Лестничный парадокс

Парадокс лестницы (или парадокс сарая ) — это мысленный эксперимент в специальной теории относительности . Он включает в себя лестницу, параллельную земле, движущуюся горизонтально с релятивистской скоростью (около скорости света) и, следовательно, претерпевающую лоренцево сокращение длины . Представляется, что лестница проходит через открытые переднюю и заднюю двери гаража или сарая, длина которых короче ее длины покоя , поэтому, если бы лестница не двигалась, она не смогла бы поместиться внутри. Для неподвижного наблюдателя благодаря сжатию движущаяся лестница может полностью поместиться внутри здания при прохождении через него. С другой стороны, с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с лестницей, лестница не сократится, и именно здание Лоренца сократит до еще меньшей длины. Следовательно, лестница не сможет поместиться внутри здания при прохождении. Это создает очевидное несоответствие между реалиями обоих наблюдателей.

Этот кажущийся парадокс является результатом ошибочного предположения об абсолютной одновременности. Говорят, что лестница вписывается в гараж, если оба ее конца могут находиться внутри гаража одновременно. Парадокс разрешается, если учесть, что в теории относительности одновременность относится к каждому наблюдателю, поэтому ответ на вопрос, помещается ли лестница в гараже, также относится и к каждому из них.

Парадокс

Самый простой вариант проблемы касается гаража с открытыми передней и задней дверью и лестницей, которая в неподвижном состоянии относительно гаража слишком длинна, чтобы поместиться внутри. Теперь мы перемещаем лестницу с высокой горизонтальной скоростью через стационарный гараж. Из-за своей высокой скорости лестница подвергается релятивистскому эффекту сокращения длины и становится значительно короче. В результате, когда лестница проходит через гараж, она на какое-то время полностью оказывается внутри него. Мы могли бы, если бы захотели, одновременно закрыть на короткое время обе двери, чтобы продемонстрировать, что лестница подходит.

Пока что это соответствует. Очевидный парадокс возникает, когда мы учитываем симметрию ситуации. Поскольку наблюдатель, движущийся по лестнице, движется с постоянной скоростью в инерциальной системе отсчета гаража, этот наблюдатель также занимает инерциальную систему отсчета, где по принципу относительности действуют те же законы физики. С этой точки зрения лестница теперь неподвижна, а гараж движется с большой скоростью. Таким образом, длина гаража сократилась, и теперь мы приходим к выводу, что он слишком мал, чтобы когда-либо полностью вместить проходящую через него лестницу: лестница не помещается, и мы не можем закрыть обе двери с обеих сторон лестницы. не задев его. Это кажущееся противоречие и есть парадокс.

Рисунок 1: Общий вид гаража и лестницы в состоянии покоя.

Рисунок 2. В каркасе гаража лестница сокращается по длине и поэтому подходит для гаража.

Рисунок 3. Гараж с лестничной рамой сокращается по длине и слишком мал, чтобы вместить лестницу.

Разрешение

Рисунок 4. Сценарий в каркасе гаража: лестница уменьшенной длины, проходящая через гараж.

Рисунок 5: Сценарий с лестничной рамой: гараж уменьшенной длины, проходящий над лестницей. Всегда закрыта только одна дверь

Решение кажущегося парадокса заключается в относительности одновременности : то, что один наблюдатель (например, с гаражом) считает двумя одновременными событиями, на самом деле может не быть одновременным для другого наблюдателя (например, с лестницей). Когда мы говорим, что лестница «вписывается» внутрь гаража, мы имеем в виду именно то, что в какой-то конкретный момент положение задней части лестницы и положение передней части лестницы оба находились внутри гаража; другими словами, передняя и задняя часть лестницы находились внутри гаража одновременно. Поскольку одновременность относительна, два наблюдателя расходятся во мнениях относительно того, подходит ли лестница. Для наблюдателя с гаражом задний конец лестницы находился в гараже одновременно с передним концом лестницы, и поэтому лестница подходила; но для наблюдателя с лестницей эти два события не были одновременными, и лестница не подходила.

Наглядный способ увидеть это — рассмотреть двери, которые в каркасе гаража закрываются на короткий период, пока лестница полностью находится внутри. Теперь мы посмотрим на эти события в рамках лестницы. Первое событие — это передняя часть лестницы, приближающаяся к выходной двери гаража. Дверь закрывается, а затем снова открывается, пропуская переднюю часть лестницы. Позже задняя часть лестницы проходит через входную дверь, которая закрывается, а затем открывается. Мы видим, что, поскольку одновременность относительна, две двери не нужно было закрывать одновременно, а лестницу не нужно было помещать в гараж.

Ситуацию можно дополнительно проиллюстрировать диаграммой Минковского ниже. Схема находится в остальной части гаража. Вертикальная голубая полоса показывает гараж в пространстве-времени, а светло-красная полоса показывает лестницу в пространстве-времени. Оси x и t — это оси пространства гаража и времени соответственно, а x ’ и t ’ — это оси пространства лестницы и времени соответственно.

В кадре гаража лестница в любой конкретный момент времени представлена ​​горизонтальным набором точек, параллельных оси X, в красной полосе. Одним из примеров является сегмент жирной синей линии, который находится внутри синей полосы, обозначающей гараж, и представляет собой лестницу в тот момент, когда она полностью находится внутри гаража. Однако в рамках лестницы наборы одновременных событий лежат на линиях, параллельных оси x'; Таким образом, лестница в любой конкретный момент времени представлена ​​поперечным сечением такой линии с красной полосой. Одним из таких примеров является сегмент жирной красной линии. Мы видим, что такие отрезки никогда не лежат полностью внутри синей полосы; то есть лестница никогда не лежит полностью внутри гаража.

Рисунок 6: Диаграмма Минковского лестничного парадокса. Гараж показан голубым цветом, лестница — светло-красным. Диаграмма находится в кадре покоя гаража, где x и t — это оси пространства и времени гаража соответственно. Каркас лестницы предназначен для человека, сидящего впереди лестницы, причем x ′ и t ′ представляют собой оси пространства и времени лестницы соответственно. Синие и красные линии AB и AC изображают лестницу в момент, когда ее передний конец встречается с выходной дверью гаража, в системе отсчета гаража и лестницы соответственно. Событие D — задний конец лестницы, достигающей входа в гараж.

Закрытие лестницы в гараже

Рисунок 7. Лестница сжимается при ускорении, чтобы поместиться в гараж уменьшенной длины.

В более сложной версии парадокса мы можем физически запереть лестницу, как только она полностью окажется внутри гаража. Это можно сделать, например, не открывая выходную дверь снова после того, как мы ее закрыли. В каркасе гаража мы предполагаем, что выходная дверь неподвижна, поэтому, когда лестница ударяется о нее, мы говорим, что она мгновенно останавливается. К этому времени входная дверь тоже закрылась, и лестница застряла внутри гаража. Поскольку его относительная скорость теперь равна нулю, его длина не сократилась и теперь длиннее гаража; ему придется согнуть, сломать или взорваться.

Опять же, загадка возникает при рассмотрении ситуации с каркаса лестницы. В приведенном выше анализе лестница в собственном каркасе всегда была длиннее гаража. Так как же нам удалось закрыть двери и запереть его внутри?

Здесь стоит отметить общую особенность теории относительности: рассматривая каркас гаража, мы пришли к выводу, что лестница действительно запирается внутри гаража. Следовательно, это должно быть верно для любого кадра - не может быть так, чтобы лестница защелкивалась в одном кадре, но не защелкивалась в другом. Таким образом, из конструкции лестницы мы знаем, что должно быть какое-то объяснение тому, как лестница оказалась в ловушке; мы должны просто найти объяснение.

Объяснение состоит в том, что, хотя все части лестницы одновременно замедляются до нуля в каркасе гаража, поскольку одновременность относительна, соответствующие замедления в каркасе лестницы не являются одновременными. Вместо этого каждая часть лестницы замедляется последовательно. спереди назад, пока, наконец, задняя часть лестницы не замедлит движение, и к этому времени она уже окажется в гараже.

Поскольку сокращение длины и замедление времени контролируются преобразованиями Лоренца , парадокс лестницы можно рассматривать как физический коррелят парадокса близнецов , в котором один из множества близнецов покидает Землю, некоторое время путешествует со скоростью и возвращается. на Землю немного моложе земного близнеца. Как и в случае с лестницей, запертой внутри сарая, если ни одна из систем отсчета не является привилегированной (каждая движется только относительно другой), как может быть, что именно путешествующий близнец, а не неподвижный, моложе (так же, как и лестница, а не сарай, который короче)? В обоих случаях именно ускорение-замедление различает явления: именно близнец, а не земля (или лестница, а не сарай) подвергается силе замедления при возвращении во временное (или физическое, в случае с амбаром). лестница-сарай) инерционная рама.

Рисунок 8: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница зафиксирована по всей длине одновременно в каркасе гаража. Когда это происходит, каркас гаража видит лестницу как AB, а каркас лестницы видит лестницу как AC. Когда задняя часть лестницы въезжает в гараж в точке D, она еще не ощутила воздействия ускорения ее передней части. В это время, по мнению кого-то, находящегося в состоянии покоя относительно задней части лестницы, передняя часть лестницы будет находиться в точке Е и будет видеть лестницу как DE. Видно, что эта длина в лестничной раме не равна CA — остальной длине лестницы до торможения.

силы

Рисунок 1: Диаграмма Минковского для случая, когда лестница остановилась в результате удара о заднюю стену гаража. Воздействие — это событие A. При ударе каркас гаража видит лестницу как AB, но каркас лестницы видит лестницу как AC. Лестница не выезжает из гаража, поэтому ее передний конец теперь идет прямо вверх, через точку Е. Задняя часть лестницы не изменит своей траектории в пространстве-времени, пока не почувствует последствия удара. Эффект удара может распространяться наружу от А не быстрее скорости света, поэтому задняя часть лестницы никогда не почувствует последствий удара до точки F (обратите внимание на угол 45° линии AF, соответствующий скорости световой передачи информации) или позже, когда лестница окажется в пределах гаража в обоих кадрах. Обратите внимание, что когда диаграмма нарисована в рамке лестницы, скорость света такая же, но лестница длиннее, поэтому силе требуется больше времени, чтобы достичь заднего конца; это дает достаточно времени, чтобы задняя часть лестницы переместилась внутрь гаража.

Что, если задняя дверь (дверь, из которой выходит лестница) постоянно закрыта и не открывается? Предположим, что дверь настолько прочная, что лестница не сможет проникнуть в нее при столкновении, поэтому она должна остановиться. Затем, как и в описанном выше сценарии, в системе отсчета гаража наступает момент, когда лестница полностью находится внутри гаража (т. е. задняя часть лестницы находится внутри входной двери), прежде чем она столкнется с задняя дверь и остановки. Однако с точки зрения системы отсчета лестница слишком велика, чтобы поместиться в гараже, поэтому к тому моменту, когда она сталкивается с задней дверью и останавливается, задняя часть лестницы еще не достигла входной двери. Кажется, это парадокс. Вопрос в том, пересекает ли задняя часть лестницы входную дверь или нет?

Трудность возникает главным образом из-за предположения, что лестница является жесткой (т. е. сохраняет ту же форму). В повседневной жизни лестницы кажутся жесткими. Но для полной жесткости необходимо, чтобы она могла передавать силу с бесконечной скоростью (т. е. когда вы нажимаете на один конец, другой конец должен немедленно реагировать, иначе лестница деформируется). Это противоречит специальной теории относительности, которая утверждает, что информация не может распространяться быстрее скорости света (что слишком быстро, чтобы мы могли это заметить в реальной жизни, но имеет важное значение в лестничном сценарии). Таким образом, в рамках специальной теории относительности объекты не могут быть абсолютно жесткими.

В этом случае, к моменту, когда передняя часть лестницы сталкивается с задней дверью, задняя часть лестницы еще не знает об этом, поэтому продолжает двигаться вперед (и лестница «сжимается»). И в системе гаража, и в инерционной системе отсчета лестницы задняя часть лестницы продолжает двигаться в момент столкновения, по крайней мере, до тех пор, пока задняя часть лестницы не попадет в световой конус столкновения (т. е. точка, в которой ее достигнет сила, движущаяся назад со скоростью света от точки столкновения). На данный момент лестница на самом деле короче первоначальной длины, указанной в контракте, поэтому ее задняя часть находится глубоко внутри гаража. Расчеты в обеих системах отсчета покажут, что это так.

Что произойдет после того, как сила достигнет задней части лестницы («зеленой» зоны на схеме), не уточняется. В зависимости от физики лестница может сломаться; или, если бы он был достаточно эластичным, он мог бы согнуться и снова расшириться до своей первоначальной длины. На достаточно высоких скоростях любой реалистичный материал мог бы яростно взорваться, превратившись в плазму.

Человек, падающий в вариацию решетки

Мужчина (представленный сегментированным стержнем) падает в решетку.

Эта ранняя версия парадокса была первоначально предложена и решена Вольфгангом Риндлером. и фигурировал быстро идущий человек, представленный жезлом, падающий в решетку. Предполагается, что стержень полностью находится над решеткой в ​​системе отсчета решетки до того, как ускорение вниз начнется одновременно и одинаково приложится к каждой точке стержня.

С точки зрения решетки стержень сокращается по длине и входит в решетку. Однако, с точки зрения стержня, длина решетки сокращается, и кажется, что стержень становится слишком длинным, чтобы упасть.

Ускорение стержня вниз, которое одновременно в системе отсчета решетки, не одновременно в системе отсчета стержня. В системе отсчета стержня передняя часть стержня сначала ускоряется вниз (показано в ячейке 3 рисунка), и с течением времени все большая часть стержня подвергается нисходящему ускорению, пока, наконец, задняя часть стержня не подвергается ускорению вниз. стержень ускоряется вниз. Это приводит к изгибу стержня в системе отсчета стержня. Поскольку этот изгиб происходит в опорной раме стержня, это настоящая физическая деформация стержня, которая приводит к возникновению напряжений в стержне.

Чтобы это нежесткое поведение стержня стало очевидным, и сам стержень, и решетка должны иметь такой масштаб, чтобы время прохождения было измеримым.

Парадокс бара и кольца

На диаграмме слева изображены брусок и кольцо в системе покоя кольца в момент совпадения их центров. Гриф лоренц-сокращается и движется вверх и вправо, в то время как кольцо неподвижно и не сокращается. Диаграмма справа иллюстрирует ситуацию в тот же момент, но в остальном кадре бара. Кольцо теперь лоренц-сжато и повернуто относительно стержня, а стержень не сжат. И снова кольцо проходит над перекладиной, не касаясь ее.

Проблема, очень похожая, но более простая, чем парадокс стержня и решетки, затрагивающая только инерционные системы отсчета, — это парадокс «стержня и кольца» (Ферраро, 2007). Парадокс стержня и решетки сложен: он включает в себя неинерциальные системы отсчета, поскольку в один момент человек идет горизонтально, а через мгновение он падает вниз; и оно предполагает физическую деформацию человека (или сегментированного стержня), поскольку стержень согнут в одной системе отсчета и прямой в другой. Эти аспекты проблемы создают осложнения, связанные с жесткостью стержня, которая имеет тенденцию скрывать истинную природу «парадокса». Парадокс «стержня и кольца» свободен от этих осложнений: стержень, длина которого немного превышает диаметр кольца, движется вверх и вправо, причем его длинная ось горизонтальна, в то время как кольцо неподвижно, а плоскость кольца также горизонтально. Если движение стержня таково, что центр стержня в какой-то момент времени совпадает с центром кольца, то стержень будет лоренц-сжатым за счет прямой составляющей своего движения и пройдет через кольцо. Парадокс возникает, когда проблема рассматривается в кадре покоя бара. Кольцо теперь движется вниз и влево и будет сжиматься по Лоренцу по своей горизонтальной длине, в то время как стержень не будет сжиматься вообще. Как штанга может пройти через кольцо?

Разрешение парадокса снова лежит в относительности одновременности (Ферраро 2007). Длина физического объекта определяется как расстояние между двумя одновременными событиями, происходящими на каждом конце тела, а поскольку одновременность относительна, то и эта длина является относительной. Эта изменчивость длины и есть сокращение Лоренца. Аналогично, физический угол определяется как угол, образованный тремя одновременными событиями, и этот угол также будет относительной величиной. В приведенном выше парадоксе, хотя стержень и плоскость кольца параллельны в системе покоя кольца, они не параллельны в системе покоя стержня. Несжатый стержень проходит через лоренц-сжатое кольцо, поскольку плоскость кольца повернута относительно стержня на величину, достаточную для прохождения стержня.

С математической точки зрения преобразование Лоренца можно разделить на произведение пространственного вращения и «правильное» преобразование Лоренца, которое не предполагает пространственного вращения. Математическое разрешение парадокса стержня и кольца основано на том факте, что произведение двух собственных преобразований Лоренца (горизонтального и вертикального) может привести к преобразованию Лоренца, которое не является собственным (диагональным), а скорее включает компонент пространственного вращения.

См. также

• Парадокс космического корабля Белла
• Эренфест парадоксальный
• Физический парадокс
• Относительность одновременности
• Парадокс Саппли
• Парадокс близнецов

Ссылки

• Уэллс, Уиллард Х. (1961). «Парадокс длины в теории относительности». Американский журнал физики . 29 (12): 858. Бибкод : 1961AmJPh..29..858W . дои : 10.1119/1.1937641 .
• Шоу, Р. (1962). «Парадокс сокращения длины». Американский журнал физики . 30 (1): 72. Бибкод : 1962AmJPh..30...72S . дои : 10.1119/1.1941907 .
• Мартинс, Роберто Де А. (1978). «Парадокс длины в теории относительности». Американский журнал физики . 46 (6): 667–670. Бибкод : 1978AmJPh..46..667M . дои : 10.1119/1.11227 .
• Састри, врач общей практики (1987). «Действительно ли сокращение длины парадоксально?». Американский журнал физики . 55 (10): 943–946. Бибкод : 1987AmJPh..55..943S . дои : 10.1119/1.14911 .
• Грон, Эйвинд; Йоханнесен, Стейнар (1993). «Компьютерное моделирование парадокса сокращения длины Риндлера». Европейский журнал физики . 14 (3): 97–100. Бибкод : 1993EJPh...14...97G . дои : 10.1088/0143-0807/14/3/001 . S2CID   250879672 .
• ван Линтел, Харальд; Грубер, Кристиан (2005). «Повторное рассмотрение парадокса стержня и отверстия». Европейский журнал физики . 26 (1): 19–23. Бибкод : 2005EJPh...26...19В . дои : 10.1088/0143-0807/26/1/003 . S2CID   121888743 .
• Айер, Чандру; Прабху, GM (2008). «Изменение временного порядка интерактивных событий: столкновение наклонных стержней». Европейский журнал физики . 27 (4): 819–824. arXiv : 0809.1721 . Бибкод : 2006EJPh...27..819I . дои : 10.1088/0143-0807/27/4/013 . S2CID   117711286 .
• Пирс, Эван (2007). «Парадокс замка и ключа и пределы жесткости в специальной теории относительности». Американский журнал физики . 75 (7): 610–614. Бибкод : 2007AmJPh..75..610P . дои : 10.1119/1.2711827 .
• Айер, Чандру; Прабху, GM (2008). «Различные наблюдения по посадке стержня в прорезь». Американский журнал физики . 74 (11): 998–1001. arXiv : 0809.1740 . Бибкод : 2006AmJPh..74..998I . дои : 10.1119/1.2346686 . S2CID   55801261 ​​.
• МакГлинн, Энда; ван Кампен, Пол (2008). «Заметка о связи электрического тока, магнитных полей, зарядов и парадокса полюса в сарае в специальной теории относительности». Европейский журнал физики . 29 (6): N63–N67. Бибкод : 2008EJPh...29...63M . дои : 10.1088/0143-0807/29/6/N03 . S2CID   121939564 .

Дальнейшее чтение

• Эдвин Ф. Тейлор и Джон Арчибальд Уилер, Физика пространства-времени (2-е изд.) (Фриман, Нью-Йорк, 1992)

- обсуждает различные очевидные парадоксы СР и их решения.

• Риндлер, Вольфганг (2001). Относительность: специальная, общая и космологическая . Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-850836-0 .
• Ферраро, Рафаэль (2007). Пространство-время Эйнштейна: введение в специальную и общую теорию относительности . Спрингер . ISBN  978-0-387-69946-2 .

Внешние ссылки

• Специальная анимация по теории относительности от Джона де Пиллиса. Этот интерактивный анимированный парадокс поезда и туннеля является аналогом парадокса столба (поезда) и сарая (туннеля).