Тензор энергии-напряжения Белинфанте – Розенфельда

В математической физике Белинфанте представляет собой модификацию тензора энергии-импульса, который состоит из канонического тензора энергии-напряжения и спинового тока , – Розенфельда тензор чтобы быть симметричным, но при этом сохраняться.

В классической или квантовой локальной теории поля генератор преобразований Лоренца можно записать в виде интеграла

$M_{\mu \nu }=\int \mathrm {d} ^{3}x\,{M^{0}}_{\mu \nu }$

местного течения

${M^{\mu }}_{\nu \lambda }=(x_{\nu }{T^{\mu }}_{\lambda }-x_{\lambda }{T^{\mu }}_{\nu })+{S^{\mu }}_{\nu \lambda }.$

Здесь ${T^{\mu }}_{\lambda }$ – канонический тензор энергии-импульса, удовлетворяющий $\partial _{\mu }{T^{\mu }}_{\lambda }=0$, и ${S^{\mu }}_{\nu \lambda }$ – вклад собственного (спинового) углового момента . Антисимметрия

${M^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{M^{\mu }}_{\lambda \nu }$

подразумевает антисимметрию

${S^{\mu }}_{\nu \lambda }=-{S^{\mu }}_{\lambda \nu }.$

Локальное сохранение углового момента

$\partial _{\mu }{M^{\mu }}_{\nu \lambda }=0\,$

требует, чтобы

$\partial _{\mu }{S^{\mu }}_{\nu \lambda }=T_{\lambda \nu }-T_{\nu \lambda }.$

Таким образом, источник спинового тока подразумевает несимметричный канонический тензор энергии-импульса.

Тензор Белинфанте–Розенфельда. представляет собой модификацию тензора энергии-импульса

$T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }+{\frac {1}{2}}\partial _{\lambda }(S^{\mu \nu \lambda }+S^{\nu \mu \lambda }-S^{\lambda \nu \mu })$

построенный из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока ${S^{\mu }}_{\nu \lambda }$ так, чтобы быть симметричным, но при этом сохраняться, т. е.

$\partial _{\mu }T_{B}^{\mu \nu }=0.$

Интегрирование по частям показывает, что

$M^{\nu \lambda }=\int (x^{\nu }T_{B}^{0\lambda }-x^{\lambda }T_{B}^{0\nu })\,\mathrm {d} ^{3}x,$

и поэтому физическая интерпретация тензора Белинфанте состоит в том, что он включает «связанный импульс», связанный с градиентами собственного углового момента. Другими словами, добавленный термин является аналогом ${\mathbf {J} }_{\text{bound}}=\nabla \times \mathbf {M}$ « связанный ток », связанный с плотностью намагничивания ${\mathbf {M} }$.

Любопытная комбинация компонентов спинового тока, необходимая для создания $T_{B}^{\mu \nu }$ симметричный и, тем не менее, сохраняющийся, кажется совершенно ad hoc , но Розенфельд и Белинфанте показали, что модифицированный тензор — это именно симметричный тензор энергии-напряжения Гильберта, который действует как источник гравитации в общей теории относительности . Точно так же, как сумма связанного и свободного токов действует как источник магнитного поля, именно сумма связанной и свободной энергии-импульса действует как источник гравитации.

Белинфанте–Розенфельд и тензор энергии-импульса Гильберта.

Тензор энергии-импульса Гильберта $T_{\mu \nu }$ определяется вариацией функционала действия $S_{\rm {eff}}$ относительно метрики как

$\delta S_{\rm {eff}}={\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{\mu \nu }\,\delta g^{\mu \nu },$

или эквивалентно как

$\delta S_{\rm {eff}}=-{\frac {1}{2}}\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T^{\mu \nu }\,\delta g_{\mu \nu }.$

(Знак минус во втором уравнении возникает потому, что $\delta g^{\mu \nu }=-g^{\mu \sigma }\delta g_{\sigma \tau }g^{\tau \nu }$ потому что $\delta (g^{\mu \sigma }g_{\sigma \tau })=0.$)

Мы также можем определить тензор энергии-импульса $T_{cb}$ варьируя ортонормированное четвероногое Минковского ${\bf {e}}_{a}$ получить

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left({\frac {\delta S}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\delta e_{a}^{\mu }\equiv \int d^{n}x{\sqrt {g}}\left(T_{cb}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\right)\delta e_{a}^{\mu }.$

Здесь $\eta _{ab}={\bf {e}}_{a}\cdot {\bf {e}}_{b}$ — метрика Минковского для ортонормированной системы Вирбена, а ${\bf {e}}^{*b}$ являются ковекторами, двойственными к Фирбенам.

В случае с вариацией Вирбейна нет сразу очевидной причины для $T_{cb}$ быть симметричным. Однако функционал действия $S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a})$ должен быть инвариантным относительно бесконечно малого локального преобразования Лоренца $\delta e_{a}^{\mu }=e_{b}^{\mu }{\theta ^{b}}_{a}(x)$, $\theta ^{ab}=-\theta ^{ba}$, и так

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}e_{d}^{\mu }{\theta ^{d}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\eta ^{ca}{\theta ^{b}}_{a}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\,T_{cb}\,\theta ^{bc}(x),$

должно быть равно нулю. Как $\theta ^{bc}(x)$ является произвольной кососимметричной матрицей, зависящей от положения, мы видим, что локальная лоренц-инвариантность и инвариантность вращения требуют и подразумевают, что $T_{bc}=T_{cb}$.

Как только мы это узнаем $T_{ab}$ симметрична, легко показать, что $T_{ab}=e_{a}^{\mu }e_{b}^{\nu }T_{\mu \nu }$, и поэтому тензор энергии-импульса с вариацией Вирбейна эквивалентен тензору Гильберта с метрической вариацией.

Теперь мы можем понять происхождение модификации Белинфанте-Розенфельда канонического тензора энергии-импульса Нётер. Примите меры, чтобы быть $S_{\rm {eff}}({\bf {e}}_{a},{\omega }_{\mu }^{ab})$ где ${\omega }_{\mu }^{ab}$ – спиновая связь , которая определяется ${\bf {e}}_{a}$ посредством условия метрической совместимости и отсутствия кручения. Спиновый ток ${S^{\mu }}_{ab}$ тогда определяется вариацией

${S^{\mu }}_{ab}={\frac {2}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta \omega _{\mu }^{ab}}}\right)\right|_{{\bf {e}}_{a}}$

вертикальная черта, обозначающая, что ${\bf {e}}_{a}$ во время вариации остаются неизменными. «Канонический» тензор энергии-импульса Нётер. $T_{cb}^{(0)}$ — это часть, возникающая в результате варианта, в котором мы сохраняем спиновую связь фиксированной:

$T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}={\frac {1}{\sqrt {g}}}\left.\left({\frac {\delta S_{\rm {eff}}}{\delta e_{a}^{\mu }}}\right)\right|_{\omega _{\mu }^{ab}}.$

Затем

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}\eta ^{ca}e_{\mu }^{*b}\delta e_{a}^{\mu }+{\frac {1}{2}}{S^{\mu }}_{ab}\delta {\omega ^{ab}}_{\mu }\right\}.$

Теперь для соединения без кручения и метрического соответствия имеем что

$(\delta \omega _{ij\mu })e_{k}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}\left\{(\nabla _{j}\delta e_{ik}-\nabla _{k}\delta e_{ij})+(\nabla _{k}\delta e_{ji}-\nabla _{i}\delta e_{jk})-(\nabla _{i}\delta e_{kj}-\nabla _{j}\delta e_{ki})\right\},$

где мы используем обозначение

$\delta e_{ij}={\bf {e}}_{i}\cdot \delta {\bf {e}}_{j}=\eta _{ib}[e_{\alpha }^{*b}\delta e_{j}^{\alpha }].$

Используя вариацию спиновой связи и после интегрирования по частям, находим

$\delta S_{\rm {eff}}=\int d^{n}x{\sqrt {g}}\left\{T_{cb}^{(0)}+{\frac {1}{2}}\nabla _{a}({S_{bc}}^{a}+{S_{cb}}^{a}-{S^{a}}_{bc})\right\}\eta ^{cd}e_{\mu }^{*b}\,\delta e_{d}^{\mu }.$

Таким образом, мы видим, что поправки к каноническому тензору Нётер, которые появляются в тензоре Белинфанте–Розенфельда, происходят потому, что нам нужно одновременно изменять Вирбейна и спиновую связь, если мы хотим сохранить локальную лоренц-инвариантность.

В качестве примера рассмотрим классический лагранжиан поля Дирака

$\int d^{d}x{\sqrt {g}}\left\{{\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma ^{a}e_{a}^{\mu }\nabla _{\mu }\Psi -(\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }})e_{a}^{\mu }\gamma ^{a}\Psi \right)+m{\bar {\Psi }}\Psi \right\}.$

Здесь спинорные ковариантные производные имеют вид

$\nabla _{\mu }\Psi =\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}+{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right)\Psi ,$

$\nabla _{\mu }{\bar {\Psi }}=\left({\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}-{\frac {1}{8}}[\gamma _{b},\gamma _{c}]{\omega ^{bc}}_{\mu }\right){\bar {\Psi }}.$

Таким образом, мы получаем

$T_{bc}^{(0)}={\frac {i}{2}}\left({\bar {\Psi }}\gamma _{c}(\nabla _{b}\Psi )-(\nabla _{b}{\bar {\Psi }})\gamma _{c}\Psi \right),$

${S^{a}}_{bc}={\frac {i}{8}}{\bar {\Psi }}\{\gamma ^{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}\Psi .$

Нет никакого вклада от ${\sqrt {g}}$ если мы используем уравнения движения, то есть мы находимся на оболочке.

Сейчас

$\{\gamma _{a},[\gamma _{b},\gamma _{c}]\}=4\gamma _{a}\gamma _{b}\gamma _{c},$

если $a,b,c$ различны и ноль в противном случае. Как следствие $S_{abc}$ полностью антисимметричен. Теперь, используя этот результат и снова уравнения движения, мы находим, что

$\nabla _{a}{S^{a}}_{bc}=T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)}.$

Таким образом, тензор Белинфанте – Розенфельда принимает вид

$T_{bc}=T_{bc}^{(0)}+{\frac {1}{2}}(T_{cb}^{(0)}-T_{bc}^{(0)})={\frac {1}{2}}(T_{bc}^{(0)}+T_{cb}^{(0)}).$

Тензор Белинфанте-Розенфельда для поля Дирака, таким образом, рассматривается как симметризованный канонический тензор энергии-импульса.

Определение Вайнберга

Стивен Вайнберг определил тензор Белинфанте как

$T_{B}^{\mu \nu }=T^{\mu \nu }-{\frac {i}{2}}\partial _{\kappa }\left[{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\kappa }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\mu \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \nu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\Psi ^{\ell })}}({\mathcal {J}}^{\kappa \mu })_{\,\,m}^{\ell }\Psi ^{m}\right]$

где ${\mathcal {L}}$ — плотность лагранжиана , множество {Ψ} — поля, входящие в лагранжиан, тензор энергии-импульса, не являющийся Белинфанте, определяется выражением

$T^{\mu \nu }=\eta ^{\mu \nu }{\mathcal {L}}-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\Psi ^{\ell })}}\partial ^{\nu }\Psi ^{\ell }$

и ${\mathcal {J^{\mu \nu }}}$ представляют собой набор матриц, удовлетворяющих алгебре однородной группы Лоренца

$[{\mathcal {J}}^{\mu \nu },{\mathcal {J}}^{\rho \sigma }]=i{\mathcal {J}}^{\rho \nu }\eta ^{\mu \sigma }-i{\mathcal {J}}^{\sigma \nu }\eta ^{\mu \rho }-i{\mathcal {J}}^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }+i{\mathcal {J}}^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }$.