Тетрадный формализм

Эта статья об общих тетрадах. Информацию об ортонормированных тетрадах см. в разделе «Поля фрейма в общей теории относительности» .

Формализм тетрады — это подход к общей теории относительности , который обобщает выбор базиса для касательного расслоения от координатного базиса до менее ограничительного выбора локального базиса, то есть локально определенного набора из четырех линейно независимые векторные поля, называемые тетрадами или вирбейнами . Это частный случай более общей идеи формализма Вильбейна , которая изложена в (псевдо) римановой геометрии . В этой статье в ее нынешнем виде часто упоминается общая теория относительности; однако почти все, что там говорится, в равной степени применимо к (псевдо-) римановым многообразиям вообще и даже к спиновым многообразиям . Большинство утверждений справедливы, просто заменив произвольные $n$ для $n=4$. В немецком языке « vier » переводится как «четыре», а « viel » — «много».

Общая идея состоит в том, чтобы записать метрический тензор как произведение двух vielbeins , одного слева и одного справа. Эффект вильбейнов заключается в изменении системы координат, используемой на касательном многообразии, на более простую или более подходящую для вычислений. Часто система координат Вильбейна является ортонормированной, поскольку ее обычно проще всего использовать. Большинство тензоров становятся простыми или даже тривиальными в этой системе координат; таким образом, сложность большинства выражений оказывается результатом выбора координат, а не врожденным свойством или физическим эффектом. То есть, как формализм , он не меняет предсказаний; это скорее вычислительная техника.

Преимущество тетрадного формализма перед стандартным координатным подходом к общей теории относительности заключается в способности выбирать тетрадный базис для отражения важных физических аспектов пространства-времени. Обозначение абстрактного индекса обозначает тензоры так, как если бы они были представлены своими коэффициентами относительно фиксированной локальной тетрады. По сравнению с полностью координатно-свободной нотацией , которая зачастую концептуально более ясна, она обеспечивает простой и явный в вычислительном отношении способ обозначения сокращений.

Значение тетрадного формализма проявляется в формулировке общей теории относительности Эйнштейна – Картана . Тетрадный формализм теории более фундаментален, чем ее метрическая формулировка, поскольку невозможно преобразовать тетрадную и метрическую формулировки фермионных действий, несмотря на то, что это возможно для бозонных действий. . Фактически это связано с тем, что спиноры Вейля могут быть очень естественно определены на римановом многообразии. и их естественное положение приводит к спиновой связи . Эти спиноры принимают форму в системе координат Вильбейна, а не в системе координат многообразия.

Привилегированный тетрадный формализм также появляется при деконструкции теорий более высокой размерности. Калуцы – Клейна гравитации и теории массивной гравитации , в которых дополнительные измерения заменяются серией N узлов решетки , так что метрика более высокой размерности заменяется набором взаимодействующих метрик, которые зависят только от четырехмерных компонентов. Вильбейны обычно появляются в других общих областях физики и математики. Вильбейны можно понимать как формы припоя .

Математическая формулировка

Тетрадная формулировка представляет собой частный случай более общей формулировки, известной как формулировка Вильбейна или n -бейна, с n = 4. Обратите внимание на написание: по-немецки «viel» означает «много», не путать с «vier», что означает «четыре».

В многоногом формализме открытая крышка пространственно -временного многообразия $M$ и выбирается локальный базис для каждого из этих открытых наборов: набор $n$ независимые векторные поля

$e_{a}=e_{a}{}^{\mu }\partial _{\mu }$

для $a=1,\ldots ,n$ которые вместе охватывают $n$-мерное касательное расслоение в каждой точке множества. Двойственным образом vielbein (или тетрада в 4-х измерениях) определяет (и определяется) двойственный co-vielbein (ко-тетрада) — набор $n$ независимые 1-формы .

$e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$

такой, что

$e^{a}(e_{b})=e^{a}{}_{\mu }e_{b}{}^{\mu }=\delta _{b}^{a},$

где $\delta _{b}^{a}$ это дельта Кронекера . Вильбейн обычно определяется его коэффициентами $e^{\mu }{}_{a}$ относительно координатного базиса, несмотря на выбор набора (локальных) координат $x^{\mu }$ не является необходимым для спецификации тетрады. Каждый ковектор представляет собой паяную форму .

точки зрения дифференциальной геометрии расслоений С векторных n полей $\{e_{a}\}_{a=1\dots n}$ определить раздел кадров т.е. распараллеливание , пакета $U\subset M$ что эквивалентно изоморфизму $TU\cong U\times {\mathbb {R} ^{n}}$. Поскольку не каждое многообразие распараллеливаемо, вильбейн обычно можно выбрать только локально ( т. е. только на координатной карте). $U$ и не все $M$.)

Все тензоры теории могут быть выражены в векторном и ковекторном базисе, выражая их как линейные комбинации членов (ко)вильбейна. Например, тензор метрики пространства-времени можно преобразовать из координатного базиса в тетрадный базис .

Популярные основания тетрад в общей теории относительности включают ортонормированные тетрады и нулевые тетрады. Нулевые тетрады состоят из четырех нулевых векторов , поэтому часто используются в задачах, связанных с излучением, и являются основой формализма Ньюмана-Пенроуза и формализма GHP .

Отношение к стандартному формализму

Стандартный формализм дифференциальной геометрии (и общей теории относительности) состоит просто из использования тетрады координат в формализме тетрады. Координатная тетрада — это канонический набор векторов, связанных с координатной картой . Координатную тетраду обычно обозначают $\{\partial _{\mu }\}$ тогда как двойственная котетрада обозначается $\{dx^{\mu }\}$. Эти касательные векторы обычно определяются как операторы производной по направлению : с учетом диаграммы ${\varphi =(\varphi ^{1},\ldots ,\varphi ^{n})}$ который отображает подмножество многообразия в координатное пространство $\mathbb {R} ^{n}$и любое скалярное поле $f$, координатные векторы таковы, что:

$\partial _{\mu }[f]\equiv {\frac {\partial (f\circ \varphi ^{-1})}{\partial x^{\mu }}}.$

В определении котетрады используется обычное злоупотребление обозначениями. $dx^{\mu }=d\varphi ^{\mu }$ определить ковекторы (1-формы) на $M$. Участие координатной тетрады обычно не выражается явно в стандартном формализме. В формализме тетрад вместо полной записи тензорных уравнений (включая элементы тетрад и тензорные произведения $\otimes$ как и выше) упоминаются только компоненты тензоров. Например, метрика записывается как « $g_{ab}$«. Когда тетрада не определена, это становится вопросом определения типа тензора, называемого абстрактной индексной нотацией . Это позволяет легко указать сокращение между тензорами путем повторения индексов, как в соглашении Эйнштейна о суммировании.

Изменение тетрад — рутинная операция в стандартном формализме, поскольку она участвует в каждом преобразовании координат (т. е. переходе от одного базиса координатной тетрады к другому). Переключение между несколькими координатными картами необходимо, поскольку, за исключением тривиальных случаев, одна координатная карта не может охватить все многообразие. Переход к общим тетрадам и между ними во многом аналогичен и одинаково необходим (за исключением распараллеливаемых многообразий ). Любой тензор локально может быть записан через эту координатную тетраду или общую (ко)тетраду.

Например, метрический тензор $\mathbf {g}$ может быть выражено как:

$\mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }\qquad {\text{where}}~g_{\mu \nu }=\mathbf {g} (\partial _{\mu },\partial _{\nu }).$

(Здесь мы используем соглашение Эйнштейна о суммировании ). Аналогично, метрика может быть выражена относительно произвольной (ко)тетрады как

$\mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}\qquad {\text{where}}~g_{ab}=\mathbf {g} \left(e_{a},e_{b}\right).$

Здесь мы используем выбор алфавита ( латинского и греческого ) для индексных переменных, чтобы отличить применимую основу.

Мы можем перевести общую ко-тетраду в координатную ко-тетраду, расширив ковектор $e^{a}=e^{a}{}_{\mu }dx^{\mu }$. Затем мы получаем

$\mathbf {g} =g_{ab}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }$

из чего следует, что $g_{\mu \nu }=g_{ab}e^{a}{}_{\mu }e^{b}{}_{\nu }$. Аналогичным образом расширяя $dx^{\mu }=e^{\mu }{}_{a}e^{a}$ относительно общей тетрады получаем

$\mathbf {g} =g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}e^{a}e^{b}=g_{ab}e^{a}e^{b}$

что показывает, что $g_{ab}=g_{\mu \nu }e^{\mu }{}_{a}e^{\nu }{}_{b}$.

Манипулирование индексами

Манипулирование тетрадными коэффициентами показывает, что абстрактные индексные формулы в принципе могут быть получены из тензорных формул относительно координатной тетрады путем «замены греческих индексов латинскими индексами». Однако необходимо следить за тем, чтобы формула координатной тетрады определяла настоящий тензор при дифференцировании. Поскольку поля координатных векторов имеют исчезающую скобку Ли (т.е. коммутируют: $\partial _{\mu }\partial _{\nu }=\partial _{\nu }\partial _{\mu }$), наивные замены формул, которые правильно вычисляют тензорные коэффициенты по отношению к координатной тетраде, могут неправильно определять тензор по отношению к общей тетраде, поскольку скобка Ли не обращается в нуль: $[e_{a},e_{b}]\neq 0$. Таким образом, иногда говорят, что тетрадные координаты обеспечивают неголономную основу .

Например, тензор кривизны Римана определен для общих векторных полей. $X,Y$ к

$R(X,Y)=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)$.

В координатной тетраде это дает тензорные коэффициенты

$R_{\ \nu \sigma \tau }^{\mu }=dx^{\mu }\left((\nabla _{\sigma }\nabla _{\tau }-\nabla _{\tau }\nabla _{\sigma })\partial _{\nu }\right).$

Наивная замена последнего выражения «с греческого на латынь».

$R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c})e_{b}\right)\qquad {\text{(wrong!)}}$

неверно, потому что для фиксированных c и d , $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}\right)$ вообще говоря, это дифференциальный оператор первого порядка, а не оператор нулевого порядка, который определяет тензорный коэффициент. Однако, подставив общий тетрадный базис в абстрактную формулу, мы находим правильное определение кривизны в абстрактных индексных обозначениях:

$R_{\ bcd}^{a}=e^{a}\left((\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e})e_{b}\right)$

где $[e_{a},e_{b}]=f_{ab}{}^{c}e_{c}$. Обратите внимание, что выражение $\left(\nabla _{c}\nabla _{d}-\nabla _{d}\nabla _{c}-f_{cd}{}^{e}\nabla _{e}\right)$ действительно является оператором нулевого порядка, следовательно (( c d )-компонента) является тензором. Поскольку оно согласуется с координатным выражением кривизны, когда оно специализировано на координатной тетраде, ясно, даже без использования абстрактного определения кривизны, что оно определяет тот же тензор, что и координатное базисное выражение.

Пример: группы Ли.

Учитывая вектор (или ковектор) в касательном (или кокасательном) многообразии, экспоненциальное отображение описывает соответствующую геодезическую этого касательного вектора. Письмо $X\in TM$, параллельный перенос дифференциала соответствует

$e^{-X}de^{X}=dX-{\frac {1}{2!}}\left[X,dX\right]+{\frac {1}{3!}}[X,[X,dX]]-{\frac {1}{4!}}[X,[X,[X,dX]]]+\cdots$

В вышесказанном легко убедиться, просто взяв $X$ быть матрицей.

Для частного случая Ли алгебры $X$ можно считать элементом алгебры, экспонента является экспоненциальным отображением группы Ли , а элементы группы соответствуют геодезическим касательного вектора. Выбор основы $e_{i}$ для алгебры Ли и записи $X=X^{i}e_{i}$ для некоторых функций $X^{i},$ коммутаторы могут быть записаны явно. Легко вычислить, что

$e^{-X}de^{X}=dX^{i}e_{i}-{\frac {1}{2!}}X^{i}dX^{j}{f_{ij}}^{k}e_{k}+{\frac {1}{3!}}X^{i}X^{j}dX^{k}{f_{jk}}^{l}{f_{il}}^{m}e_{m}-\cdots$

для $[e_{i},e_{j}]={f_{ij}}^{k}e_{k}$ структурные константы алгебры Ли. Ряд можно записать более компактно как

$e^{-X}de^{X}=e_{i}{W^{i}}_{j}dX^{j}$

с бесконечной серией

$W=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}M^{n}}{(n+1)!}}=(I-e^{-M})M^{-1}.$

Здесь, $M$ – матрица, матричными элементами которой являются ${M_{j}}^{k}=X^{i}{f_{ij}}^{k}$. Матрица $W$ тогда это vielbein; он выражает дифференциал $dX^{j}$ в терминах «плоских координат» (причём ортонормированных) $e_{i}$.

Учитывая некоторую карту $N\to G$ из какого-то многообразия $N$ какой-то группе Лжи $G$, метрический тензор на многообразии $N$ становится обратным метрическим тензором $B_{mn}$ в группе Лия $G$:

$g_{ij}={W_{i}}^{m}B_{mn}{W^{n}}_{j}$

Метрический тензор $B_{mn}$ на группе Ли является метрика Картана, она же форма Киллинга . Обратите внимание, что в качестве матрицы второй W является транспонированием. Для $N$ (псевдо-) риманово многообразие , метрика является (псевдо-) римановой метрикой . Сказанное выше обобщается на случай симметричных пространств . Эти вильбейны используются для выполнения расчетов в сигма-моделях которых являются теории супергравитации . , частным случаем

См. также

• Комплект рамок
• Пакет ортонормированных рамок
• Основной пакет
• Спиновый пакет
• Связь (математика)
• G-структура
• Спиновый коллектор
• Спиновая структура
• Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

Ссылки

• Де Феличе, Ф.; Кларк, CJS (1990), Относительность искривленных многообразий (впервые опубликовано в 1990 году), Cambridge University Press, ISBN  0-521-26639-4
• Бенн, ИМ; Такер, Р.В. (1987), Введение в спиноры и геометрию с приложениями в физике (впервые опубликовано в 1987 году), Адам Хилгер, ISBN  0-85274-169-3

Внешние ссылки

• Общая теория относительности с тетрадами