Уравнение Гамильтона – Якоби – Эйнштейна

В общей теории относительности уравнение Гамильтона-Якоби-Эйнштейна ( HJEE ) или Гамильтона-Якоби ( EHJE ) представляет собой уравнение в гамильтоновой формулировке геометродинамики уравнение Эйнштейна - в суперпространстве , составленное в «эру геометродинамики» примерно в 1960-х годах Ашером Пересом . в 1962 году и другие. ^{[ 1 ]} Это попытка переформулировать общую теорию относительности таким образом, чтобы она напоминала квантовую теорию в полуклассическом приближении, во многом подобно соответствию между квантовой механикой и классической механикой .

Он назван в честь Альберта Эйнштейна , Карла Густава Якоба Якоби и Уильяма Роуэна Гамильтона . EHJE содержит столько же информации, сколько все десять уравнений поля Эйнштейна (EFE). ^{[ 2 ]} Это модификация уравнения Гамильтона-Якоби (HJE) из классической механики , и его можно вывести из действия Эйнштейна-Гильберта с использованием принципа наименьшего действия в формализме ADM .

Предыстория и мотивация

Соответствие между классической и квантовой физикой

В классической аналитической механике системы суммируется действием $S.$ динамика В квантовой теории, а именно в нерелятивистской квантовой механике (КМ), релятивистской квантовой механике (РКМ), а также в квантовой теории поля (КТП), с различными интерпретациями и математическими формализмами в этих теориях, поведение системы полностью содержится в комплексная ket Ψ амплитуда вероятности $($ более формально как состояние квантовое $|Ψ⟩$ – элемент гильбертова пространства ). Используя полярную форму волновой функции, выполним преобразование Маделунга:

\Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }

фаза Ψ Ψ $=$ интерпретируется как действие, а модуль $\sqrt ρ = \sqrt *Ψ |Ψ|$ интерпретируется согласно Копенгагенской интерпретации как функция плотности вероятности . Приведенная постоянная Планка $ħ$ представляет собой квант углового момента. Подстановка этого в квантовое общее уравнение Шредингера (SE):

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,

и переход к пределу $ħ \to 0$ дает классический HJE:

-{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,,

что является одним из аспектов принципа соответствия .

Недостатки четырехмерного пространства-времени

С другой стороны, переход от квантовой теории к общей теории относительности (ОТО) осуществить сложно; одной из причин является трактовка пространства и времени в этих теориях. В нерелятивистской КМ пространство и время не находятся в равных условиях; время — это параметр, а позиция — оператор . В RQM и QFT положение возвращается к обычным пространственным координатам наряду с координатой времени, хотя эти теории согласуются только с СТО в четырехмерном плоском пространстве Минковского , а не с искривленным пространством или ОТО. Можно сформулировать квантовую теорию поля в искривленном пространстве-времени , но даже это не может включать ОТО, поскольку гравитация не перенормируется в КТП. ^{[ 3 ]} Кроме того, в ОТО частицы движутся в искривленном пространстве-времени с детерминированно известными положением и импульсом в каждый момент времени, тогда как в квантовой теории положение и импульс частицы не могут быть точно известны одновременно; пространство $x$ и импульс $p$ , а также энергия $E$ и время $t$ попарно подчиняются принципам неопределенности.

\Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\,,

которые подразумевают, что небольшие интервалы в пространстве и времени означают, что возможны большие колебания энергии и импульса. Поскольку в ОТО масса-энергия и импульс-энергия являются источником искривления пространства-времени , большие колебания энергии и импульса означают, что «ткань» пространства-времени потенциально может стать настолько искаженной, что распадается на достаточно малых масштабах. ^{[ 4 ]} Существуют теоретические и экспериментальные доказательства того, что вакуум действительно обладает энергией, поскольку движение электронов в атомах колеблется, это связано с лэмбовским сдвигом . ^{[ 5 ]} По этим и другим причинам на все более мелких масштабах пространство и время считаются динамическими вплоть до планковских масштабов длины и планковского времени . ^{[ 4 ]}

В любом случае, четырехмерный искривленный континуум пространства-времени является четко определенной и центральной особенностью общей теории относительности, но не квантовой механики.

Уравнение

Одна из попыток найти уравнение, управляющее динамикой системы, как можно более близкое к КМ и ОТО, состоит в том, чтобы переформулировать HJE в трехмерном искривленном пространстве, понимаемом как «динамическое» (изменяющееся со временем), а не четырехмерная динамика пространства-времени во всех четырех измерениях, как и EFE. Пространство имеет метрику ( см. Метрическое пространство подробнее ).

Метрический тензор в общей теории относительности является важным объектом, поскольку собственное время , длина дуги , геодезическое движение в искривленном пространстве-времени и другие вещи зависят от метрики. Вышеупомянутый HJE изменен для включения метрики, хотя он является только функцией трехмерных пространственных координат $r$ (например, $r = (x, y, z)$ в декартовых координатах ) без координатного времени $t$ :

g_{ij}=g_{ij}(\mathbf {r} )\,.

В этом контексте $g ij$ называется «метрическим полем» или просто «полем».

Общее уравнение (свободное искривленное пространство)

Для свободной частицы в искривленном « пустом пространстве » или «свободном пространстве», т.е. при отсутствии материи , кроме самой частицы, уравнение можно записать: ^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

${\frac {1}{\sqrt {g}}}\left({\frac {1}{2}}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right){\frac {\delta S}{\delta g_{pq}}}{\frac {\delta S}{\delta g_{rs}}}+{\sqrt {g}}R=0$

где $g$ — определитель метрического тензора, а $R —$ скалярная кривизна Риччи трёхмерной геометрии (не включая время), а « $δ$ » вместо « $d$ » обозначает вариационную производную , а не обычную производную . Эти производные соответствуют импульсам поля, «сопряженным с метрическим полем»:

\pi ^{ij}(\mathbf {r} )=\pi ^{ij}={\frac {\delta S}{\delta g_{ij}}}\,,

скорость изменения действия по отношению к координатам поля $g ij (r)$ . π $аналогичны$ Здесь g и $q$ и $p$ = $\partialS / \partialq соответственно в$ классической гамильтоновой механике . см . в канонических координатах Дополнительную информацию .

Уравнение описывает, как волновые фронты постоянного действия распространяются в суперпространстве – как динамика волн материи свободной частицы разворачивается в искривленном пространстве. Дополнительные исходные условия необходимы для учета наличия дополнительных влияний на частицу, которые включают присутствие других частиц или распределений материи (которые способствуют искривлению пространства), а также источников электромагнитных полей, воздействующих на частицы с электрическим зарядом или спином . Как и уравнения поля Эйнштейна, оно нелинейно в метрике из-за произведений компонентов метрики, и, как и уравнение HJE, оно нелинейно в действии из-за произведения вариационных производных в действии.

Квантовомеханическую концепцию, согласно которой действие является фазой волновой функции, можно интерпретировать из этого уравнения следующим образом. Фаза должна удовлетворять принципу наименьшего действия; она должна быть стационарной при небольшом изменении конфигурации системы, т. е. при незначительном изменении положения частицы, что соответствует незначительному изменению метрических составляющих;

g_{ij}\rightarrow g_{ij}+\delta g_{ij}\,,

небольшое изменение фазы равно нулю:

\delta S=\int {\frac {\delta S}{\delta g_{ij}(\mathbf {r} )}}\delta g_{ij}(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =0\,,

(где $д 3 r$ — элемент объёма ) интеграла объёма . Так что конструктивная интерференция волн материи максимальна. Это можно выразить принципом суперпозиции ; применяется ко многим нелокализованным волновым функциям, разбросанным по искривленному пространству, с образованием локализованной волновой функции:

\Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,,

для некоторых коэффициентов $, cn$ и дополнительно действие (фаза) $для должно$ каждого $ψn Sn$ удовлетворять:

\delta S=S_{n+1}-S_{n}=0\,,

для всех n или, что то же самое,

S_{1}=S_{2}=\cdots =S_{n}=\cdots \,.

Области, где $Ψ$ максимально или минимально, возникают в точках, где существует вероятность найти там частицу и где изменение действия (фазы) равно нулю. быть найдена частица Итак, в приведенном выше EHJE каждый волновой фронт постоянного действия — это то место, где может .

Это уравнение до сих пор не «объединяет» квантовую механику и общую теорию относительности, поскольку полуклассическое приближение Эйконала в контексте квантовой теории и общей теории относительности было применено, чтобы обеспечить переход между этими теориями.

Приложения

Уравнение принимает различные сложные формы в:

См. также

слоение
Квантовая геометрия
Квантовое пространство-время
Вариационное исчисление
Уравнение также связано с уравнением Уиллера-ДеВитта .
Метрика Переса

Ссылки

Примечания

^ А. Перес (1962). «О проблеме Коши в общей теории относительности - II». Нуово Чименто . 26 (1). Спрингер: 53–62. Бибкод : 1962NCim...26...53P . дои : 10.1007/BF02754342 . S2CID 189781412 .
^ У. Х. Герлах (1968). «Вывод десяти уравнений поля Эйнштейна из полуклассического приближения квантовой геометродинамики». Физический обзор . 177 (5): 1929–1941. Бибкод : 1969PhRv..177.1929G . дои : 10.1103/PhysRev.177.1929 .
^ А. Шомер (2007). «Педагогическое объяснение неперенормируемости гравитации». arXiv : 0709.3555 [ шестнадцатый ].
^ Jump up to: ^а ^б Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство ВХК. п. 1285 . ISBN 978-0-89573-752-6 .
^ Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1190. ИСБН 978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1188. ИСБН 978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Дж. Мехра (1973). Представление физика о природе . Спрингер. п. 224. ИСБН 978-90-277-0345-3 .
^ Джей Джей Холливелл; Х. Перес-Меркадер; WH Журек (1996). Физические причины асимметрии времени . Издательство Кембриджского университета . п. 429. ИСБН 978-0-521-56837-1 .

Дальнейшее чтение

Книги

Дж. Л. Лопес (1977). Квантовая механика, полвека спустя: материалы коллоквиума, посвященного пятидесяти годам квантовой механики . Страсбург, Франция: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0 .
К. Ровелли (2004). Квантовая гравитация . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83733-0 .
К. Кифер (2012). Квантовая гравитация (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0-19-958520-5 .
Ю.К. Гликман (1999). На пути к квантовой гравитации: материалы XXXV Международной зимней школы по теоретической физике . Поляница, Польша: Springer. п. 224. ИСБН 978-3-540-66910-4 .
ЛЗ Фанг; Р. Руффини (1987). Квантовая космология . Продвинутая серия по астрофизике и космологии. Том. 3. Мировая научная . ISBN 978-9971-5-0312-3 .

Избранные статьи

Т. Бэнкс (1984). «TCP, квантовая гравитация, космологическая постоянная и все такое…» (PDF) . Стэнфорд, США. ( Уравнение A.3 в приложении ).
Б.К. Дариан (1997). «Решение уравнения Гамильтона-Якоби для гравитационно взаимодействующих электромагнитных и скалярных полей». Классическая и квантовая гравитация . 15 (1). Канада, США: 143–152. arXiv : gr-qc/9707046v2 . Бибкод : 1998CQGra..15..143D . дои : 10.1088/0264-9381/15/1/010 . S2CID 250879669 .
Джей Ар Бонд; Д.С. Салопек (1990). «Нелинейная эволюция длинноволновых флуктуаций метрики в инфляционных моделях» . Физ. Преподобный Д. Канада (США), Иллинойс (США).
Сан Пё Ким (1996). «Классическое пространство-время из квантовой гравитации» . Классическая и квантовая гравитация . 13 (6). Кунсан, Корея: IoP : 1377–1382. arXiv : gr-qc/9601049 . Бибкод : 1996CQGra..13.1377K . дои : 10.1088/0264-9381/13/6/011 . S2CID 250877590 .
С.Р. Бербена; А.В. Беррокаль; Дж. Сокорро; ЛО Пиментел (2006). «Уравнение Эйнштейна-Гамильтона-Якоби: поиск классического решения для баротропной FRW». Гуанахуато и Автонома Метрополитана (Мексика). arXiv : gr-qc/0607123 . Бибкод : 2007RMxFS..53b.115B .

[1] А. Перес (1962). «О проблеме Коши в общей теории относительности - II». Нуово Чименто . 26 (1). Спрингер: 53–62. Бибкод : 1962NCim...26...53P . дои : 10.1007/BF02754342 . S2CID 189781412 .

[2] У. Х. Герлах (1968). «Вывод десяти уравнений поля Эйнштейна из полуклассического приближения квантовой геометродинамики». Физический обзор . 177 (5): 1929–1941. Бибкод : 1969PhRv..177.1929G . дои : 10.1103/PhysRev.177.1929 .

[3] А. Шомер (2007). «Педагогическое объяснение неперенормируемости гравитации». arXiv : 0709.3555 [ шестнадцатый ].

[Lerner_Trigg_p_1285-4] Jump up to: ^а ^б Р. Г. Лернер ; Г.Л. Тригг (1991). Энциклопедия физики (2-е изд.). Издательство ВХК. п. 1285 . ISBN 978-0-89573-752-6 .

[5] Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1190. ИСБН 978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[6] Дж. А. Уилер , К. Миснер , К. С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co. с. 1188. ИСБН 978-0-7167-0344-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )

[7] Дж. Мехра (1973). Представление физика о природе . Спрингер. п. 224. ИСБН 978-90-277-0345-3 .

[8] Джей Джей Холливелл; Х. Перес-Меркадер; WH Журек (1996). Физические причины асимметрии времени . Издательство Кембриджского университета . п. 429. ИСБН 978-0-521-56837-1 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]