Уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени

В математической физике уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени является обобщением уравнения Дирака с плоского пространства-времени ( пространства Минковского ) на искривленное пространство-время, общее лоренцево многообразие .

Математическая формулировка

Пространство-время

В полной общности уравнение можно определить на $M$ или $(M,\mathbf {g} )$ псевдориманово многообразие , но для конкретности мы ограничимся псевдоримановым многообразием с сигнатурой $(-+++)$ . Метрика называется $\mathbf {g}$ , или $g_{ab}$ в абстрактной индексной записи .

Поля кадра

Мы используем набор полей Вирбейна или фрейма. $\{e_{\mu }\}=\{e_{0},e_{1},e_{2},e_{3}\}$ , которые представляют собой набор векторных полей (которые не обязательно определены глобально на $M$ ). Их определяющее уравнение:

g_{ab}e_{\mu }^{a}e_{\nu }^{b}=\eta _{\mu \nu }.

Вирбейн определяет локальный кадр покоя , позволяя постоянным гамма-матрицам действовать в каждой точке пространства-времени.

На дифференциально-геометрическом языке вирбейн эквивалентен секции расслоения фреймов и , таким образом, определяет локальную тривиализацию расслоения фреймов.

Спиновое соединение

Чтобы записать уравнение, нам также понадобится спиновая связь , также известная как форма связи (1-). Поля двойного кадра $\{e^{\mu }\}$ иметь определяющее отношение

e_{a}^{\mu }e_{\nu }^{a}=\delta ^{\mu }{}_{\nu }.

Тогда 1-форма связи

\omega ^{\mu }{}_{\nu a}:=e_{b}^{\mu }\nabla _{a}e_{\nu }^{b}

где $\nabla _{a}$ является ковариантной производной или, что то же самое, выбором связности на расслоении фреймов, чаще всего принимаемой за связность Леви-Чивита .

Следует быть осторожным и не относиться к абстрактным латинским индексам и греческим индексам как к одному и тому же, а также отметить, что ни один из них не является координатным индексом: можно проверить, что $\omega ^{\mu }{}_{\nu a}$ не преобразуется как тензор при изменении координат.

Математически поля кадра $\{e_{\mu }\}$ определить изоморфизм в каждой точке $p$ где они определены из касательного пространства $T_{p}M$ к $\mathbb {R} ^{1,3}$ . Тогда абстрактные индексы обозначают касательное пространство, а греческие индексы обозначают $\mathbb {R} ^{1,3}$ . Если поля кадра зависят от положения, то греческие индексы не обязательно преобразуются тензорно при изменении координат.

Подъем и понижение индексов осуществляется с помощью $g_{ab}$ для латинских индексов и $\eta _{\mu \nu }$ для греческих индексов.

Форму связности можно рассматривать как более абстрактное соединение на главном расслоении , в частности на расслоении фреймов , которое определено на любом гладком многообразии, но ограничивается ортонормированным расслоением фреймов на псевдоримановых многообразиях.

Форма подключения с учетом полей кадра $\{e_{\mu }\}$ локально определяемое — это, на дифференциально-геометрическом языке, соединение относительно локальной тривиализации.

Алгебра Клиффорда

Как и в случае с уравнением Дирака в плоском пространстве-времени, мы используем алгебру Клиффорда — набор из четырех гамма-матриц. $\{\gamma ^{\mu }\}$ удовлетворяющий

\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }

где $\{\cdot ,\cdot \}$ является антикоммутатором .

Их можно использовать для построения представления алгебры Лоренца: определяя

\sigma ^{\mu \nu }=-{\frac {i}{4}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]=-{\frac {i}{2}}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+{\frac {i}{2}}\eta ^{\mu \nu }

,

где $[\cdot ,\cdot ]$ является коммутатором .

Можно показать, что они удовлетворяют коммутационным соотношениям алгебры Лоренца:

[\sigma ^{\mu \nu },\sigma ^{\rho \sigma }]=(-i)(\sigma ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }-\sigma ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\sigma ^{\nu \rho }\eta ^{\mu \sigma }-\sigma ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma })

Следовательно, они являются генераторами представления алгебры Лоренца. ${\mathfrak {so}}(1,3)$ . Но они не порождают представления группы Лоренца. ${\text{SO}}(1,3)$ , так же, как матрицы Паули порождают представление алгебры вращения ${\mathfrak {so}}(3)$ но не ${\text{SO}}(3)$ . Фактически они представляют собой представление о ${\text{Spin}}(1,3).$ Однако это стандартное злоупотребление терминологией в отношении любых представлений алгебры Лоренца как представлений группы Лоренца, даже если они не возникают как представления группы Лоренца.

Пространство представления изоморфно $\mathbb {C} ^{4}$ как векторное пространство. В классификации представлений группы Лоренца представление обозначается как $\left({\frac {1}{2}},0\right)\oplus \left(0,{\frac {1}{2}}\right)$ .

Злоупотребление терминологией распространяется и на формирование этого представления на групповом уровне. Мы можем написать конечное преобразование Лоренца на $\mathbb {R} ^{1,3}$ как $\Lambda _{\sigma }^{\rho }=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }M^{\mu \nu }\right){}_{\sigma }^{\rho }$ где $M^{\mu \nu }$ является стандартным базисом алгебры Лоренца. Эти генераторы имеют компоненты

(M^{\mu \nu })_{\sigma }^{\rho }=\eta ^{\mu \rho }\delta _{\sigma }^{\nu }-\eta ^{\nu \rho }\delta _{\sigma }^{\mu }

или, с обоими индексами вверх или обоими индексами вниз, просто матрицы, которые имеют $+1$ в $\mu ,\nu$ индекс и $-1$ в $\nu ,\mu$ индекс и 0 везде.

Если другое представление $\rho$ есть генераторы $T^{\mu \nu }=\rho (M^{\mu \nu }),$ тогда мы напишем

\rho (\Lambda )_{j}^{i}=\exp \left({\frac {i}{2}}\alpha _{\mu \nu }T^{\mu \nu }\right){}_{j}^{i}

где $i,j$ являются индексами пространства представления.

В случае $T^{\mu \nu }=\sigma ^{\mu \nu }$ , без предоставления компонентов генератора $\alpha _{\mu \nu }$ для $\Lambda _{\sigma }^{\rho }$ , этот $\rho (\Lambda )$ не определено четко: существуют наборы компонентов генератора $\alpha _{\mu \nu },\beta _{\mu \nu }$ которые дают то же самое $\Lambda _{\sigma }^{\rho }$ но другой $\rho (\Lambda )_{j}^{i}.$

Ковариантная производная для полей в представлении группы Лоренца

Учитывая систему координат ${\partial _{\alpha }}$ возникающий из, скажем, координат $\{x^{\alpha }\}$ , частная производная по общей ортонормированной системе отсчета $\{e_{\mu }\}$ определяется

\partial _{\mu }\psi =e_{\mu }^{\alpha }\partial _{\alpha }\psi ,

и компоненты связи относительно общей ортонормированной системы координат равны

\omega ^{\mu }{}_{\nu \rho }=e_{\rho }^{\alpha }\omega ^{\mu }{}_{\nu \alpha }.

Эти компоненты не трансформируются тензорно при смене кадра, но трансформируются при объединении. Кроме того, это определения, а не утверждение, что эти объекты могут возникнуть как частные производные на некоторой координатной карте. Вообще существуют некоординатные ортонормированные системы отсчета, для которых коммутатор векторных полей не равен нулю.

Можно проверить, что при преобразовании

\psi \mapsto \rho (\Lambda )\psi ,

если мы определим ковариантную производную

D_{\mu }\psi =\partial _{\mu }\psi +{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }\sigma ^{\nu \rho }\psi

,

затем $D_{\mu }\psi$ трансформируется как

D_{\mu }\psi \mapsto \rho (\Lambda )D_{\mu }\psi

Это обобщается на любое представление $R$ для группы Лоренца: если $v$ векторное поле для соответствующего представления,

D_{\mu }v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }R(M^{\nu \rho })v=\partial _{\mu }v+{\frac {1}{2}}(\omega _{\nu \rho })_{\mu }T^{\nu \rho }v.

Когда $R$ является фундаментальным представлением для ${\text{SO}}(1,3)$ , это восстанавливает знакомую ковариантную производную для (касательных) векторных полей, примером которых является связь Леви-Чивита.

Есть некоторые тонкости в том, каким математическим объектом являются различные типы ковариантной производной. Ковариантная производная $D_{\alpha }\psi$ в координатном базисе представляет собой векторную 1-форму, которая в каждой точке $p$ является элементом $E_{p}\otimes T_{p}^{*}M$ . Ковариантная производная $D_{\mu }\psi$ в ортонормированном базисе используется ортонормированная система координат $\{e_{\mu }\}$ отождествить векторнозначную 1-форму с векторнозначным двойственным вектором, который в каждой точке $p$ является элементом $E_{p}\otimes \mathbb {R} ^{1,3},$ используя это ${\mathbb {R} ^{1,3}}^{*}\cong \mathbb {R} ^{1,3}$ канонически. Затем мы можем сжать это с помощью гамма-матрицы 4-вектора $\gamma ^{\mu }$ который принимает значения в $p$ в ${\text{End}}(E_{p})\otimes \mathbb {R} ^{1,3}$

Уравнение Дирака об искривленном пространстве-времени

Вспоминая уравнение Дирака о плоском пространстве-времени,

(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0,

Уравнение Дирака для искривленного пространства-времени можно записать, превратив частную производную в ковариантную.

Таким образом, уравнение Дирака принимает следующий вид в искривленном пространстве-времени: ^[1]

Уравнение Дирака об искривленном пространстве-времени

$(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi =0.$

где $\Psi$ представляет собой спинорное поле в пространстве-времени. Математически это часть векторного расслоения, связанная с расслоением спин-фрейма представлением $(1/2,0)\oplus (0,1/2).$

Восстановление уравнения Клейна–Гордона из уравнения Дирака

Модифицированное уравнение Клейна-Гордона, полученное возведением в квадрат оператора в уравнении Дирака, впервые найденное Эрвином Шредингером , цитируемое Поллоком. ^[2] дается

\left({\frac {1}{\sqrt {-\det g}}}\,{\cal {D}}_{\mu }\left({\sqrt {-\det g}}\,g^{\mu \nu }{\cal {D}}_{\nu }\right)-{\frac {1}{4}}R+{\frac {ie}{2}}F_{\mu \nu }s^{\mu \nu }-m^{2}\right)\Psi =0.

где $R$ является скаляром Риччи, а $F_{\mu \nu }$ это напряженность поля $A_{\mu }$ . Альтернативная версия уравнения Дирака, оператор Дирака которой остается квадратным корнем лапласиана , представляет собой уравнение Дирака – Кэлера ; цена, которую придется заплатить, — это потеря лоренц-инвариантности в искривленном пространстве-времени.

Обратите внимание, что здесь латинские индексы обозначают «лоренцевы» метки Вирбена, а греческие индексы обозначают индексы координат многообразия .

Формулировка действий

Мы можем сформулировать эту теорию в терминах действия. Если, кроме того, пространство-время $(M,\mathbf {g} )$ ориентируем форма , существует предпочтительная ориентация, известная как объема. $\epsilon$ .Можно интегрировать функции по форме объема:

\int _{M}\epsilon f=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}f

Функция ${\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi$ интегрируется с формой объема для получения действия Дирака

Действие Дирака на искривленном пространстве-времени

$I_{\text{Dirac}}=\int _{M}d^{4}x{\sqrt {-g}}\,{\bar {\Psi }}(i\gamma ^{\mu }D_{\mu }-m)\Psi .$

См. также

Ссылки

^ Лори, Ян Д. Единый большой тур по теоретической физике .
^ Поллок, доктор медицинских наук (2010), Об уравнении Дирака в искривленном пространстве-времени

М. Арминджон, Ф. Райфлер (2013). «Эквивалентные формы уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени и обобщенные соотношения де Бройля». Бразильский физический журнал . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Бибкод : 2013BrJPh..43...64A . дои : 10.1007/s13538-012-0111-0 . S2CID 38235437 .
Доктор медицины Поллок (2010). «об уравнении Дирака в искривленном пространстве-времени» . Акта Физика Полоника Б. 41 (8): 1827.
СП Донген (2010). Объединение Эйнштейна . Издательство Кембриджского университета. п. 117. ИСБН 978-0-521-883-467 .
Л. Паркер, Д. Томс (2009). Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени: квантованные поля и гравитация . Издательство Кембриджского университета. п. 227. ИСБН 978-0-521-877-879 .
С.А. Фуллинг (1989). Аспекты квантовой теории поля в искривленном пространстве-времени . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-377-684 .

[1] Лори, Ян Д. Единый большой тур по теоретической физике .

[2] Поллок, доктор медицинских наук (2010), Об уравнении Дирака в искривленном пространстве-времени

[1]

[2]