Четырехмерное пространство

Четырехмерный эквивалент куба известен как тессеракт , который здесь вращается в четырехмерном пространстве, но проецируется в двух измерениях для отображения.

Четырехмерное пространство ( 4D ) — это математическое расширение понятия трехмерного пространства (3D). Трехмерное пространство — это простейшая возможная абстракция наблюдения о том, что нужны всего три числа, называемые измерениями для описания размеров или расположения объектов в повседневном мире . Например, объем прямоугольной коробки можно найти путем измерения и умножения ее длины, ширины и высоты (часто обозначаемых x , y и z ). Эта концепция обычного пространства называется евклидовым пространством, поскольку она соответствует геометрии Евклида , которая изначально была абстрагирована от пространственного опыта повседневной жизни.

Идея добавления четвертого измерения появляется в книге Жана ле Рона Даламбера «Измерения», опубликованной в 1754 году. но математика более чем трех измерений появилась только в 19 веке . Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью разработана швейцарским математиком Людвигом Шлефли до 1853 года. Работа Шлефли при его жизни не привлекла особого внимания и была опубликована только посмертно, в 1901 году. но тем временем четвертое евклидово измерение было заново открыто другими. В 1880 году Чарльз Говард Хинтон популяризировал его в эссе « Что такое четвертое измерение? », в котором он объяснил понятие « четырехмерного куба » с помощью пошагового обобщения свойств линий, квадратов, и кубики. Самая простая форма метода Хинтона — нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один охватывающий другой, разделенные «невидимым» расстоянием, а затем нарисовать линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в данном случае представляют собой одно направление в «невидимом» четвёртом измерении.

Пространства более высокой размерности (более трех) с тех пор стали одной из основ формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешнем виде без использования таких пространств. сформулирована Эйнштейна Теория относительности в четырехмерном пространстве, хотя и не в евклидовом четырехмерном пространстве. Эйнштейна Концепция пространства-времени имеет структуру Минковского, основанную на неевклидовой геометрии с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением, а не четырьмя симметричными пространственными измерениями евклидова 4D пространства Шлефли .

Отдельные местоположения в евклидовом 4D-пространстве могут быть заданы как векторы или кортежи из 4 элементов , то есть как упорядоченные списки чисел, такие как ( x , y , z , w ) . Только когда такие места объединяются в более сложные формы, проявляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших обычных 4D-объектов , тессеракта , который аналогичен 3D- кубу .

История

Лагранж писал в своей «Аналитической механике» (опубликованной в 1788 году на основе работы, выполненной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве — трех измерениях пространства и одном измерении времени. Еще в 1827 году Мёбиус понял, что четвертое пространственное измерение позволит поворачивать трехмерную форму в ее зеркальное изображение. Общая концепция евклидова пространства с любым числом измерений была полностью развита швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века, в то время, когда Кэли , Грассман и Мёбиус были единственными людьми, которые когда-либо предполагали возможность геометрии в более трех измерений. К 1853 году Шлефли открыл все правильные многогранники , существующие в более высоких измерениях, включая четырехмерные аналоги Платоновых тел .

Арифметика четырех пространственных измерений, называемая кватернионами , была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра была источником науки векторного анализа в трех измерениях, как описано Майклом Дж. Кроу в «Истории векторного анализа» . Вскоре после этого тессарины и кокватернионы были введены как другие четырехмерные над R. алгебры В 1886 году Виктор Шлегель описал его метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля .

Одним из первых популярных исследователей четвертого измерения был Чарльз Говард Хинтон , начавший в 1880 году со своего эссе « Что такое четвертое измерение?» , опубликованный в журнале Дублинского университета . Он ввел термины тессеракт , ана и ката в своей книге «Новая эра мысли» и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге « Четвертое измерение» . на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения», опубликованной Идеи Хинтона вдохновили Мартина Гарднера в январе 1962 года в его колонке « Математические игры » в журнале Scientific American .

Неевклидовы пространства более высоких размерностей были поставлены на прочную основу Бернхарда Римана 1854 года диссертацией « Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grundeliegen» , в которой он рассматривал «точку» как любую последовательность координат ( x ₁ , .. ., х _н ) . В 1908 году Герман Минковский представил доклад. закрепление роли времени как четвертого измерения пространства-времени , основы Эйнштейна общей теории специальной и относительности . Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой , глубоко отличается от той, которую исследовал Шлефли и популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало математики Римана, которая совершенно отличается от математики четырехмерного евклидова пространства и поэтому развивалась по совершенно другим направлениям. В народном воображении это разделение было менее четким, поскольку художественные и философские произведения стирали это различие, поэтому в 1973 году Х. С. М. Коксетер почувствовал себя обязанным написать:

Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время . Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Гербертом Уэллсом в «Машине времени» , привела таких авторов, как Джон Уильям Данн ( «Эксперимент со временем ») , к серьезному заблуждению в отношении теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет никакого отношения к настоящему исследованию.

— HSM Коксетер , Правильные многогранники

Векторы

С математической точки зрения четырехмерное пространство — это пространство , которому для определения точки в нем требуется четыре параметра. Например, общая точка может иметь вектор положения a , равный

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{pmatrix}}.$

Это можно записать в терминах четырех стандартных базисных векторов ( e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ ) , заданных формулой

$\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{2}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}};\mathbf {e} _{4}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}},$

поэтому общий вектор a равен

$\mathbf {a} =a_{1}\mathbf {e} _{1}+a_{2}\mathbf {e} _{2}+a_{3}\mathbf {e} _{3}+a_{4}\mathbf {e} _{4}.$

Векторы складывают, вычитают и масштабируют как в трех измерениях.

Скалярное произведение евклидова трехмерного пространства обобщается на четыре измерения как

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+a_{4}b_{4}.$

Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора.

$\left|\mathbf {a} \right|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}}},$

и вычислить или определить угол между двумя ненулевыми векторами как

$\theta =\arccos {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|}}.$

Пространство-время Минковского — это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденной парой, отличной от скалярного произведения:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}.$

Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в 4-пространстве Минковского, а квадрат расстояния между (0,0 ,0,0) и (1,1,1,1) равно 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение b ₄ уменьшает метрическое расстояние. Это приводит ко многим хорошо известным очевидным «парадоксам» теории относительности.

Перекрестное произведение не определено в четырех измерениях. Вместо этого внешний продукт для некоторых применений используется , который определяется следующим образом:

${\begin{aligned}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} =(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\mathbf {e} _{12}+(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\mathbf {e} _{13}+(a_{1}b_{4}-a_{4}b_{1})\mathbf {e} _{14}+(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\mathbf {e} _{23}\\+(a_{2}b_{4}-a_{4}b_{2})\mathbf {e} _{24}+(a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})\mathbf {e} _{34}.\end{aligned}}$

Это значение бивектора : бивекторы в четырех измерениях образуют шестимерное линейное пространство с базисом ( e ₁₂ , e ₁₃ , e ₁₄ , e ₂₃ , e ₂₄ , e ₃₄ ) . Их можно использовать для создания вращения в четырех измерениях.

Ортогональность и словарный запас

В знакомом трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат , обычно обозначаемые x , y и z , каждая из которых ортогональна (т. е. перпендикулярна) двум другим. Шесть основных направлений в этом пространстве можно назвать вверх , вниз , восток , запад , север и юг . Позиции вдоль этих осей можно назвать высотой , долготой и широтой . Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высотой , шириной и глубиной .

Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную ось координат, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается w . Чтобы описать два дополнительных основных направления, Чарльз Говард Хинтон ввёл термины ана и ката , от греческих слов, означающих «вверх к» и «вниз» соответственно.

Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света . Добавляя измерение времени к трехмерному пространству, он определил альтернативную перпендикулярность — гиперболическую ортогональность . Это понятие придает его четырехмерному пространству модифицированную одновременность, соответствующую электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной космологией абсолютного пространства и времени , ранее использовавшейся во Вселенной с тремя пространственными измерениями и одним временным измерением.

Геометрия

Смотрите также: Вращения в 4-мерном евклидовом пространстве.

Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем геометрия трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.

Подобно тому, как в трёх измерениях существуют многогранники, состоящие из двумерных многоугольников , в четырёх измерениях существуют многогранники, состоящие из многогранников. В трёх измерениях существует пять правильных многогранников, известных как Платоновы тела . В четырех измерениях существует 6 выпуклых правильных 4-многогранников , аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности приводит к появлению еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников , аналогичных 13 полуправильным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.

Правильные многогранники в четырех измерениях
(Отображается в виде ортогональных проекций в каждой Кокстера плоскости симметрии )

A 4 , [3,3,3]	Б 4 , [4,3,3]		Ф 4 , [3,4,3]	Ч 4 , [5,3,3]
5-ячеечный {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	16-ячеечный {3,3,4}	24-ячеечный {3,4,3}	600-ячеечный {3,3,5}	120-ячеечный {5,3,3}

В трех измерениях круг можно выдавить , чтобы сформировать цилиндр . В четырех измерениях существует несколько различных цилиндрических объектов. Сферу можно выдавить, чтобы получить сферический цилиндр (цилиндр со сферическими «колпачками», известный как сфериндер ), а цилиндр можно выдавить, чтобы получить цилиндрическую призму (кубиндер). двух Декартово произведение окружностей можно использовать для получения дуоцилиндра . Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, каждый со своими свойствами.

В трех измерениях кривые могут образовывать узлы , а поверхности – нет (если только они не являются самопересекающимися). Однако в четырех измерениях узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, переместив их в четвертом направлении, а двумерные поверхности могут образовывать нетривиальные, несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой узловатой поверхности. Другая такая поверхность — реальная проективная плоскость .

Гиперсфера

Стереографическая проекция : тора Клиффорда набор точек (cos( a ), sin( a ), cos( b ), sin( b )) , который является подмножеством 3-сферы .

Основная статья: Гиперсфера

Набор точек евклидова 4-пространства, находящихся на одинаковом расстоянии R от фиксированной точки P _0, образует гиперповерхность, известную как 3-сфера . Гиперобъем закрытого помещения равен:

$\mathbf {V} ={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}R^{4}$

Это часть метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера в общей теории относительности , где R заменяется функцией R ( t ) , где t означает космологический возраст Вселенной. Рост или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри.

Четырехмерное восприятие у человека

Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире, могут без специальной практики делать пространственные суждения об сегментах линий, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерное) и угла (двухмерное). -мерное) между ними. Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в решении этих задач, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, четкие и богатые 4D-представления с повышенным опытом восприятия в виртуальных 4D-средах». В другом исследовании Была проверена способность человека ориентироваться в 2D, 3D и 4D лабиринтах. Каждый лабиринт состоял из четырех отрезков пути произвольной длины, соединенных ортогональными случайными изгибами, но без ответвлений и петель (т.е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре 4D Maze Джона Макинтоша. Участники должны были пройти путь и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые участники смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи нижнего измерения предназначались для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).

Однако обзор 2020 года подчеркнул, что эти исследования состоят из небольшой выборки субъектов и в основном из студентов колледжей. Он также указал на другие проблемы, которые должны решить будущие исследования: устранение артефактов (они могут быть вызваны, например, стратегиями решения требуемой задачи, которые не используют четырехмерное представление/четырехмерное рассуждение и обратную связь, предоставляемую исследователями для ускорения процесса). процесс адаптации) и анализ межсубъектной изменчивости (если 4D-восприятие возможно, его приобретение может быть ограничено подгруппой людей, конкретным критическим периодом или вниманием или мотивацией людей). Кроме того, неизвестно, существует ли более подходящий способ проецирования 4-мерного измерения (поскольку нет никаких ограничений на то, как можно проецировать 4-мерное измерение). Исследователи также предположили, что приобретение человеком четырехмерного восприятия может привести к активации зрительных областей мозга и энторинальной коры . Если это так, они предполагают, что это можно использовать как сильный индикатор приобретения восприятия 4D-пространства. Авторы также предложили использовать множество различных архитектуры нейронных сетей (с разными априорными предположениями), чтобы понять, какие из них способны или не способны обучаться.

Размерная аналогия

Сеть тессеракта

Чтобы понять природу четырехмерного пространства, метод, называемый размерной аналогией обычно используется . Размерная аналогия — это исследование того, как ( n − 1 ) измерений соотносятся с n измерениями, а затем вывод о том, как n измерений будут соотноситься с ( n + 1 ) измерениями.

Пространственную аналогию использовал Эдвин Эбботт Эбботт в книге «Флатландия» , повествующей историю о квадрате, живущем в двумерном мире, подобно поверхности листа бумаги. С точки зрения этого квадрата трехмерное существо обладает, казалось бы, богоподобными способностями, такими как способность вынимать предметы из сейфа, не взламывая его (путем перемещения их по третьему измерению), видеть все, что из двухмерного пространства. пространственная перспектива заключена за стенами и оставаться совершенно невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.

Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо способно на аналогичные действия с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе «Космическая страна» , в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.

Сечения

Когда трехмерный объект проходит через двухмерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерного объекта внутри этой плоскости. Например, если сфера пройдет через лист бумаги, существа на бумаге сначала увидят одну точку. Круг постепенно увеличивается, пока не достигнет диаметра сферы, а затем снова уменьшается, пока не сожмется до точки и не исчезнет. 2D-существа не будут видеть круг так же, как трехмерные существа; скорее, они видят только одномерную проекцию круга на своей одномерной «сетчатке». Аналогично, если четырехмерный объект прошел через трехмерную (гипер) поверхность, можно было наблюдать трехмерное сечение четырехмерного объекта. Например, гиперсфера будет сначала выглядеть как точка, затем как растущая сфера (пока не достигнет «гипердиаметра» гиперсферы), затем сфера сожмется до одной точки, а затем исчезнет. Этот способ визуализации аспектов четвертого измерения использовался в романе «Флатландия» , а также в нескольких произведениях Чарльза Говарда Хинтона . И точно так же трехмерные существа (например, люди с двухмерной сетчаткой) могут видеть все стороны и внутреннюю часть двухмерной формы одновременно, четырехмерное существо может видеть все лица и внутреннюю часть трехмерной формы одновременно. с их 3D сетчаткой.

Прогнозы

Полезное применение размерной аналогии для визуализации более высоких измерений — это проекция . Проекция — это способ представления n -мерного объекта в n -1 измерениях. Например, экраны компьютеров двумерны, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представляются в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом измерение, ортогональное экрану ( глубина ), удаляется и заменяется косвенной информацией. Сетчатка также представляет собой глаза ракурса двумерный набор рецепторов и т. д. ) , но мозг может воспринимать природу трехмерных объектов на основании косвенной информации (например, затенения, , бинокулярного зрения . Художники часто используют перспективу , чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. Тень , отбрасываемая фиктивной сеточной моделью вращающегося тессеракта на плоскую поверхность, как показано на рисунках, также является результатом проекций.

Точно так же объекты четвертого измерения можно математически спроецировать в знакомые три измерения, где их будет удобнее исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине на основе косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.

Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза вводит такие артефакты, как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений производит аналогичные эффекты ракурса. Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод о четырехмерной «глубине» этих эффектов.

В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.

Куб	Тессеракт	Описание
		Изображение слева представляет собой куб, рассматриваемый лицом к лицу. Аналогичная точка зрения на тессеракт в 4 измерениях — это перспективная проекция «сначала ячейка» , показанная справа. Можно провести аналогию между ними: как куб проецируется в квадрат, так и тессеракт проецируется в куб. Обратите внимание, что остальные пять граней куба здесь не видны. Они скрыты видимым лицом. Аналогично, остальные 7 ячеек тессеракта здесь не видны, поскольку они скрыты видимой клеткой.
		На изображении слева показан тот же куб, видимый с ребра. Аналогичная точка зрения тессеракта — это перспективная проекция лицом вперед , показанная справа. Так же, как проекция куба, обращенная к ребру, состоит из двух трапеций , проекция тессеракта, обращенная к грани, состоит из двух усеченных трапеций . Ближайшее ребро куба с этой точки зрения находится между красной и зеленой гранями. Аналогично, ближайшая грань тессеракта находится между красной и зеленой клетками.
		Слева — куб, рассматриваемый углом вперед. Это аналогично перспективной проекции тессеракта с края, показанной справа. Так же, как проекция куба, ориентированная на вершину, состоит из трех дельтоидов, окружающих вершину, проекция тессеракта, ориентированная на ребро, состоит из трех шестигранных объемов, окружающих ребро. Точно так же, как ближайшая вершина куба — это та, где встречаются три грани, ближайший край тессеракта — это тот, который находится в центре проекционного объема, где встречаются три ячейки.
		Можно провести другую аналогию между проекцией тессеракта, обращенной к ребру, и проекцией куба, обращенной к ребру. Проекция куба, ориентированная на ребро, имеет две трапеции, окружающие ребро, а тессеракт имеет три шестигранных объема, окружающих ребро.
		Слева — куб, рассматриваемый углом вперед. . Перспективная проекция тессеракта по вершинам показана справа Проекция куба, ведущая к вершине, имеет три тетрагона, окружающие вершину, но проекция тессеракта, ведущая к вершине, имеет четыре шестигранных объема, окружающих вершину. Как ближайший угол куба лежит в центре изображения, так и ближайшая вершина тессеракта лежит не на границе проецируемого объема, а в его центре внутри , где встречаются все четыре ячейки. Здесь можно увидеть только три из шести граней куба, потому что остальные три грани лежат за этими тремя гранями, на противоположной стороне куба. Точно так же здесь можно увидеть только четыре из восьми ячеек тессеракта; остальные четыре лежат позади этих четырех в четвертом направлении, на дальней стороне тессеракта.

Тени

Концепция, тесно связанная с проекцией, — это отбрасывание теней.

Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двухмерная тень. По аналогии с размерностями, свет, падающий на двумерный объект в двумерном мире, отбрасывал бы одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывал бы нульмерную тень, то есть , точка несвета. Идя другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.

Если каркас куба освещен сверху, то результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соединенными соответствующими углами. Точно так же, если бы каркас тессеракта был освещен «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность из четырехмерного пространства). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление представляет собой двухмерное изображение трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)

Граничные регионы

Аналогия с размерностями также помогает сделать вывод об основных свойствах объектов в более высоких измерениях, таких как ограничивающая область . Например, двумерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен шестью квадратными гранями.

Применяя размерную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт , ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубами. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы изображения, а не просто на двумерные поверхности.

Гиперобъем

или 4-объем гиперобъем в 4D можно рассчитать в замкнутой форме для простых геометрических фигур, таких как тессеракт ( s ⁴ , для длины стороны s ) и 4-шара ( $\pi ^{2}r^{4}/2$ для радиуса r ).

Рассуждение по аналогии из знакомых низших измерений может быть отличным интуитивным руководством, но следует проявлять осторожность и не принимать результаты, которые не проверены более строго. Например, рассмотрим формулы площади, заключенной в круг в двух измерениях ( $A=\pi r^{2}$) и объем, заключенный сферой в трех измерениях ( ${\textstyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}$). Можно догадаться, что объем, заключенный сферой в четырехмерном пространстве, является рациональным кратным $\pi r^{4}$, но правильный объем ${\frac {\pi ^{2}}{2}}r^{4}$. Объем в n -шара произвольном измерении n вычислим из рекуррентного соотношения, соединяющего измерение n с измерением n -2 .

В культуре

В искусстве

Этот раздел представляет собой отрывок из книги «Четвертое измерение в искусстве» . [ редактировать ]

Иллюстрация из «Элементарного трактата о четырехмерной геометрии» Жуффре . Книгу, оказавшую влияние на Пикассо, подарил ему Принсет.

Новые возможности, открытые концепцией четырехмерного пространства (и трудности, связанные с попытками его визуализировать), помогли вдохновить многих современных художников первой половины двадцатого века. Ранние кубисты , сюрреалисты , футуристы и художники- абстракционисты взяли идеи из многомерной математики и использовали их для радикального продвижения своей работы.

В литературе

Основная статья: Четвертое измерение в литературе

В научно-фантастических текстах часто упоминается понятие «измерение», когда речь идет о параллельных или альтернативных вселенных или других воображаемых планах существования . Это использование происходит от идеи о том, что для путешествия в параллельные/альтернативные вселенные/планы существования нужно путешествовать в направлении/измерении, отличном от стандартных. По сути, другие вселенные/планы находятся всего лишь на небольшом расстоянии от нашего, но это расстояние находится в четвертом (или более высоком) пространственном (или непространственном) измерении, а не в стандартных.

Одной из наиболее известных научно-фантастических историй об истинной геометрической размерности, которую часто рекомендуют в качестве отправной точки для тех, кто только начинает исследовать подобные вопросы, является новелла «Флатландия» Эдвина А. Эбботта 1884 года. Айзек Азимов в своем предисловии к изданию Signet Classics 1984 года описал Флатландию как «лучшее введение в способ восприятия измерений», которое можно найти.

Идея других измерений была включена во многие ранние научно-фантастические рассказы, занимая видное место, например, в Майлза Брейера » «Аппендиксе и очках (1928) и Мюррея Ленстера ( «Катапульта пятого измерения» 1931); и к 1940-м годам нерегулярно появлялся в научной фантастике. Классические истории, связанные с другими измерениями, включают книгу Роберта А. Хайнлайна « И он построил кривой дом» (1941), в которой калифорнийский архитектор проектирует дом на основе трехмерной проекции тессеракта; Алана Э. Норса » «Тигр за хвостом и «Вселенная между» (оба 1951 г.); и «Если день богатства» (1957) Уолтера Тевиса . Другой отсылкой является Мадлен Л'Энгл роман «Трещина во времени» (1962), в котором пятое измерение используется как способ «тессерактирования вселенной» или «складывания» пространства для быстрого перемещения по нему. Четвертое и пятое измерения также являются ключевыми компонентами книги «Мальчик, который изменил себя» Уильяма Слитора .

В философии

Иммануил Кант писал в 1783 году: «То, что везде пространство (которое само по себе не является границей другого пространства) имеет три измерения и что пространство вообще не может иметь больше измерений, основано на положении, что не более трёх линий могут пересекаться справа. углы в одной точке. Это положение вообще не может быть показано из понятий, но опирается непосредственно на интуицию, причем на чистую интуицию априорно, потому что оно аподиктически (доказательно) достоверно».

«Пространство имеет четыре измерения» — рассказ, опубликованный в 1846 году немецким философом и психологом-экспериментатором Густавом Фехнером под псевдонимом «Доктор Мизес». Главный герой сказки — тень, которая знает и способна общаться с другими тенями, но заперта на двумерной поверхности. По мнению Фехнера, этот «человек-тень» представлял себе третье измерение как измерение времени. Эта история очень похожа на « Аллегорию пещеры », представленную в » Платона « Государстве ( ок. 380 г. до н. э.).

Саймон Ньюкомб написал статью для Бюллетеня Американского математического общества в 1898 году под названием «Философия гиперпространства». Линда Дэлримпл Хендерсон ввела термин «философия гиперпространства», используемый для описания письма, использующего высшие измерения для исследования метафизических тем, в своей диссертации 1983 года о четвертом измерении в искусстве начала двадцатого века. Примеры «философов гиперпространства» включают Чарльза Говарда Хинтона , первого писателя, который в 1888 году использовал слово «тессеракт»; и русский эзотерик П. Д. Успенский .

См. также

• 4-многогранник
• 4-многообразие
• Экзотический Р ⁴
• Четырехмерность
• Список четырехмерных игр
• Время в физике
• Пространство-время

Ссылки

• Шлефли, Людвиг (1901) [1852], Граф, Дж. Х. (ред.), Теория множественной непрерывности , переизданные историческими математическими монографиями библиотеки Корнелльского университета, 2010 г. (на немецком языке), Цюрих, Базель: Georg & Co., ISBN  978-1-4297-0481-6
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.

Дальнейшее чтение

• Арчибальд, Р.К. (1914). «Время как четвертое измерение» (PDF) . Бюллетень Американского математического общества : 409–412.
• Эндрю Форсайт (1930) Геометрия четырех измерений , ссылка из Интернет-архива .
• Гамов, Георгий (1988). Один два три . . . Бесконечность: факты и предположения науки (3-е изд.). Публикации Courier Dover. п. 68. ИСБН  978-0-486-25664-1 . Выдержка со страницы 68
• Э. Х. Невилл (1921) «Четвертое измерение» , издательство Кембриджского университета , ссылка из коллекции исторической математики Мичиганского университета .

Внешние ссылки

• Видео «Измерения», демонстрирующие несколько различных способов визуализации четырехмерных объектов.
• Статья в Science News , в которой кратко излагаются видеоролики "Dimensions" с клипами. Архивировано 29 сентября 2012 г. на Wayback Machine.
• Флатландия: многомерный роман (второе издание)
• Покадровая анимация 4D - аналогии 3D