Jump to content

Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна

В общей теории относительности уравнение Гамильтона-Якоби-Эйнштейна ( HJEE ) или Гамильтона-Якоби ( EHJE ) представляет собой уравнение в гамильтоновой формулировке геометродинамики уравнение Эйнштейна - в суперпространстве , составленное в «эру геометродинамики» примерно в 1960-х годах Ашером Пересом . в 1962 году и другие. [ 1 ] Это попытка переформулировать общую теорию относительности таким образом, чтобы она напоминала квантовую теорию в полуклассическом приближении, во многом подобно соответствию между квантовой механикой и классической механикой .

Он назван в честь Альберта Эйнштейна , Карла Густава Якоба Якоби и Уильяма Роуэна Гамильтона . EHJE содержит столько же информации, сколько все десять уравнений поля Эйнштейна (EFE). [ 2 ] Это модификация уравнения Гамильтона-Якоби (HJE) из классической механики , и его можно вывести из действия Эйнштейна-Гильберта с использованием принципа наименьшего действия в формализме ADM .

Предыстория и мотивация

[ редактировать ]

Соответствие между классической и квантовой физикой

[ редактировать ]

В классической аналитической механике системы суммируется действием S. динамика В квантовой теории, а именно в нерелятивистской квантовой механике (КМ), релятивистской квантовой механике (РКМ), а также в квантовой теории поля (КТП), с различными интерпретациями и математическими формализмами в этих теориях, поведение системы полностью содержится в комплексная ket Ψ амплитуда вероятности ( более формально как состояние квантовое |Ψ⟩ – элемент гильбертова пространства ). Используя полярную форму волновой функции, выполним преобразование Маделунга:

фаза Ψ Ψ = интерпретируется как действие, а модуль ρ = |Ψ| интерпретируется согласно Копенгагенской интерпретации как функция плотности вероятности . Приведенная постоянная Планка ħ представляет собой квант углового момента. Подстановка этого в квантовое общее уравнение Шредингера (SE):

и переход к пределу ħ → 0 дает классический HJE:

что является одним из аспектов принципа соответствия .

Недостатки четырехмерного пространства-времени

[ редактировать ]

С другой стороны, переход от квантовой теории к общей теории относительности (ОТО) осуществить сложно; одной из причин является трактовка пространства и времени в этих теориях. В нерелятивистской КМ пространство и время не находятся в равных условиях; время — это параметр, а позиция — оператор . В RQM и QFT положение возвращается к обычным пространственным координатам наряду с координатой времени, хотя эти теории согласуются только с СТО в четырехмерном плоском пространстве Минковского , а не с искривленным пространством или ОТО. Можно сформулировать квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени , но даже это не может включать ОТО, поскольку гравитация не перенормируется в КТП. [ 3 ] Кроме того, в ОТО частицы движутся в искривленном пространстве-времени с детерминированно известными положением и импульсом в каждый момент времени, тогда как в квантовой теории положение и импульс частицы не могут быть точно известны одновременно; пространство x и импульс p , а также энергия E и время t попарно подчиняются принципам неопределенности.

которые подразумевают, что небольшие интервалы в пространстве и времени означают, что возможны большие колебания энергии и импульса. Поскольку в ОТО масса-энергия и импульс-энергия являются источником искривления пространства-времени , большие колебания энергии и импульса означают, что «ткань» пространства-времени потенциально может стать настолько искаженной, что распадается на достаточно малых масштабах. [ 4 ] Существуют теоретические и экспериментальные доказательства того, что вакуум действительно обладает энергией, поскольку движение электронов в атомах колеблется, это связано с лэмбовским сдвигом . [ 5 ] По этим и другим причинам на все более мелких масштабах пространство и время считаются динамическими вплоть до планковских масштабов длины и планковского времени . [ 4 ]

В любом случае, четырехмерный искривленный континуум пространства-времени является четко определенной и центральной особенностью общей теории относительности, но не квантовой механики.

Уравнение

[ редактировать ]

Одна из попыток найти уравнение, управляющее динамикой системы, как можно более близкое к КМ и ОТО, состоит в том, чтобы переформулировать HJE в трехмерном искривленном пространстве, понимаемом как «динамическое» (изменяющееся со временем), а не четырехмерная динамика пространства-времени во всех четырех измерениях, как и EFE. Пространство имеет метрику ( см. Метрическое пространство подробнее ).

Метрический тензор в общей теории относительности является важным объектом, поскольку собственное время , длина дуги , геодезическое движение в искривленном пространстве-времени и другие вещи зависят от метрики. Вышеупомянутый HJE изменен для включения метрики, хотя он является только функцией трехмерных пространственных координат r (например, r = ( x , y , z ) в декартовых координатах ) без координатного времени t :

В этом контексте g ij называется «метрическим полем» или просто «полем».

Общее уравнение (свободное искривленное пространство)

[ редактировать ]

Для свободной частицы в искривленном « пустом пространстве » или «свободном пространстве», т.е. при отсутствии материи , кроме самой частицы, уравнение можно записать: [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]

где g определитель метрического тензора, а R — скалярная кривизна Риччи трёхмерной геометрии (не включая время), а « δ » вместо « d » обозначает вариационную производную , а не обычную производную . Эти производные соответствуют импульсам поля, «сопряженным с метрическим полем»:

скорость изменения действия по отношению к координатам поля g ij ( r ) . π аналогичны Здесь g и q и p = ∂S / ∂q соответственно в классической гамильтоновой механике . см . в канонических координатах Дополнительную информацию .

Уравнение описывает, как волновые фронты постоянного действия распространяются в суперпространстве – как динамика волн материи свободной частицы разворачивается в искривленном пространстве. Дополнительные исходные условия необходимы для учета наличия дополнительных влияний на частицу, которые включают присутствие других частиц или распределений материи (которые способствуют искривлению пространства), а также источников электромагнитных полей, воздействующих на частицы с электрическим зарядом или спином . Как и уравнения поля Эйнштейна, оно нелинейно в метрике из-за произведений компонентов метрики, и, как и уравнение HJE, оно нелинейно в действии из-за произведения вариационных производных в действии.

Квантовомеханическую концепцию, согласно которой действие является фазой волновой функции, можно интерпретировать из этого уравнения следующим образом. Фаза должна удовлетворять принципу наименьшего действия; она должна быть стационарной при небольшом изменении конфигурации системы, т. е. при незначительном изменении положения частицы, что соответствует незначительному изменению метрических составляющих;

небольшое изменение фазы равно нулю:

(где д 3 r элемент объёма ) интеграла объёма . Так что конструктивная интерференция волн материи максимальна. Это можно выразить принципом суперпозиции ; применяется ко многим нелокализованным волновым функциям, разбросанным по искривленному пространству, с образованием локализованной волновой функции:

для некоторых коэффициентов , cn и дополнительно действие (фаза) для должно каждого ψn Sn удовлетворять:

для всех n или, что то же самое,

Области, где Ψ максимально или минимально, возникают в точках, где существует вероятность найти там частицу и где изменение действия (фазы) равно нулю. быть найдена частица Итак, в приведенном выше EHJE каждый волновой фронт постоянного действия — это то место, где может .

Это уравнение до сих пор не «объединяет» квантовую механику и общую теорию относительности, поскольку полуклассическое приближение Эйконала в контексте квантовой теории и общей теории относительности было применено, чтобы обеспечить переход между этими теориями.

Приложения

[ редактировать ]

Уравнение принимает различные сложные формы в:

См. также

[ редактировать ]

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ А. Перес (1962). «О проблеме Коши в общей теории относительности - II». Нуово Чименто . 26 (1). Спрингер: 53–62. Бибкод : 1962NCim...26...53P . дои : 10.1007/BF02754342 . S2CID   189781412 .
  2. ^ У. Х. Герлах (1968). «Вывод десяти уравнений поля Эйнштейна из полуклассического приближения квантовой геометродинамики». Физический обзор . 177 (5): 1929–1941. Бибкод : 1969PhRv..177.1929G . дои : 10.1103/PhysRev.177.1929 .
  3. ^ А. Шомер (2007). «Педагогическое объяснение неперенормируемости гравитации». arXiv : 0709.3555 [ шестнадцатый ].
  4. ^ Jump up to: а б Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство ВХК. п. 1285 . ISBN  978-0-89573-752-6 .
  5. ^ Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1190. ИСБН  978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  6. ^ Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1188. ИСБН  978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
  7. ^ Дж. Мехра (1973). Представление физика о природе . Спрингер. п. 224. ИСБН  978-90-277-0345-3 .
  8. ^ Джей Джей Холливелл; Х. Перес-Меркадер; WH Журек (1996). Физические причины асимметрии времени . Издательство Кембриджского университета . п. 429. ИСБН  978-0-521-56837-1 .

Дальнейшее чтение

[ редактировать ]

Избранные статьи

[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 07115e29fafc39d089a9d6bcb39c414e__1720647720
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/07/4e/07115e29fafc39d089a9d6bcb39c414e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Hamilton–Jacobi–Einstein equation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)