Неоднородное уравнение электромагнитной волны

В электромагнетизме и приложениях неоднородное уравнение электромагнитной волны , или неоднородное уравнение электромагнитной волны , является одним из набора волновых уравнений, описывающих распространение электромагнитных волн, генерируемых ненулевыми зарядами и токами источника . Исходные члены в волновых уравнениях делают уравнения в частных производных неоднородными . Если исходные члены равны нулю, уравнения сводятся к однородным уравнениям электромагнитных волн . Уравнения следуют из уравнений Максвелла .

Уравнения Максвелла

Для справки: уравнения Максвелла приведены ниже в единицах СИ и гауссовских единицах . Они управляют электрическим полем E и магнитным полем B за счет плотности заряда источника ρ и плотности тока J :

Имя	единицы СИ	Гауссовы единицы
Закон Гаусса	$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}$	$\nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \rho$
Закон Гаусса для магнетизма	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
Уравнение Максвелла – Фарадея ( закон индукции Фарадея )	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
Круговой закон Ампера (с добавлением Максвелла)	$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$	$\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)$

где ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума , а µ ₀ — проницаемость вакуума . На протяжении всего времени отношение $$\varepsilon _{0}\mu _{0}={\dfrac {1}{c^{2}}}$$также используется.

единицы СИ

Поля E и B

Уравнения Максвелла могут непосредственно дать неоднородные волновые уравнения для электрического поля E и магнитного B. поля Подставив закон Гаусса вместо электричества и закон Ампера в ротор закона индукции Фарадея и используя ротор тождества ротора ∇ × (∇ × X ) = ∇(∇ ⋅ X ) − ∇ ² X (последний член в правой части — это векторный лапласиан , а не лапласиан, применяемый к скалярным функциям.) дает волновое уравнение для электрического поля E : $${\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-\left({\dfrac {1}{\varepsilon _{0}}}\nabla \rho +\mu _{0}{\dfrac {\partial \mathbf {J} }{\partial t}}\right)\,.$$

Аналогично, подставляя закон Гаусса вместо магнетизма в ротор кругового закона Ампера (с дополнительным зависящим от времени членом Максвелла) и используя ротор идентичности ротора, получаем волновое уравнение для магнитного поля B : $${\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \times \mathbf {J} \,.$$

Левые части каждого уравнения соответствуют волновому движению ( оператору Даламбера, действующему на поля), а правые части — источникам волн. Уравнения подразумевают, что электромагнитные волны генерируются при наличии градиентов плотности заряда ρ , циркуляции плотности тока J , изменяющейся во времени плотности тока или любой их смеси.

Эти формы волновых уравнений не часто используются на практике, поскольку исходные члены неудобно сложны. Более простая формулировка, чаще встречающаяся в литературе и используемая в теории, использует формулировку электромагнитного потенциала , представленную ниже.

A и φ Потенциальные поля

Вводя электрический потенциал φ ( скалярный потенциал ) и магнитный потенциал A ( векторный потенциал ), определяемый из полей E и B следующим образом: $$\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.$$

Четыре уравнения Максвелла в вакууме с источниками заряда ρ и тока J сводятся к двум уравнениям: закон Гаусса для электричества: $$\nabla ^{2}\varphi +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,$$где $\nabla ^{2}$ вот лапласиан , примененный к скалярным функциям, и закон Ампера-Максвелла: $$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}-\nabla \left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,$$где $\nabla ^{2}$ вот векторный лапласиан, примененный к векторным полям. Исходные условия теперь намного проще, но волновые условия менее очевидны. Поскольку потенциалы не уникальны, но обладают калибровочной свободой, эти уравнения можно упростить, зафиксировав калибровку . Распространенным выбором является калибровочное условие Лоренца : $${\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0$$

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам: $${\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho \,,\\[2.75ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.\end{aligned}}$$

Для справки: в единицах СГС эти уравнения имеют вид $${\begin{aligned}\nabla ^{2}\varphi -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}&=-4\pi \rho \\[2ex]\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}&=-{\frac {4\pi }{c}}\mathbf {J} \end{aligned}}$$с калибровочным условием Лоренца $${\frac {1}{c}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0\,.$$

Ковариантная форма неоднородного волнового уравнения

Смотрите также: Ковариантная формулировка классического электромагнетизма

Замедление времени при поперечном движении. Требование постоянства скорости света во всех инерциальных системах отсчета приводит к теории относительности.

Релятивистские уравнения Максвелла можно записать в ковариантной форме как $${\begin{aligned}\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-\mu _{0}J^{\mu }&&{\text{SI}}\\[1.15ex]\Box A^{\mu }&\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ \partial _{\beta }\partial ^{\beta }A^{\mu }\ {\stackrel {\scriptscriptstyle \mathrm {def} }{=}}\ {A^{\mu ,\beta }}_{\beta }=-{\tfrac {4\pi }{c}}J^{\mu }&&{\text{cgs}}\end{aligned}}$$где $$\Box =\partial _{\beta }\partial ^{\beta }=\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$$– оператор Даламбера , $$J^{\mu }=\left(c\rho ,\mathbf {J} \right)$$четырехтоковый ​ , $${\frac {\partial }{\partial x^{a}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \partial _{a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {}_{,a}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (\partial /\partial ct,\nabla )$$является 4-градиентом , и $${\begin{aligned}A^{\mu }&=(\varphi /c,\mathbf {A} )&&{\text{SI}}\\[1ex]A^{\mu }&=(\varphi ,\mathbf {A} )&&{\text{cgs}}\end{aligned}}$$— электромагнитный четырехпотенциал с Лоренца калибровочным условием $$\partial _{\mu }A^{\mu }=0\,.$$

Искривленное пространство-время

Уравнение электромагнитной волны модифицируется двумя способами в искривленном пространстве-времени : производная заменяется ковариантной производной и появляется новый член, зависящий от кривизны (единицы СИ). $$-{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\alpha }$$где $${R^{\alpha }}_{\beta }$$– тензор кривизны Риччи . Здесь точка с запятой указывает на ковариантное дифференцирование. Чтобы получить уравнение в единицах СГС, замените проницаемость на 4 π / c .

времени : Предполагается калибровочное условие Лоренца в искривленном пространстве- $${A^{\mu }}_{;\mu }=0\,.$$

Решения неоднородного уравнения электромагнитных волн

Запаздывающая сферическая волна. Источник волны возникает в момент времени t ' . Волновой фронт удаляется от источника с увеличением времени при t > t ' . Для продвинутых решений волновой фронт движется назад во времени от источника t < t ' .

В случае отсутствия границ вокруг источников решения (единицы СГС) неоднородных волновых уравнений имеют вид $$\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'$$и $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'+{\frac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')}{c}}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'$$где $$\delta \left(t'+{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)$$является дельта-функцией Дирака .

Эти решения известны как запаздывающие калибровочные потенциалы Лоренца . Они представляют собой суперпозицию сферических световых волн, распространяющихся от источников волн из настоящего в будущее.

Есть и продвинутые решения (агрегаты СГС) $$\varphi (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\rho (\mathbf {r} ',t')\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'$$и $$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\int {\frac {\delta \left(t'-{\tfrac {1}{c}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}-t\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}{\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t') \over c}\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'\,.$$

Они представляют собой суперпозицию сферических волн, идущих из будущего в настоящее.

См. также

• Волновое уравнение
• Синусоидальные плосковолновые решения уравнения электромагнитных волн
• Формула Лармора
• Ковариантная формулировка классического электромагнетизма
• Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени
• Сила Авраама – Лоренца
• функция Грина

Ссылки

Электромагнетизм

Журнальные статьи

• Джеймс Клерк Максвелл, « Динамическая теория электромагнитного поля », «Философские труды Лондонского королевского общества» 155 , 459–512 (1865). (Эта статья сопровождала презентацию Максвелла Королевскому обществу от 8 декабря 1864 года.)

Учебники для бакалавриата

• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .
• Типлер, Пол (2004). Физика для ученых и инженеров: электричество, магнетизм, свет и элементарная современная физика (5-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-0810-8 .
• Перселл, Эдвард М. (1985). Электричество и магнетизм . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
• Хаус, Герман А.; Мельчер, Джеймс Р. (1989). Электромагнитные поля и энергия . Прентис-Холл. ISBN  0-13-249020-Х .
• Банеш Хоффман (1983). Относительность и ее корни . Нью-Йорк: Фриман.
• Дэвид Х. Стэлин; Энн В. Моргенталер; Джин Ау Конг (1994). Электромагнитные волны . Прентис-Холл. ISBN  0-13-225871-4 .
• Стивенс, Чарльз Ф. (1995). Шесть основных теорий современной физики . МТИ Пресс. ISBN  0-262-69188-4 . .

Учебники для аспирантов

• Роберт Уолд, Передовой классический электромагнетизм (2022).
• Джексон, Джон Д. (1998). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-30932-Х .
• Ландау, Л.Д. , Классическая теория полей (Курс теоретической физики: Том 2), (Баттерворт-Хейнеманн: Оксфорд, 1987).
• Максвелл, Джеймс К. (1954). Трактат об электричестве и магнетизме . Дувр. ISBN  0-486-60637-6 .
• Миснер, Чарльз В.; Торн, Кип С. (1970). Гравитация . Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN  0-7167-0344-0 . . (Обеспечивает трактовку уравнений Максвелла в терминах дифференциальных форм.)

Векторное исчисление и другие темы

• Шей, Гарри Мориц (2005). Div, Grad, Curl и все такое: неофициальный текст по векторному исчислению (4-е изд.). Нортон. ISBN  978-0-393-92516-6 .
• Арфкен и др., Математические методы для физиков, 6-е издание (2005 г.). Главы 1 и 2 посвящены векторному и тензорному исчислению соответственно.
• Дэвид Тонг, Лекции по векторному исчислению . Конспекты лекций, доступные в свободном доступе, можно найти здесь: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/vc.html.