Тор Клиффорда

Стереографическая проекция тора Клиффорда, совершающего простое вращение.

Топологически прямоугольник представляет собой основной многоугольник тора со сшитыми вместе противоположными краями.

В геометрической топологии — тор Клиффорда простейшее и наиболее симметричное плоское вложение декартова произведения двух окружностей $S. 1 а$ и $С 1 б$ (в том же смысле, что поверхность цилиндра «плоская»). Он назван в честь Уильяма Кингдона Клиффорда . Он находится в $R 4$ , в отличие от $R 3$ . Чтобы понять, почему $Р. 4$ необходимо, обратите внимание, что если $S 1 а$ и $С 1 b$ каждый существует в своем независимом пространстве вложения $R 2 а$ и $р 2 b$ , результирующее пространство продукта будет $R 4$ а не $Р 3$ . Исторически популярное мнение о том, что декартово произведение двух окружностей представляет собой $R 3$ тор , напротив, требует крайне асимметричного применения оператора вращения ко второму кругу, поскольку этот круг будет иметь только одну независимую ось $z,$ доступную ему после того, как первый круг поглотит $x$ и $y$ .

Другими словами, тор, вложенный в $R 3$ является асимметричной проекцией уменьшенной размерности максимально симметричного тора Клиффорда, вложенного в $R 4$ . Эта связь аналогична проецированию ребер куба на лист бумаги. Такая проекция создает изображение меньшей размерности, которое точно отражает связность ребер куба, но также требует произвольного выбора и удаления одной из трех полностью симметричных и взаимозаменяемых осей куба.

Если $С 1 а$ и $С 1 b$ каждый имеет радиус $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1 / √ 2$ , их произведение тора Клиффорда идеально вписывается в единичную 3-сферу $S. 3$ , которое является трёхмерным подмногообразием $R 4$ . Если это математически удобно, тор Клиффорда можно рассматривать как находящийся внутри комплексного координатного пространства $C. 2$ , поскольку $С 2$ топологически эквивалентен $R 4$ .

Клиффорда является примером квадратного тора , поскольку он изометричен квадрату Тор с отождествленными противоположными сторонами. (В некоторых видеоиграх , в том числе в «Астероидах », используется квадратный тор; все, что выходит за пределы одного края экрана, снова появляется на противоположном краю с той же ориентацией.) Он также известен как евклидов 2-тор («2» — его топологическая размерность); нарисованные на нем фигуры подчиняются геометрии Евклида. ^{[ нужны разъяснения ]} как если бы он был плоским, тогда как поверхность обычного тора в форме « бублика » положительно изогнута на внешнем крае и отрицательно изогнута на внутреннем. Несмотря на то, что квадратный тор имеет геометрию, отличную от стандартного вложения тора в трехмерное евклидово пространство, он также может быть встроен в трехмерное пространство по теореме вложения Нэша ; одно из возможных вложений модифицирует стандартный тор с помощью фрактального набора ряби, бегущей в двух перпендикулярных направлениях вдоль поверхности. ^[1]

Формальное определение [ править ]

Единичный круг $S 1$ в $Р 2$ может быть параметризован угловой координатой:

S^{1}={\bigl \{}(\cos \theta ,\sin \theta )\,{\big |}\,0\leq \theta <2\pi {\bigr \}}.

В другом экземпляре $R 2$ , возьмите еще одну копию единичного круга

S^{1}={\bigl \{}(\cos \varphi ,\sin \varphi )\,{\big |}\,0\leq \varphi <2\pi {\bigr \}}.

Тогда тор Клиффорда

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}(\cos \theta ,\sin \theta ,\cos \varphi ,\sin \varphi )\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.

Поскольку каждая копия $S 1$ является вложенным подмногообразием в $R 2$ , тор Клиффорда является вложенным тором в $R 2 \times Р 2 = Р 4 .$

Если $Р 4$ задается координатами $(x 1, y 1, x 2, y 2)$ , то тор Клиффорда задается формулой

x_{1}^{2}+y_{1}^{2}=x_{2}^{2}+y_{2}^{2}={\tfrac {1}{2}}.

Это показывает, что в $Р 4$ тор Клиффорда является подмногообразием единичной 3-сферы $S 3$ .

Легко проверить, что тор Клиффорда является минимальной поверхностью в $S 3$ .

вывод с использованием комплексных Альтернативный чисел

Тор Клиффорда также принято рассматривать как вложенный тор в $C. 2$ . В двух копиях $C$ у нас есть следующие единичные круги (все еще параметризованные угловой координатой):

S^{1}=\left\{\left.e^{i\theta }\,\right|\,0\leq \theta <2\pi \right\}

и

S^{1}=\left\{\left.e^{i\varphi }\,\right|\,0\leq \varphi <2\pi \right\}.

Теперь тор Клиффорда выглядит как

{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}\times {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}S^{1}=\left\{\left.{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{i\theta },e^{i\varphi }\right)\,\right|\,0\leq \theta <2\pi ,0\leq \varphi <2\pi \right\}.

Как и раньше, это вложенное подмногообразие в единичной сфере $S 3$ в $С 2$ .

Если $С 2$ задается координатами $(z 1, z 2)$ , то тор Клиффорда задается формулой

\left|z_{1}\right|^{2}=\left|z_{2}\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}.

В торе Клиффорда, определенном выше, расстояние от любой точки тора Клиффорда до начала координат $C 2$ является

{\sqrt {{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\theta }\right|^{2}+{\tfrac {1}{2}}\left|e^{i\varphi }\right|^{2}}}=1.

Множество всех точек на расстоянии 1 от начала координат $C 2$ — это единичная 3-сфера, поэтому тор Клиффорда находится внутри этой 3-сферы. Фактически, тор Клиффорда делит эту трехмерную сферу на два конгруэнтных полнотория (см. расщепление Хигора ^[2]).

Поскольку O(4) действует на $R 4$ с помощью ортогональных преобразований мы можем переместить «стандартный» тор Клиффорда, определенный выше, в другие эквивалентные торы посредством жестких вращений. Все они называются «Клиффорд Тори». Шестимерная группа O(4) действует транзитивно на пространстве всех таких торов Клиффорда, находящихся внутри 3-сферы. Однако это действие имеет двумерный стабилизатор (см. групповое действие ), поскольку вращение тора в меридиональном и продольном направлениях сохраняет тор (в отличие от перемещения его в другой тор). Следовательно, на самом деле существует четырехмерное пространство торов Клиффорда. ^[2] Фактически, существует взаимно однозначное соответствие между торами Клиффорда в единичной 3-сфере и парами полярных больших кругов (т. е. больших кругов, которые максимально разделены). Учитывая тор Клиффорда, связанные с ним большие полярные круги являются центральными кругами каждой из двух дополнительных областей. И наоборот, для любой пары полярных больших кругов соответствующий тор Клиффорда является местом точек трехмерной сферы, которые равноудалены от двух кругов.

Более общее определение торов Клиффорда [ править ]

Плоские торы в единичной 3-сфере $S 3$ которые являются произведением окружностей радиуса $r$ в одной 2-плоскости $R 2$ и радиус $\sqrt 1 - r 2$ в другой 2-плоскости $R 2$ иногда также называют «торами Клиффорда».

Одни и те же круги можно рассматривать как имеющие радиусы $cos θ$ и $sin θ$ для некоторого угла $θ$ в диапазоне $0 \leq θ \leq π / 2$ (где мы учитываем вырожденные случаи $θ = 0$ и $θ = п / 2$ ).

Объединение для $0 \leq θ \leq π / 2$ всех этих торов формы

T_{\theta }=S(\cos \theta )\times S(\sin \theta )

(где $S (r)$ обозначает круг в плоскости $R 2$ определяемый наличием центра $(0, 0)$ и радиуса $r$ ), представляет собой 3-сферу $S 3$ . Обратите внимание, что мы должны включить два вырожденных случая $θ = 0$ и $θ = π / 2$ , каждый из которых соответствует большому кругу $S 3$ , и которые вместе составляют пару больших полярных кругов.

Легко видеть, что этот тор $T θ$ имеет площадь

\operatorname {area} \left(T_{\theta }\right)=4\pi ^{2}\cos \theta \sin \theta =2\pi ^{2}\sin 2\theta ,

поэтому только тор $T π / 4$ имеет максимально возможную площадь $2 π. 2$ . Этот тор $Т π / 4$ — это тор $T θ$ , который чаще всего называют «тором Клиффорда», а также единственный из $T θ$ , который является минимальной поверхностью в $S. 3$ .

торов Клиффорда в более высоких измерениях . Еще более общее определение

Любая единичная сфера $S 2 н -1$ в четномерном евклидовом пространстве $R 2 2н = С н$ может быть выражено через комплексные координаты следующим образом:

S^{2n-1}=\left\{(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{1}|^{2}+\cdots +|z_{n}|^{2}=1\right\}.

Тогда для любых неотрицательных чисел $r 1, ..., r n$ таких, что $r 12 + ... + р н 2 = 1$ , мы можем определить обобщенный тор Клиффорда следующим образом:

T_{r_{1},\ldots ,r_{n}}={\bigl \{}(z_{1},\ldots ,z_{n})\in \mathbf {C} ^{n}:|z_{k}|=r_{k},~1\leqslant k\leqslant n{\bigr \}}.

Все эти обобщенные торы Клиффорда не пересекаются друг с другом. Мы можем еще раз заключить, что объединение каждого из этих торов $T r 1, ..., r n$ представляет собой единичную $(2 n - 1)$ -сферу $S. 2 н -1$ (куда мы снова должны включить вырожденные случаи, когда хотя бы один из радиусов $r k = 0$ ).

Свойства [ править ]

Тор Клиффорда «плоский»; его можно расплющить до плоскости, не растягивая, в отличие от стандартного тора вращения.
Тор Клиффорда делит трехмерную сферу на два конгруэнтных полнотория. (В стереографической проекции тор Клиффорда выглядит как стандартный тор вращения. Тот факт, что он делит 3-сферу поровну, означает, что внутренняя часть проецируемого тора эквивалентна внешней части, которую нелегко визуализировать).

в математике Использование

В симплектической геометрии тор Клиффорда дает пример вложенного лагранжева C. $подмногообразия 2$ со стандартной симплектической структурой. (Конечно, любое произведение вложенных окружностей в $C$ дает лагранжев тор $C 2$ , поэтому это не обязательно должны быть торы Клиффорда.)

Гипотеза Лоусона утверждает, что каждый минимально вложенный тор в трехмерной сфере с круглой метрикой должен быть тором Клиффорда. Доказательство этой гипотезы было опубликовано Саймоном Брендлом в 2013 году. ^[3]

Торы Клиффорда и их образы при конформных преобразованиях являются глобальными минимизаторами функционала Уиллмора .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Боррелли, В.; Джабране, С.; Лазарь, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклая интеграция», Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , ПМИД 22523238 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Норбс, П. (сентябрь 2005 г.), «12-я проблема» (PDF) , Вестник Австралийского математического общества , 32 (4): 244–246.
^ Брендл, Саймон (2013), «Встроенные минимальные торы в $S 3$ и гипотеза Лоусона», Acta Mathematica , 211 (2): 177–190, arXiv : 1203.6597 , doi : 10.1007/s11511-013-0101-2 ; см. обзоры Жоао Лукаса Маркеса Барбозы ( MR 3143888 ) и Е-Лин Оу ( Збл 1305.53061 )

[1] Боррелли, В.; Джабране, С.; Лазарь, Ф.; Тиберт, Б. (апрель 2012 г.), «Плоские торы в трехмерном пространстве и выпуклая интеграция», Proceedings of the National Academy of Sciences , 109 (19): 7218–7223, doi : 10.1073/pnas.1118478109 , PMC 3358891 , ПМИД 22523238 .

[Norbs-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Норбс, П. (сентябрь 2005 г.), «12-я проблема» (PDF) , Вестник Австралийского математического общества , 32 (4): 244–246.

[3] Брендл, Саймон (2013), «Встроенные минимальные торы в $S 3$ и гипотеза Лоусона», Acta Mathematica , 211 (2): 177–190, arXiv : 1203.6597 , doi : 10.1007/s11511-013-0101-2 ; см. обзоры Жоао Лукаса Маркеса Барбозы ( MR 3143888 ) и Е-Лин Оу ( Збл 1305.53061 )

[1]

[2]

[3]