Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени

Справочный материал, используемый в этой статье, см. в «Ковариантной формулировке классического электромагнетизма» и «Введение в математику общей теории относительности» .

Вынужденная кривизна пространства-времени

В физике уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени управляют динамикой электромагнитного поля в искривленном пространстве-времени (где метрика может не быть метрикой Минковского ) или где используется произвольная (не обязательно декартова ) система координат. Эти уравнения можно рассматривать как обобщение вакуумных уравнений Максвелла , которые обычно формулируются в локальных координатах плоского пространства-времени . Но поскольку общая теория относительности предписывает, что наличие электромагнитных полей (или энергии / материи в целом) вызывает искривление пространства-времени, Уравнения Максвелла в плоском пространстве-времени следует рассматривать как удобное приближение.

При работе в присутствии объемного вещества различие между свободными и связанными электрическими зарядами может облегчить анализ. Если провести различие, их называют макроскопическими уравнениями Максвелла. Без этого различия их иногда называют « микроскопическими » уравнениями Максвелла из-за контраста.

Электромагнитное поле допускает независимое от координат геометрическое описание, и уравнения Максвелла, выраженные через эти геометрические объекты, одинаковы в любом пространстве-времени, искривленном или нет. Кроме того, такие же модификации вносятся в уравнения плоского пространства Минковского при использовании локальных координат, не являющихся прямолинейными. Например, уравнения из этой статьи можно использовать для записи уравнений Максвелла в сферических координатах . По этим причинам может быть полезно рассматривать уравнения Максвелла в пространстве Минковского как частный случай общей формулировки.

Краткое содержание

В общей теории относительности метрический тензор $g_{\alpha \beta }$ больше не является константой (например, $\eta _{\alpha \beta }$ как в примерах метрического тензора ), но может меняться в пространстве и времени, и уравнения электромагнетизма в вакууме принимают вид

${\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha },\\{\mathcal {D}}^{\mu \nu }&={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}},\\J^{\mu }&=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu },\\f_{\mu }&=F_{\mu \nu }\,J^{\nu },\end{aligned}}$

где $f_{\mu }$ – плотность силы Лоренца , $g^{\alpha \beta }$ является обратным метрическому тензору $g_{\alpha \beta }$, и $g$ – определитель метрического тензора. Обратите внимание, что $A_{\alpha }$ и $F_{\alpha \beta }$ являются (обычными) тензорами, а ${\mathcal {D}}^{\mu \nu }$, $J^{\nu }$, и $f_{\mu }$ — тензорные плотности веса +1. Несмотря на использование частных производных , эти уравнения инвариантны относительно произвольных преобразований криволинейных координат. Таким образом, если заменить частные производные ковариантными производными , введенные таким образом дополнительные члены сократятся (см. § Пример манифестной ковариации ).

Электромагнитный потенциал

Электромагнитный потенциал представляет собой ковариантный вектор Aα _{, который является} неопределённым примитивом электромагнетизма. Будучи ковариантным вектором, его компоненты переходят из одной системы координат в другую по закону

${\bar {A}}_{\beta }({\bar {x}})={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }(x).$

Электромагнитное поле

Электромагнитное поле представляет собой ковариантный антисимметричный тензор степени 2, который можно определить через электромагнитный потенциал следующим образом: $$F_{\alpha \beta }=\partial _{\alpha }A_{\beta }-\partial _{\beta }A_{\alpha }.$$

Чтобы убедиться в инвариантности этого уравнения, преобразуем координаты, как описано в классической трактовке тензоров : $${\begin{aligned}{\bar {F}}_{\alpha \beta }&={\frac {\partial {\bar {A}}_{\beta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial {\bar {A}}_{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }\right)-{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }\right)\\&={\frac {\partial ^{2}x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\beta }}}A_{\gamma }+{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}-{\frac {\partial ^{2}x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}A_{\delta }-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\\&={\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}\left({\frac {\partial A_{\gamma }}{\partial x^{\delta }}}-{\frac {\partial A_{\delta }}{\partial x^{\gamma }}}\right)\\&={\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\gamma }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}F_{\delta \gamma }.\end{aligned}}$$

Из этого определения следует, что электромагнитное поле удовлетворяет условию $$\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=0,$$ который включает в себя закон индукции Фарадея и закон магнетизма Гаусса . Это видно из $$\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }=\partial _{\lambda }\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\lambda }\partial _{\nu }A_{\mu }+\partial _{\mu }\partial _{\nu }A_{\lambda }-\partial _{\mu }\partial _{\lambda }A_{\nu }+\partial _{\nu }\partial _{\lambda }A_{\mu }-\partial _{\nu }\partial _{\mu }A_{\lambda }=0.$$

Таким образом, правая часть этого закона Максвелла тождественно равна нулю, а это означает, что классическая теория электромагнитного поля не оставляет места магнитным монополям или их токам, которые могли бы выступать в качестве источников поля.

Хотя кажется, что в системе Фарадея–Гаусса 64 уравнения, на самом деле она сводится всего к четырем независимым уравнениям. Используя антисимметрию электромагнитного поля, можно либо свести к тождеству (0 = 0), либо сделать избыточными все уравнения, кроме тех, где { λ , µ , ν } равны либо {1, 2, 3}, {2, 3, 0}, {3, 0, 1} или {0, 1, 2}.

Уравнение Фарадея – Гаусса иногда записывают $$F_{[\mu \nu ;\lambda ]}=F_{[\mu \nu ,\lambda ]}={\frac {1}{6}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu }-\partial _{\lambda }F_{\nu \mu }-\partial _{\mu }F_{\lambda \nu }-\partial _{\nu }F_{\mu \lambda })={\frac {1}{3}}(\partial _{\lambda }F_{\mu \nu }+\partial _{\mu }F_{\nu \lambda }+\partial _{\nu }F_{\lambda \mu })=0,$$ где точка с запятой указывает на ковариантную производную, запятая указывает на частную производную, а квадратные скобки указывают на антисимметризацию (обозначения см . В исчислении Риччи ). Ковариантная производная электромагнитного поля равна $$F_{\alpha \beta ;\gamma }=F_{\alpha \beta ,\gamma }-{\Gamma ^{\mu }}_{\alpha \gamma }F_{\mu \beta }-{\Gamma ^{\mu }}_{\beta \gamma }F_{\alpha \mu },$$ где Γ ^а _βγ — символ Кристоффеля , симметричный по нижним индексам.

Электромагнитное смещение

Поле электрического смещения D и вспомогательное магнитное поле H образуют антисимметричную контравариантную тензорную плотность ранга 2 с весом +1. В вакууме это определяется выражением

${\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.$

Это уравнение — единственное место, где метрика (и, следовательно, гравитация) входит в теорию электромагнетизма. Кроме того, уравнение инвариантно при изменении масштаба, то есть умножение метрики на константу не влияет на это уравнение. Следовательно, гравитация может влиять на электромагнетизм только путем изменения скорости света относительно используемой глобальной системы координат. Свет отклоняется только под действием силы тяжести, потому что вблизи массивных тел он медленнее. Получается, что гравитация увеличила показатель преломления пространства вблизи массивных тел.

В более общем смысле, в материалах, где тензор намагниченности - поляризации не равен нулю, мы имеем

${\mathcal {D}}^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu _{0}}}\,g^{\mu \alpha }\,F_{\alpha \beta }\,g^{\beta \nu }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}-{\mathcal {M}}^{\mu \nu }.$

Закон преобразования электромагнитного смещения:

${\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}\,{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\,\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right],$

где определитель Якобиана используется . Если используется тензор намагниченности-поляризации, он имеет тот же закон преобразования, что и электромагнитное смещение.

Электрический ток

Электрический ток – это дивергенция электромагнитного смещения. В вакууме,

$J^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.$

Если использовать намагничивание-поляризацию, то это как раз дает свободную часть тока

$J_{\text{free}}^{\mu }=\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }.$

Это включает в себя закон Ампера и закон Гаусса .

В любом случае тот факт, что электромагнитное смещение антисимметрично, означает, что электрический ток автоматически сохраняется:

$\partial _{\mu }J^{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }{\mathcal {D}}^{\mu \nu }=0,$

потому что частные производные коммутируют .

Определение электрического тока Ампером-Гауссом недостаточно для определения его значения, поскольку электромагнитному потенциалу (из которого он в конечном итоге был получен) не было присвоено значение. Вместо этого обычная процедура состоит в том, чтобы приравнять электрический ток к некоторому выражению через другие поля, в основном электрон и протон, а затем найти электромагнитное смещение, электромагнитное поле и электромагнитный потенциал.

Электрический ток представляет собой контравариантную векторную плотность и поэтому преобразуется следующим образом:

${\bar {J}}^{\mu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right].$

Проверка этого закона преобразования: $${\begin{aligned}{\bar {J}}^{\mu }&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\bar {\mathcal {D}}}^{\mu \nu }\right)\\[6pt]&={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\right)\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\\[6pt]&={\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\mathcal {D}}^{\alpha \beta }}{\partial x^{\beta }}}\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&=0+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]&={\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}J^{\alpha }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\mu }}{\partial x^{\alpha }}}{\mathcal {D}}^{\alpha \beta }\det \left[{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right]\left({\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\right).\end{aligned}}$$

Так что остается только показать, что

${\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}=0,$

что является версией известной теоремы (см. Обратные функции и дифференцирование § Высшие производные ). $${\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\rho }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\rho }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }\partial x^{\beta }}}+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial ^{2}{\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\beta }\partial x^{\sigma }}}+{\frac {\partial ^{2}x^{\sigma }}{\partial x^{\beta }\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial x^{\sigma }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial x^{\sigma }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\nu }}{\partial {\bar {x}}^{\nu }}}\right)\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left(\mathbf {4} \right)\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}$$

Плотность силы Лоренца

Плотность силы Лоренца представляет собой ковариантную векторную плотность, определяемую выражением $$f_{\mu }=F_{\mu \nu }J^{\nu }.$$

Сила, действующая на пробную частицу, подверженную только гравитации и электромагнетизму, равна $${\frac {dp_{\alpha }}{dt}}=\Gamma _{\alpha \gamma }^{\beta }p_{\beta }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}}+qF_{\alpha \gamma }{\frac {dx^{\gamma }}{dt}},$$ где p _α — линейный 4-импульс частицы, t — любая временная координата, параметризующая мировую линию частицы, Γ ^б _αγ — символ Кристоффеля (поле гравитационных сил), q — электрический заряд частицы.

Это уравнение инвариантно относительно изменения временной координаты; просто умножь на $dt/d{\bar {t}}$ и используйте правило цепочки . Он также инвариантен относительно изменения системы координат x .

Используя закон преобразования символа Кристоффеля, $${\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\epsilon }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\zeta }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}},$$ мы получаем $${\begin{aligned}&{\frac {d{\bar {p}}_{\alpha }}{dt}}-{\bar {\Gamma }}_{\alpha \gamma }^{\beta }{\bar {p}}_{\beta }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}-q{\bar {F}}_{\alpha \gamma }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}p_{\delta }\right)-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\theta }}}{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}{\frac {\partial x^{\iota }}{\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\Gamma _{\delta \iota }^{\theta }+{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-q{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}F_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&{\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\left({\frac {dp_{\delta }}{dt}}-\Gamma _{\delta \zeta }^{\epsilon }p_{\epsilon }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}-qF_{\delta \zeta }{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\right)+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-\left({\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\eta }}}{\frac {\partial ^{2}x^{\eta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}\right){\frac {\partial x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\beta }}}p_{\epsilon }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\gamma }}{\partial x^{\zeta }}}{\frac {dx^{\zeta }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial x^{\delta }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }}}\right)p_{\delta }-{\frac {\partial ^{2}x^{\epsilon }}{\partial {\bar {x}}^{\alpha }\partial {\bar {x}}^{\gamma }}}p_{\epsilon }{\frac {d{\bar {x}}^{\gamma }}{dt}}\\[6pt]{}={}&0.\end{aligned}}$$

лагранжиан

В вакууме плотность лагранжиана для классической электродинамики (в джоулях на кубический метр) представляет собой скалярную плотность $${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J^{\alpha },$$ где $$F^{\alpha \beta }=g^{\alpha \gamma }F_{\gamma \delta }g^{\delta \beta }.$$

Под 4-током следует понимать сокращение многих терминов, выражающих электрические токи других заряженных полей через их переменные.

Если мы отделим свободные токи от связанных токов, лагранжиан станет $${\mathcal {L}}=-{\frac {1}{4\mu _{0}}}\,F_{\alpha \beta }\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {\sqrt {-g}}{c}}+A_{\alpha }\,J_{\text{free}}^{\alpha }+{\frac {1}{2}}\,F_{\alpha \beta }\,{\mathcal {M}}^{\alpha \beta }.$$

Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Основная статья: Тензор электромагнитного напряжения-энергии

Как часть исходного члена в уравнениях поля Эйнштейна , тензор электромагнитного напряжения-энергии представляет собой ковариантный симметричный тензор $$T_{\mu \nu }=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \nu }-{\frac {1}{4}}g_{\mu \nu }F_{\sigma \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right),$$ с использованием метрики подписи (−, +, +, +). Если использовать метрику с сигнатурой (+, −, −, −), выражение для $T_{\mu \nu }$ будет иметь противоположный знак. Тензор энергии-импульса бесследен: $$T_{\mu \nu }g^{\mu \nu }=0$$ потому что электромагнетизм распространяется с локальной инвариантной скоростью и является конформно-инвариантным.

В выражении сохранения энергии и импульса электромагнитный тензор энергии-напряжения лучше всего представить в виде смешанного тензора плотности $${\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }=T_{\mu \gamma }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}.$$

Из приведенных выше уравнений можно показать, что $${{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }=0,$$ где точка с запятой указывает на ковариантную производную .

Это можно переписать как $$-{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{,\nu }=-\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }{\mathfrak {T}}_{\sigma }^{\nu }+f_{\mu },$$ который говорит, что уменьшение электромагнитной энергии равно работе, совершаемой электромагнитным полем над гравитационным полем, плюс работа, совершаемая над веществом (посредством силы Лоренца), и аналогично скорость уменьшения электромагнитного линейного момента равна электромагнитная сила, действующая на гравитационное поле, плюс сила Лоренца, действующая на вещество.

Вывод закона сохранения: $${\begin{aligned}{{\mathfrak {T}}_{\mu }^{\nu }}_{;\nu }+f_{\mu }&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma }g^{\gamma \nu }+F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }-{\frac {1}{2}}\delta _{\mu }^{\nu }F_{\sigma \alpha ;\nu }g^{\alpha \beta }F_{\beta \rho }g^{\rho \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}+{\frac {1}{\mu _{0}}}F_{\mu \alpha }g^{\alpha \beta }F_{\beta \gamma ;\nu }g^{\gamma \nu }{\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(\left(-F_{\nu \mu ;\alpha }-F_{\alpha \nu ;\mu }\right)F^{\alpha \nu }-{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \nu ;\alpha }F^{\alpha \nu }-F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\sigma \alpha }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\nu \alpha }-{\frac {1}{2}}F_{\alpha \nu ;\mu }F^{\alpha \nu }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}}\\&=-{\frac {1}{\mu _{0}}}\left(-F_{\mu \alpha ;\nu }F^{\alpha \nu }+{\frac {1}{2}}F_{\sigma \alpha ;\mu }F^{\alpha \sigma }\right){\frac {\sqrt {-g}}{c}},\end{aligned}}$$

который равен нулю, потому что он сам по себе отрицателен (см. четыре строки выше).

Уравнение электромагнитной волны

Неоднородное уравнение электромагнитной волны в терминах тензора поля преобразуется из формы специальной теории относительности в форму

$\Box F_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ F_{ab;}{}^{d}{}_{d}=-2R_{acbd}F^{cd}+R_{ae}F^{e}{}_{b}-R_{be}F^{e}{}_{a}+J_{a;b}-J_{b;a},$

где R _acbd — ковариантная форма тензора Римана , и $\Box$ является обобщением оператора Даламбера для ковариантных производных. С использованием

$\Box A^{a}={{A^{a;}}^{b}}_{b}.$

Исходные уравнения Максвелла можно записать в терминах 4-потенциала [ссылка. 2 , с. 569] как

$\Box A^{a}-{A^{b;a}}_{b}=-\mu _{0}J^{a}$

или, предполагая обобщение калибровки Лоренца в искривленном пространстве-времени,

${\begin{aligned}{A^{a}}_{;a}&=0,\\\Box A^{a}&=-\mu _{0}J^{a}+{R^{a}}_{b}A^{b},\end{aligned}}$

где $R_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ {R^{s}}_{asb}$ – тензор кривизны Риччи .

Это та же форма волнового уравнения, что и в плоском пространстве-времени, за исключением того, что производные заменены ковариантными производными и имеется дополнительный член, пропорциональный кривизне. Волновое уравнение в этой форме также имеет некоторое сходство с силой Лоренца в искривленном пространстве-времени, где A ^а играет роль 4-й позиции.

Для случая метрической сигнатуры в виде (+, −, −, −) в статье проводится вывод волнового уравнения в искривленном пространстве-времени.

Нелинейность уравнений Максвелла в динамическом пространстве-времени

Когда уравнения Максвелла рассматриваются независимо от фона , то есть когда метрика пространства-времени считается динамической переменной, зависящей от электромагнитного поля, тогда уравнение электромагнитной волны и уравнения Максвелла являются нелинейными. В этом можно убедиться, заметив, что тензор кривизны зависит от тензора энергии-импульса посредством уравнения поля Эйнштейна

$G_{ab}={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{ab},$

где

$G_{ab}\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ R_{ab}-{\frac {1}{2}}Rg_{ab}$

— тензор Эйнштейна , G — гравитационная постоянная Ньютона , g _ab — метрический тензор , а R ( скалярная кривизна ) — след тензора кривизны Риччи. Тензор энергии-напряжения состоит из энергии-напряжения частиц, а также энергии напряжения-энергии электромагнитного поля. Это порождает нелинейность.

Геометрическая формулировка

В дифференциально-геометрической формулировке электромагнитного поля антисимметричный тензор Фарадея можно рассматривать как 2-форму Фарадея. $\mathbf {F}$. С этой точки зрения одно из двух уравнений Максвелла имеет вид

$\mathrm {d} \mathbf {F} =0,$

где $\mathrm {d}$ — внешний оператор производной . Это уравнение полностью координатно- и метрически независимое и говорит о том, что электромагнитный поток через замкнутую двумерную поверхность в пространстве-времени топологичен, точнее, зависит только от его класса гомологии (обобщения интегральной формы закона Гаусса и Уравнение Максвелла – Фарадея, поскольку класс гомологии в пространстве Минковского автоматически равен 0). По лемме Пуанкаре из этого уравнения следует (по крайней мере локально), что существует 1-форма $\mathbf {A}$ удовлетворяющий

$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {A} .$

Другое уравнение

$\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J} .$

В этом контексте $\mathbf {J}$ — это текущая 3-форма (или, точнее, искривленная 3-форма), а звезда $\star$ обозначает звездный оператор Ходжа . Зависимость уравнения Максвелла от метрики пространства-времени заключается в звездном операторе Ходжа $\star$ на 2-формах, что конформно инвариантно . Записанное таким образом, уравнение Максвелла одинаково в любом пространстве-времени, явно координатно-инвариантно и удобно в использовании (даже в пространстве Минковского или евклидовом пространстве и времени, особенно с криволинейными координатами).

Альтернативная геометрическая интерпретация состоит в том, что 2-форма Фарадея $\mathbf {F}$ (с точностью до фактора $i$) 2-форма кривизны $F(\nabla )$ U ) (1 -соединения $\nabla$ на главном U (1)-расслоении , сечения которого представляют собой заряженные поля. Связь очень похожа на векторный потенциал, поскольку каждую связь можно записать как $\nabla =\nabla _{0}+iA$ для «базового» подключения $\nabla _{0}$, и

$\mathbf {F} =\mathbf {F} _{0}+\mathrm {d} \mathbf {A} .$

С этой точки зрения «уравнение» Максвелла $\mathrm {d} \mathbf {F} =0$ — это математическое тождество, известное как тождество Бьянки . Уравнение $\mathrm {d} {\star }\mathbf {F} =\mathbf {J}$ — единственное уравнение, имеющее какой-либо физический смысл в этой формулировке. Эта точка зрения особенно естественна при рассмотрении заряженных полей или квантовой механики. Это можно интерпретировать как утверждение, что, подобно тому, как гравитацию можно понимать как результат необходимости соединения с параллельными транспортными векторами в разных точках, электромагнитные явления или более тонкие квантовые эффекты, такие как эффект Ааронова-Бома можно понимать . в результате необходимости подключения к параллельным транспортным заряженным полям или участкам волн в разных точках. Фактически, так же, как тензор Римана является голономией связности Леви-Чивита вдоль бесконечно малой замкнутой кривой, кривизна связности является голономией U(1)-связности.

См. также

• Уравнение электромагнитной волны
• Неоднородное уравнение электромагнитной волны
• Математические описания электромагнитного поля
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Теоретическая мотивация общей теории относительности
• Введение в математику общей теории относительности
• Электровакуумное решение
• Парадокс излучения заряженных частиц в гравитационном поле

Ссылки

• Эйнштейн, А. (1961). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Корона. ISBN  0-517-02961-8 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  0-7167-0344-0 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (1975). Классическая теория полей (Четвертое исправленное английское изд.). Оксфорд: Пергамон. ISBN  0-08-018176-7 .
• Фейнман, Р.П .; Моринго, ФБ; Вагнер, WG (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Аддисон-Уэсли . ISBN  0-201-62734-5 .

Внешние ссылки

• Электромагнитные поля в искривленном пространстве-времени