Парадокс излучения заряженных частиц в гравитационном поле

Парадокс заряда в гравитационном поле является очевидным физическим парадоксом в контексте общей теории относительности . покоящаяся Заряженная частица, в гравитационном поле, например, на поверхности Земли, должна поддерживаться силой, чтобы предотвратить ее падение. Согласно принципу эквивалентности , она должна быть неотличима от частицы в плоском пространстве-времени, ускоряемой силой. Уравнения Максвелла гласят, что ускоренный заряд должен излучать электромагнитные волны , однако такое излучение не наблюдается для неподвижных частиц в гравитационных полях.

Одним из первых, кто изучил эту проблему, был Макс Борн в своей статье 1909 года о последствиях заряда в равномерно ускоренной системе отсчета. Ранее проблемы и возможные решения были подняты Вольфгангом Паули (1918): Макс фон Лауэ (1919), и других, но наиболее признанной работой по этой теме является резолюция Томаса Фултона и Фрица Рорлиха в 1960 году.

Фон

Продолжительность: 48 секунд. 0:48 Доступны субтитры. СС

Во время миссии «Аполлон-15» в 1971 году астронавт Дэвид Скотт продемонстрировал теорию Галилея: ускорение одинаково для всех тел, подверженных силе тяжести на Луне, даже для молота и пера. Парадокс в этой статье рассматривает последствия эксперимента, в котором один из объектов, которые нужно освободить, электрически заряжен.

Это стандартный результат Максвелла уравнений классической электродинамики : излучение ускоренного заряда. То есть он создает электрическое поле, которое спадает по мере того, как $1/r$ в дополнение к его рамке покоя $1/r^{2}$ Кулоновское поле. Это электрическое поле излучения имеет сопутствующее магнитное поле, и все колеблющееся поле электромагнитного излучения распространяется независимо от ускоренного заряда, унося импульс и энергию. Энергия излучения обеспечивается работой, ускоряющей заряд.

Общая теория относительности построена на принципе эквивалентности гравитации и инерции. Этот принцип гласит, что посредством каких-либо локальных измерений невозможно определить, находится ли человек в гравитационном поле или ускоряется. Лифт в глубоком космосе, вдали от любой планеты, мог бы имитировать гравитационное поле для своих пассажиров, если бы его можно было непрерывно ускорять «вверх». Для законов физики не имеет значения, вызвано ли ускорение движением или гравитацией. Это также можно понять с точки зрения эквивалентности так называемой гравитационной массы и инертной массы . Масса в законе всемирного тяготения Ньютона (гравитационная масса) такая же, как масса во втором законе движения Ньютона (инертная масса). При приравнивании они компенсируются результатом , открытым Галилео Галилеем в 1638 году, о том, что все тела падают с одинаковой скоростью в гравитационном поле, независимо от их массы. Знаменитая демонстрация этого принципа была осуществлена ​​на Луне во время Миссия Аполлона-15 , когда молот и перо были сброшены одновременно и одновременно ударились о поверхность.

С этой эквивалентностью тесно связан тот факт, что гравитация исчезает в свободном падении. Для объектов, падающих в лифте, у которого перерезан трос, все гравитационные силы исчезают, и все начинает выглядеть как свободно плавающее отсутствие сил, которое можно увидеть на видео с Международной космической станции . Основой общей теории относительности является то, что в свободном падении все должно сложиться вместе. Как и в случае с ускорением и гравитацией, ни один эксперимент не должен быть в состоянии различить эффекты свободного падения в гравитационном поле и пребывания в глубоком космосе вдали от каких-либо сил.

Заявление о парадоксе

Объединив эти два основных факта общей теории относительности и электродинамики, мы, кажется, сталкиваемся с парадоксом. Ведь если мы уроним нейтральную и заряженную частицу вместе в гравитационное поле, заряженная частица должна начать излучать, поскольку она ускоряется под действием силы тяжести, тем самым теряя энергию и замедляясь относительно нейтральной частицы. Тогда свободно падающий наблюдатель мог бы отличить свободное падение от истинного отсутствия сил, потому что заряженная частица в свободно падающей лаборатории начала бы притягиваться вверх относительно нейтральных частей лаборатории, даже если бы явных электрических полей не было. .

Аналогичным образом мы можем представить себе заряженную частицу, покоящуюся в лаборатории на поверхности Земли. Чтобы находиться в покое, его должно поддерживать что-то, что оказывает на него направленную вверх силу. Эта система эквивалентна нахождению в космическом пространстве с постоянным ускорением вверх с силой 1 g , и мы знаем, что заряженная частица, ускоренная вверх с силой 1 g, будет излучать. Однако в лаборатории мы не видим излучения покоящихся заряженных частиц. Казалось бы, мы могли бы провести различие между гравитационным полем и ускорением, поскольку электрический заряд, очевидно, излучается только тогда, когда он ускоряется за счет движения, а не за счет гравитации.

Резолюция Рорлиха

Смотрите также: координаты Риндлера и уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени.

Разрешение этого парадокса, как и парадокса близнецов и парадокса лестницы , достигается путем надлежащего различения систем отсчета . Этот раздел следует за анализом Фрица Рорлиха (1965): который показывает, что заряженная частица и нейтральная частица падают одинаково быстро в гравитационном поле. Аналогично, заряженная частица, покоящаяся в гравитационном поле, излучает не в своей системе покоя, а в системе свободно падающего наблюдателя. Принцип эквивалентности сохраняется для заряженных частиц.

Ключевым моментом является осознание того, что законы электродинамики, уравнения Максвелла, действуют только в пределах инерциальной системы отсчета , то есть в системе, в которой все силы действуют локально, и не существует чистого ускорения, когда чистые локальные силы равны нулю. Рама могла находиться в свободном падении под действием силы тяжести или далеко в космосе, вдали от каких-либо сил. Поверхность Земли не является инерциальной системой, так как она постоянно ускоряется. Мы знаем, что поверхность Земли не является инерциальной системой отсчета, поскольку покоящийся на ней объект не может оставаться в покое — покоящиеся объекты падают на землю при отпускании. Гравитация — это нелокальная фиктивная «сила» внутри земной поверхности, такая же, как и центробежная «сила». Поэтому мы не можем наивно формулировать ожидания на основе уравнений Максвелла в этой системе координат. Примечательно, что теперь мы понимаем, что специальные релятивистские уравнения Максвелла, строго говоря, не выполняются на поверхности Земли, хотя они были открыты в электрических и магнитных экспериментах, проводимых в лабораториях на поверхности Земли. (Это похоже на то, как понятие механики в инерциальной системе отсчета неприменимо к поверхности Земли даже без учета гравитации вследствие ее вращения - ср. напр. Маятник Фуко , однако изначально они были найдены из рассмотрения наземных экспериментов и интуиции.) Поэтому в данном случае мы не можем применить уравнения Максвелла к описанию падения заряда относительно «опорного», неинерциального наблюдателя.

Уравнения Максвелла можно применять по отношению к наблюдателю, находящемуся в свободном падении, поскольку свободное падение представляет собой инерциальную систему отсчета. Итак, отправной точкой рассмотрения является работа в системе свободного падения в гравитационном поле — «падающий» наблюдатель. В системе свободного падения уравнения Максвелла имеют обычную для падающего наблюдателя форму плоского пространства-времени. В этой системе электрические и магнитные поля заряда просты: падающее электрическое поле — это не что иное, как кулоновское поле покоящегося заряда, а магнитное поле равно нулю. В качестве отступления отметим, что мы с самого начала закладываем принцип эквивалентности, включая предположение, что заряженная частица падает так же быстро, как и нейтральная частица.

Поля, измеряемые наблюдателем, стоящим на поверхности Земли, различны. Учитывая электрические и магнитные поля в падающей системе отсчета, мы должны преобразовать эти поля в систему поддерживаемого наблюдателя. Эта манипуляция не является преобразованием Лоренца, поскольку два кадра имеют относительное ускорение. аппарат общей теории относительности Вместо этого необходимо использовать .

В этом случае гравитационное поле является фиктивным, поскольку его можно «трансформировать» соответствующим выбором системы координат в падающей системе отсчета. В отличие от общего гравитационного поля Земли, здесь мы предполагаем, что пространство-время локально плоское, так что тензор кривизны исчезает. Аналогичным образом, линии гравитационного ускорения повсюду параллельны, и в лаборатории невозможно измерить сходимость. самый общий статический, плоский, цилиндрический метрический Тогда можно записать и линейный элемент:

$c^{2}d\tau ^{2}=u^{2}(z)c^{2}dt^{2}-\left({\frac {c^{2}}{g}}{\frac {du}{dz}}\right)^{2}dz^{2}-dx^{2}-dy^{2},$

где $c$ это скорость света, $\tau$ самое время, $x,y,z,t$ — обычные координаты пространства и времени, $g$ - ускорение гравитационного поля, а $u(z)$ является произвольной функцией координаты, но должно приближаться к наблюдаемому ньютоновскому значению $1+gz/c^{2}$. Эта формула является метрикой гравитационного поля, измеренного поддерживаемым наблюдателем.

Между тем, метрика в системе падающего наблюдателя — это просто метрика Минковского :

$c^{2}d\tau ^{2}=c^{2}dt'^{2}-dz'^{2}-dx'^{2}-dy'^{2}.$

Из этих двух метрик Рорлих строит преобразование координат между ними:

${\begin{aligned}x'&=x,\\y'&=y,\\{\frac {g}{c^{2}}}(z'-z_{0}')&=u(z)\cosh \left({\frac {g}{c}}(t-t_{0})\right)-1,\\{\frac {g}{c}}(t'-t_{0}')&=u(z)\sinh \left({\frac {g}{c}}(t-t_{0})\right).\end{aligned}}$

Когда это преобразование координат применяется к электрическому и магнитному полям заряда в системе покоя, обнаруживается, что он излучает . Рорлих подчеркивает, что этот заряд остается в покое в своей системе свободного падения, как это сделала бы нейтральная частица. Более того, скорость излучения в этой ситуации лоренц-инвариантна, но не инвариантна относительно приведенного выше преобразования координат, поскольку не является преобразованием Лоренца.

Чтобы увидеть, должен ли излучаться поддерживаемый заряд, мы снова начинаем с падающего кадра.

Как видно из свободнопадающей системы координат, кажется, что поддерживаемый заряд равномерно ускоряется вверх. Случай постоянного ускорения заряда рассмотрен Рорлихом. Он находит заряд $e$ равномерно ускоряется со скоростью $g$ имеет скорость излучения, определяемую инвариантом Лоренца:

$R={\frac {2}{3}}{\frac {e^{2}}{c^{3}}}g^{2}.$

Соответствующие электрическое и магнитное поля ускоренного заряда приведены также у Рорлиха. Для нахождения полей заряда в опорной системе поля равноускоренного заряда преобразуются согласно приведенному ранее преобразованию координат. Когда это будет сделано, в несущей системе не будет обнаружено излучения поддерживаемого заряда, поскольку магнитное поле в этой системе отсчета равно нулю. Рорлих отмечает, что гравитационное поле немного искажает кулоновское поле поддерживаемого заряда, но недостаточно, чтобы его можно было наблюдать. Таким образом, хотя закон Кулона был открыт в опорной системе отсчета, общая теория относительности говорит нам, что поле такого заряда не совсем точно $1/r^{2}$.

Судьба радиации

Излучение поддерживаемого заряда, наблюдаемое в свободно падающей системе отсчета (или наоборот), представляет собой своего рода курьез: можно задаться вопросом, куда оно уходит. Дэвид Г. Булвар (1980) обнаруживает, что излучение попадает в область пространства-времени, недоступную для ускоряющегося, поддерживаемого наблюдателя. По сути, у равноускоренного наблюдателя есть горизонт событий, и существуют области пространства-времени, недоступные этому наблюдателю. Камила де Алмейда и Альберто Саа (2006) иметь более доступную трактовку горизонта событий ускоренного наблюдателя.

Ссылки

Книги

• Рорлих, Фриц (1965). Классические заряженные частицы . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли.
• Пайерлс, Рудольф Э. (1979). Сюрпризы в теоретической физике . Принстонская серия по физике (Иллюстрированное издание). Издательство Принстонского университета . стр. 160–166 . ISBN  978-0691082417 .
• Фейнман, Ричард П .; Мориниго, Фернандо Б.; Вагнер, Уильям Г. (1995). Фейнмановские лекции по гравитации . Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли. стр. 124 . ISBN  978-0201627343 . ОСЛК   32509962 .