{kij}+(T_{jik}+\Gamma _{jki})+\Gamma _{ijk}=0$

Очистите его и объедините подобные члены

$2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik}$

Члены кручения объединяются, чтобы создать объект, который трансформируется тензорно. Поскольку эти термины объединяются метрически совместимым образом, им дано имя — тензор конторсии, который определяет кососимметричную часть метрически совместимой аффинной связности.

Мы определим его здесь с той целью, чтобы он соответствовал индексам левой части приведенного выше уравнения.

$K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(-T_{kji}-T_{ikj}+T_{jik})$

Очистка с использованием антисимметрии тензора кручения дает то, что мы назовем тензором кручения:

$K_{kij}={\tfrac {1}{2}}(T_{kij}+T_{ijk}-T_{jki})$

Подставив это обратно в наше выражение, мы имеем:

$2\Gamma _{kij}=\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij}+2K_{kij}$

Теперь изолируйте коэффициенты связи и сгруппируйте члены кручения вместе:

${\Gamma ^{l}}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})+{\tfrac {1}{2}}g^{lk}(2K_{kij})$

Напомним, что первый член с частными производными — это выражение связи Леви-Чивита, часто используемое релятивистами.

Следуя этому примеру, определите следующее как соединение Леви-Чивита без кручения:

${\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}={\tfrac {1}{2}}g^{lk}(\partial _{i}g_{jk}+\partial _{j}g_{ki}-\partial _{k}g_{ij})$

Тогда мы получим, что полностью совместимое с метрикой аффинное соединение теперь можно записать как:

${\Gamma ^{l}}_{ij}={\bar {\Gamma }}^{l}{}{}_{ij}+{K^{l}}_{ij},$

Связь с телепараллелизмом

В теории телепараллелизма встречается связность Вейценбека , которая является плоской (исчезающая риманова кривизна), но имеет неисчезающее кручение. Плоскостность — это именно то, что позволяет создавать параллельные поля кадра. Эти понятия могут быть распространены на супермногообразия .

См. также

• Тензор энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда