Потенциал Льенара – Вихерта

Потенциалы Льенара – Вихерта описывают классический электромагнитный эффект движущегося электрического точечного заряда в терминах векторного потенциала и скалярного потенциала в калибровке Лоренца . Вытекающие непосредственно из уравнений Максвелла , они описывают полное, релятивистски правильное, изменяющееся во времени электромагнитное поле для точечного заряда, находящегося в произвольном движении, но без поправки на квантово-механические эффекты. электромагнитное излучение в виде волн Из этих потенциалов можно получить . Эти выражения были частично развиты Альфредом-Мари Льенаром в 1898 году. ^{[ 1 ]} и независимо Эмилем Вихертом в 1900 году. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Уравнения

Определение потенциалов Льенара – Вихерта.

Запаздывающее время определяется в контексте распределений зарядов и токов как

t_{r}(\mathbf {r} ,\mathbf {r_{s}} ,t)=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|,

где $\mathbf {r}$ является точкой наблюдения, и $\mathbf {r} _{s}$ — наблюдаемая точка, подверженная изменениям зарядов источника и токов. За переезд $q$ чья заданная траектория $\mathbf {r_{s}} (t)$ , $\mathbf {r_{s}}$ больше не является фиксированным, а становится функцией самого замедленного времени. Другими словами, следуя по траектории из $q$ дает неявное уравнение

t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|,

что обеспечивает замедленное время $t_{r}$ в зависимости от текущего времени (и заданной траектории):

t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)

.

Потенциалы Льенара – Вихерта. $\varphi$ (скалярное потенциальное поле) и $\mathbf {A}$ (векторное потенциальное поле) для точечного заряда источника $q$ на позиции $\mathbf {r} _{s}$ путешествуя со скоростью $\mathbf {v} _{s}$ :

\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}

и

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t_{r})}{c}}\varphi (\mathbf {r} ,t)

где:

${\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}$ – скорость источника, выраженная в долях скорости света;
${|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}$ – расстояние от источника;
$\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}$ - единичный вектор, указывающий в направлении от источника и,
Символ $(\cdots )_{t_{r}}$ означает, что величины внутри скобок должны быть оценены в запаздывающее время $t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)$ .

Это также можно записать ковариантным образом , где электромагнитный четырехпотенциал в $X^{\mu }=(t,x,y,z)$ является: ^{[ 4 ]}

A^{\mu }(X)=-{\frac {\mu _{0}qc}{4\pi }}\left({\frac {U^{\mu }}{R_{\nu }U^{\nu }}}\right)_{t_{r}}

где $R^{\mu }=X^{\mu }-R_{\rm {s}}^{\mu }$ и $R_{\rm {s}}^{\mu }$ это положение источника и $U^{\mu }=dX^{\mu }/d\tau$ это его четыре скорости.

Вычисление поля

Мы можем рассчитать электрические и магнитные поля непосредственно из потенциалов, используя определения: $\mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$ и $\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A}$

Расчет нетривиален и требует ряда шагов. Электрические и магнитные поля (в нековариантной форме): $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {q(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}}{c(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}$ и $\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times \mathbf {n} _{s})}{\gamma ^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}}}+{\frac {q\mathbf {n} _{s}\times {\Big (}\mathbf {n} _{s}\times {\big (}(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})\times {\dot {{\boldsymbol {\beta }}_{s}}}{\big )}{\Big )}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mathbf {n} _{s}(t_{r})}{c}}\times \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ где ${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)={\frac {\mathbf {v} _{s}(t)}{c}}}$ , ${\textstyle \mathbf {n} _{s}(t)={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t)|}}}$ и ${\textstyle \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}_{s}(t)|^{2}}}}}$ ( фактор Лоренца ).

Обратите внимание, что $\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}$ часть первого члена электрического поля обновляет направление поля в сторону мгновенного положения заряда, если он продолжает двигаться с постоянной скоростью $c{\boldsymbol {\beta }}_{s}$ . Этот термин связан со «статической» частью электромагнитного поля заряда.

Второе слагаемое, связанное с электромагнитным излучением движущегося заряда, требует ускорения заряда. ${\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}$ а если это ноль, то и значение этого члена равно нулю, и заряд не излучает (испускает электромагнитное излучение). Это слагаемое дополнительно требует, чтобы составляющая ускорения заряда была направлена в направлении, поперечном линии, соединяющей заряд $q$ и наблюдатель поля $\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)$ . Направление поля, связанного с этим радиационным членом, направлено к положению заряда, полностью запаздывающему во времени (т. е. там, где заряд находился в момент ускорения).

Вывод

The $\varphi (\mathbf {r} ,t)$ скалярный и $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)$ векторные потенциалы удовлетворяют уравнению неоднородной электромагнитной волны , где источники выражаются через плотности заряда и тока $\rho (\mathbf {r} ,t)$ и $\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)$ $\nabla ^{2}\varphi +{{\partial } \over \partial t}\left(\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,$ и закон Ампера-Максвелла: $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}-\nabla \left({1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} \right)=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.$

Поскольку потенциалы не уникальны, но обладают калибровочной свободой, эти уравнения можно упростить, зафиксировав калибровку . Распространенным выбором является калибровочное условие Лоренца : ${1 \over c^{2}}{{\partial \varphi } \over {\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

Тогда неоднородные волновые уравнения становятся несвязанными и симметричными по потенциалам: $\nabla ^{2}\varphi -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\varphi \over \partial t^{2}}=-{\rho \over \varepsilon _{0}}\,,$ $\nabla ^{2}\mathbf {A} -{1 \over c^{2}}{\partial ^{2}\mathbf {A} \over \partial t^{2}}=-\mu _{0}\mathbf {J} \,.$

Обычно запаздывающие решения для скалярного и векторного потенциалов (единицы СИ) имеют вид $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)$ и $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '+\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)$

где ${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}$ это запаздывающее время и $\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)$ и $\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)$ удовлетворяют однородному волновому уравнению без источников и граничных условий. В случае, если вокруг источников нет границ, то $\varphi _{0}(\mathbf {r} ,t)=0$ и $\mathbf {A} _{0}(\mathbf {r} ,t)=0$ .

Для движущегося точечного заряда, траектория которого определяется как функция времени выражением $\mathbf {r} _{s}(t')$ , плотности заряда и тока равны:

$\rho (\mathbf {r} ',t')=q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))$ $\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t')=q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))$

где $\delta ^{3}$ - трехмерная дельта-функция Дирака и $\mathbf {v} _{s}(t')$ - скорость точечного заряда.

Подстановка в выражения для потенциала дает $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t_{r}')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t_{r}'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}d^{3}\mathbf {r} '$

Эти интегралы трудно вычислить в их нынешнем виде, поэтому мы перепишем их, заменив $t_{r}'$ с $t'$ и интегрирование по дельта-распределению $\delta (t'-t_{r}')$ : $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\delta (t'-t_{r}')\,dt'\,d^{3}\mathbf {r} '$

Меняем порядок интегрирования: $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint {\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}q\mathbf {v} _{s}(t')\delta ^{3}(\mathbf {r'} -\mathbf {r} _{s}(t'))\,d^{3}\mathbf {r} 'dt'$

Дельта-функция выбирает $\mathbf {r} '=\mathbf {r} _{s}(t')$ что позволяет нам легко выполнить внутреннюю интеграцию. Обратите внимание, что $t_{r}'$ является функцией $\mathbf {r} '$ , поэтому эта интеграция также исправляет ${\textstyle t_{r}'=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}$ . $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int q{\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}dt'$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int q\mathbf {v} _{s}(t'){\frac {\delta (t'-t_{r}')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|}}\,dt'$

Запоздалое время $t_{r}'$ является функцией точки поля $(\mathbf {r} ,t)$ и траектория источника $\mathbf {r} _{s}(t')$ , и, следовательно, зависит от $t'$ . Поэтому для вычисления этого интеграла нам понадобится тождество $\delta (f(t'))=\sum _{i}{\frac {\delta (t'-t_{i})}{|f'(t_{i})|}}$ где каждый $t_{i}$ является нулем $f$ . Потому что есть только одно отсталое время $t_{r}$ для любых заданных пространственно-временных координат $(\mathbf {r} ,t)$ и траектория источника $\mathbf {r} _{s}(t')$ , это сводится к: ${\begin{aligned}\delta (t'-t_{r}')=&{\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-t_{r}')|_{t'=t_{r}}}}={\frac {\delta (t'-t_{r})}{{\frac {\partial }{\partial t'}}(t'-(t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1+{\frac {1}{c}}(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t'))/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))|_{t'=t_{r}}}}\\&={\frac {\delta (t'-t_{r})}{1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\end{aligned}}$ где ${\boldsymbol {\beta }}_{s}=\mathbf {v} _{s}/c$ и $\mathbf {r} _{s}$ оцениваются в отсроченное время $t_{r}$ , и мы использовали тождество $|\mathbf {x} |'={\hat {\mathbf {x} }}\cdot \mathbf {v}$ с $\mathbf {v} =\mathbf {x} '$ . Обратите внимание, что запаздывающее время $t_{r}$ является решением уравнения ${\textstyle t_{r}=t-{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}$ . Наконец, дельта-функция выбирает $t'=t_{r}$ , и $\varphi (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}$ $\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {q\mathbf {v} }{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(1-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s})/|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|)}}\right)_{t_{r}}={\frac {\mu _{0}c}{4\pi }}\left({\frac {q{\boldsymbol {\beta }}_{s}}{(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|}}\right)_{t_{r}}$ которые представляют собой потенциалы Льенара–Вихерта.

Датчик Лоренца, электрические и магнитные поля

Чтобы вычислить производные $\varphi$ и $\mathbf {A}$ удобно сначала вычислить производные от запаздывающего времени. Взяв производные обеих частей его определяющего уравнения (помнив, что $\mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})$ ): $t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t$ Дифференцируя по t, ${\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1$

${\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=1$

${\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}$

Аналогично, взяв градиент по отношению к $\mathbf {r}$ и использование правила цепочки многих переменных дает

${\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0$

${\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}\right)=0$

${\boldsymbol {\nabla }}t_{r}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)=-\mathbf {n} _{s}/c$

${\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {n} _{s}/c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}$

Отсюда следует, что

${\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}c}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}$

${\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+\mathbf {n} _{s}={\frac {\mathbf {n} _{s}}{\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)}}$

Их можно использовать при вычислении производных векторного потенциала, и полученные выражения имеют вид

${\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}$

Они показывают, что калибровка Лоренца выполняется, а именно, что ${\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0}$ .

Аналогично рассчитывается:

${\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]$

${\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]$

Заметив, что для любых векторов $\mathbf {u}$ , $\mathbf {v}$ , $\mathbf {w}$ : $\mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w}$ Упомянутое выше выражение для электрического поля принимает вид ${\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}$ которое, как легко видеть, равно $-{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}$

Сходным образом ${\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A}$ дает выражение магнитного поля, упомянутое выше: ${\begin{aligned}{\mathbf {B} }=&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \\[1ex]=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\\[1ex]=&{\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}$ Исходные условия $\mathbf {r} _{s}$ , $\mathbf {n} _{s}$ , и $\mathbf {\beta } _{s}$ должны быть оценены в отсроченное время.

Подразумеваемое

Изучение классической электродинамики сыграло важную роль в разработке Альбертом Эйнштейном теории относительности. Анализ движения и распространения электромагнитных волн привел к специальной теории относительности описанию пространства и времени в . Формулировка Льенара-Вихерта является важной стартовой площадкой для более глубокого анализа релятивистских движущихся частиц.

Описание Льенара-Вихерта является точным для большой, независимо движущейся частицы (т.е. подход является «классическим», и ускорение заряда происходит за счет силы, не зависящей от электромагнитного поля). Формулировка Льенара-Вихерта всегда дает два набора решений: опережающие поля поглощаются зарядами, а запаздывающие поля излучаются. Шварцшильд и Фоккер рассматривали опережающее поле системы движущихся зарядов и запаздывающее поле системы зарядов, имеющих одинаковую геометрию и противоположные заряды. Линейность уравнений Максвелла в вакууме позволяет сложить обе системы, так что заряды исчезнут: этот трюк позволяет уравнениям Максвелла стать линейными в материи. Умножение электрических параметров обеих задач на произвольные действительные константы приводит к когерентному взаимодействию света с веществом, которое обобщает теорию Эйнштейна. ^{[ 5 ]} которая сейчас считается основополагающей теорией лазеров: нет необходимости изучать большой набор идентичных молекул, чтобы получить когерентное усиление в режиме, полученном произвольным умножением опережающих и запаздывающих полей. Для расчета энергии необходимо использовать абсолютные поля, включающие поле нулевой точки; в противном случае появляется ошибка, например, при подсчете фотонов.

Важно принять во внимание поле нулевой точки, открытое Планком. ^{[ 6 ]} Он заменяет коэффициент «А» Эйнштейна и объясняет, что классический электрон стабилен на классических орбитах Ридберга. Более того, введение флуктуаций поля нулевой точки приводит к коррекции Уиллиса Э. Лэмба уровней атома H.

Квантовая электродинамика помогла объединить радиационное поведение с квантовыми ограничениями. Он вводит квантование нормальных мод электромагнитного поля в предполагаемых совершенных оптических резонаторах.

Универсальное ограничение скорости

Сила, действующая на частицу в данном месте $r$ и времени $t,$ сложным образом зависит от положения частиц-источников в более ранний момент времени $из r$ -за конечной скорости c , с которой распространяется электромагнитная информация. Частица на Земле «видит» ускорение заряженной частицы на Луне, поскольку это ускорение произошло 1,5 секунды назад, и ускорение заряженной частицы на Солнце, произошедшее 500 секунд назад. Это более раннее время, в которое происходит событие, так что частица в месте $r$ «видит» это событие в более позднее время $t,$ называется запаздывающим временем , $t r$ . Время задержки зависит от положения; например, замедленное время на Луне на 1,5 секунды раньше текущего времени, а замедленное время на Солнце на 500 секунд раньше текущего времени на Земле. Запаздывающее время t _r = t _r ( r , t ) определяется неявно формулой

t_{r}=t-{\frac {R(t_{r})}{c}}

где $R(t_{r})$ – расстояние частицы от источника в запаздывающее время. Только эффекты электромагнитных волн полностью зависят от запаздывающего времени.

Новая особенность потенциала Льенара–Вихерта проявляется в разбиении его членов на два типа полевых членов (см. ниже), только один из которых полностью зависит от запаздывающего времени. Первым из них является член статического электрического (или магнитного) поля, который зависит только от расстояния до движущегося заряда и вообще не зависит от запаздывающего времени, если скорость источника постоянна. Другой термин является динамическим, поскольку он требует, чтобы движущийся заряд ускорялся с компонентом, перпендикулярным линии, соединяющей заряд и наблюдателя, и не появлялся, пока источник не изменил скорость. Этот второй член связан с электромагнитным излучением.

Первый член описывает эффекты ближнего поля заряда, а его направление в пространстве обновляется с помощью члена, который корректирует любое движение заряда с постоянной скоростью в его удаленном статическом поле, так что удаленное статическое поле появляется на расстоянии от заряда. , без аберрации света или коррекции времени освещения . Этот член, который корректирует задержки по времени в направлении статического поля, требуется лоренц-инвариантностью. Заряд, движущийся с постоянной скоростью, должен казаться удаленному наблюдателю точно так же, как статический заряд кажется движущемуся наблюдателю, причем в последнем случае направление статического поля должно измениться мгновенно, без временной задержки. Таким образом, статические поля (первый член) указывают точно на истинное мгновенное (незапаздывающее) положение заряженного объекта, если его скорость не изменилась за запаздывающее время задержки. Это справедливо на любом расстоянии, разделяющем объекты.

Однако второй член, содержащий информацию об ускорении и другом уникальном поведении заряда, которое невозможно устранить изменением системы Лоренца (инерциальной системы отсчета наблюдателя), полностью зависит по направлению от запаздывающего во времени положения заряда. источник. Таким образом, электромагнитное излучение (описываемое вторым членом) всегда кажется исходящим со стороны положения излучающего заряда в запаздывающем времени . Только этот второй член описывает передачу информации о поведении заряда, которая происходит (излучается от заряда) со скоростью света. На «дальних» расстояниях (более нескольких длин волн излучения) зависимость этого члена от 1/R делает эффекты электромагнитного поля (значение этого полевого члена) более мощными, чем эффекты «статического» поля, которые описываются формулой 1/ Р ² поле первого (статического) члена и, таким образом, быстрее затухает по мере удаления от заряда.

Существование и уникальность запоздалого времени

Существование

Запаздывающее время вообще не гарантированно существует. Например, если в данной системе отсчета только что был создан электрон, то в этот самый момент другой электрон еще вообще не ощущает своей электромагнитной силы. Однако при определенных условиях всегда существует запаздывающее время. Например, если исходный заряд существовал неограниченное время, в течение которого он всегда перемещался со скоростью, не превышающей $v_{M}<c$ , то существует допустимое запаздывающее время $t_{r}$ . В этом можно убедиться, рассмотрев функцию $f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')$ . В настоящее время $t'=t$ ; $f(t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|-c(t-t')=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t')|\geq 0$ . Производная $f'(t')$ дается

f'(t')={\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\cdot (-\mathbf {v} _{s}(t'))+c\geq c-\left|{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|}}\right|\,|\mathbf {v} _{s}(t')|=c-|\mathbf {v} _{s}(t')|\geq c-v_{M}>0

По теореме о среднем значении , $f(t-\Delta t)\leq f(t)-f'(t)\Delta t\leq f(t)-(c-v_{M})\Delta t$ . Делая $\Delta t$ достаточно велико, оно может стать отрицательным, т. е . в какой-то момент в прошлом $f(t')<0$ . По теореме о промежуточном значении существует промежуточный $t_{r}$ с $f(t_{r})=0$ , определяющее уравнение запаздывающего времени. Интуитивно понятно, что по мере того, как заряд источника движется назад во времени, сечение его светового конуса в настоящее время расширяется быстрее, чем может отступить, поэтому в конечном итоге оно должно достичь точки $\mathbf {r}$ . Это не обязательно так, если скорость исходного заряда может быть сколь угодно близкой к $c$ , т. е . если для любой заданной скорости $v<c$ когда-то в прошлом заряд двигался с такой скоростью. При этом сечение светового конуса в настоящий момент приближается к точке $\mathbf {r}$ поскольку наблюдатель путешествует во времени, но не обязательно когда-либо достигнет его.

Уникальность

Для заданной точки $(\mathbf {r} ,t)$ и траектория точечного источника $\mathbf {r} _{s}(t')$ , существует не более одного значения запаздывающего времени $t_{r}$ , т. е . одно значение $t_{r}$ такой, что $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{r})|=c(t-t_{r})$ . Это можно реализовать, предположив, что существуют два запаздывающих времени. $t_{1}$ и $t_{2}$ , с $t_{1}\leq t_{2}$ . Затем, $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|=c(t-t_{1})$ и $|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|=c(t-t_{2})$ . Вычитание дает $c(t_{2}-t_{1})=|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{1})|-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}(t_{2})|\leq |\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|$ по неравенству треугольника . Пока не $t_{2}=t_{1}$ , это означает, что средняя скорость заряда между $t_{1}$ и $t_{2}$ является $|\mathbf {r} _{s}(t_{2})-\mathbf {r} _{s}(t_{1})|/(t_{2}-t_{1})\geq c$ , что невозможно. Интуитивная интерпретация заключается в том, что точечный источник можно «видеть» только в одном месте/времени одновременно, если он не перемещается по крайней мере со скоростью света в другое место. По мере того, как источник движется вперед во времени, поперечное сечение его светового конуса в настоящий момент сжимается быстрее, чем может приблизиться источник, поэтому он никогда не может пересечь точку $\mathbf {r}$ снова.