Правильный 4-многогранник

Тессеракт . — один из 6 выпуклых правильных 4-многогранников

В математике правильный 4-многогранник или правильный полихорон — это правильный четырёхмерный многогранник . Это четырехмерные аналоги правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.

Всего имеется шесть выпуклых и десять звездчатых правильных 4-многогранников, всего шестнадцать.

История

Выпуклые правильные 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине 19 века. Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.

Шлефли также нашел четыре правильных звездных 4-многогранника: большой 120-ячеечный , большой звездчатый 120-ячеечный , большой 600-ячеечный и большой большой звездчатый 120-ячеечный . Он пропустил оставшиеся шесть, потому что не допускал форм, не удовлетворяющих эйлеровой характеристике, в ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевыми дырками: F - E + V = 2). Это исключает ячейки и вершинные фигуры, такие как большой додекаэдр {5, ⁠ 5 / 2 ⁠ } и малый звездчатый додекаэдр { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,5}.

Эдмунд Гесс (1843–1903) опубликовал полный список в своей немецкой книге 1883 года « Введение в теорию сферического деления» с особым рассмотрением его применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников .

Строительство

Существование правильного 4-многогранника $\{p,q,r\}$ ограничено существованием правильных многогранников $\{p,q\},\{q,r\}$ которые образуют его ячейки и на двугранный угол ограничение

$\sin {\frac {\pi }{p}}\sin {\frac {\pi }{r}}>\cos {\frac {\pi }{q}}$

чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, образуя замкнутую 3-поверхность.

Описанные шесть выпуклых и десять звездчатых многогранников являются единственными решениями этих ограничений.

Существует четыре невыпуклых символа Шлефли {p,q,r}, которые имеют действительные ячейки {p,q} и фигуры вершин {q,r} и проходят тест на двугранность, но не могут создать конечные фигуры: {3, ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3}, {4,3, ⁠ 5 / 2 ⁠ }, { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3,4}, { ⁠ 5 / 2 ⁠ ,3, ⁠ 5 / 2 ⁠ }.

Правильные выпуклые 4-многогранники

Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников в двух измерениях.

Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен набором трехмерных ячеек , которые являются платоновыми телами одного типа и размера. Они соединяются вместе вдоль своих соответствующих граней (лицом к лицу) регулярным образом, образуя поверхность 4 -многогранника, который представляет собой замкнутое искривленное трехмерное пространство (аналогично тому, как поверхность Земли представляет собой замкнутое, искривленное двумерное пространство).

Характеристики

Как и их трехмерные аналоги, выпуклые правильные 4-многогранники можно естественным образом упорядочить по размеру как мере четырехмерного содержимого (гиперобъема) для того же радиуса. Каждый больший многогранник в последовательности более округлый , чем его предшественник, и содержит больше содержимого в пределах того же радиуса. У 4-симплексного (5-клеточного) наименьшее содержимое, а у 120-клеточного — самое большое.

showПравильные выпуклые 4-многогранники
Symmetry group	A4	B4		F4	H4
Name	5-cell Hyper-tetrahedron 5-point	16-cell Hyper-octahedron 8-point	8-cell Hyper-cube 16-point	24-cell 24-point	600-cell Hyper-icosahedron 120-point	120-cell Hyper-dodecahedron 600-point
Schläfli symbol	{3, 3, 3}	{3, 3, 4}	{4, 3, 3}	{3, 4, 3}	{3, 3, 5}	{5, 3, 3}
Coxeter mirrors
Mirror dihedrals	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/4⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠	⁠𝝅/5⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/3⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠ ⁠𝝅/2⁠
Graph
Vertices	5 tetrahedral	8 octahedral	16 tetrahedral	24 cubical	120 icosahedral	600 tetrahedral
Edges	10 triangular	24 square	32 triangular	96 triangular	720 pentagonal	1200 triangular
Faces	10 triangles	32 triangles	24 squares	96 triangles	1200 triangles	720 pentagons
Cells	5 tetrahedra	16 tetrahedra	8 cubes	24 octahedra	600 tetrahedra	120 dodecahedra
Tori	1 5-tetrahedron	2 8-tetrahedron	2 4-cube	4 6-octahedron	20 30-tetrahedron	12 10-dodecahedron
Inscribed	120 in 120-cell	675 in 120-cell	2 16-cells	3 8-cells	25 24-cells	10 600-cells
Great polygons		2 squares x 3	4 rectangles x 4	4 hexagons x 4	12 decagons x 6	100 irregular hexagons x 4
Petrie polygons	1 pentagon x 2	1 octagon x 3	2 octagons x 4	2 dodecagons x 4	4 30-gons x 6	20 30-gons x 4
Long radius	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$	$1$
Edge length	${\sqrt {\tfrac {5}{2}}}\approx 1.581$	${\sqrt {2}}\approx 1.414$	$1$	$1$	${\tfrac {1}{\phi }}\approx 0.618$	${\tfrac {1}{\phi ^{2}{\sqrt {2}}}}\approx 0.270$
Short radius	${\tfrac {1}{4}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$	${\sqrt {\tfrac {\phi ^{4}}{8}}}\approx 0.926$
Area	$10\left({\tfrac {5{\sqrt {3}}}{8}}\right)\approx 10.825$	$32\left({\sqrt {\tfrac {3}{4}}}\right)\approx 27.713$	$24$	$96\left({\sqrt {\tfrac {3}{16}}}\right)\approx 41.569$	$1200\left({\tfrac {\sqrt {3}}{4\phi ^{2}}}\right)\approx 198.48$	$720\left({\tfrac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{8\phi ^{4}}}\right)\approx 90.366$
Volume	$5\left({\tfrac {5{\sqrt {5}}}{24}}\right)\approx 2.329$	$16\left({\tfrac {1}{3}}\right)\approx 5.333$	$8$	$24\left({\tfrac {\sqrt {2}}{3}}\right)\approx 11.314$	$600\left({\tfrac {\sqrt {2}}{12\phi ^{3}}}\right)\approx 16.693$	$120\left({\tfrac {15+7{\sqrt {5}}}{4\phi ^{6}{\sqrt {8}}}}\right)\approx 18.118$
4-Content	${\tfrac {\sqrt {5}}{24}}\left({\tfrac {\sqrt {5}}{2}}\right)^{4}\approx 0.146$	${\tfrac {2}{3}}\approx 0.667$	$1$	$2$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 3.863$	${\tfrac {{\text{Short}}\times {\text{Vol}}}{4}}\approx 4.193$

В следующей таблице перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Кокстера и заданы в обозначениях, описанных в этой статье. Число, следующее за названием группы, является порядком группы.

Имена	Изображение	Семья	Шлефли Коксетер	V	И	Ф	С	Зеленый. инжир.	Двойной	Группа симметрии
5-клеточный пентахорон пентатоп 4-симплекс		n -симплекс ( Семья )	{3,3,3}	5	10	10 {3}	5 {3,3}	{3,3}	самодвойственный	A 4 [3,3,3]	120
16-ячеечный гексадекашорон 4-ортоплекс		n- ортоплекс (Б и семья)	{3,3,4}	8	24	32 {3}	16 {3,3}	{3,4}	8-ячеечный	Б 4 [4,3,3]	384
8-ячеечный октахорон тессеракт 4-кубовый		гиперкуб n- куб (Б и семья)	{4,3,3}	16	32	24 {4}	8 {4,3}	{3,3}	16-ячеечный
24-ячеечный икоситетрахорон октаплекс полиоктаэдр (pO)		F и семья	{3,4,3}	24	96	96 {3}	24 {3,4}	{4,3}	самодвойственный	FF4 [3,4,3]	1152
600-ячеечный гексакосихорон тетраплекс политетраэдр (пТ)		n-пятиугольный многогранник ( семья Х )	{3,3,5}	120	720	1200 {3}	600 {3,3}	{3,5}	120-ячеечный	Ч 4 [5,3,3]	14400
120-ячеечный гекатоникосахорон додекаконтахорон додекаплекс полидодекаэдр (пД)		n-пятиугольный многогранник ( семья Х )	{5,3,3}	600	1200	720 {5}	120 {5,3}	{3,3}	600-ячеечный

Джон Конвей пропагандировал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), тетраплекс или политетраэдр (pT), а также додекаплекс или полидодекаэдр (pD).

Норман Джонсон пропагандировал названия n-клетка, или пентахорон, гексадекахорон, тессеракт или октахорон, икоситетрахорон, гексакосихорон и гекатоникосахорон (или додекаконтахорон), придумав термин полихорон, являющийся четырехмерной аналогией трехмерного многогранника и двумерного многоугольника, выраженного от греческого корни поли («много») и choros («комната» или «пространство»).

Эйлерова характеристика для всех 4-многогранников равна нулю, мы имеем 4-мерный аналог многогранной формулы Эйлера:

$N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}=0\,$

где N _k обозначает количество k -граней в многограннике (вершина — 0-грань, ребро — 1-грань и т. д.).

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения .

В качестве конфигураций

Правильный 4-многогранник можно полностью описать как конфигурационную матрицу, содержащую количество составляющих его элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (слева вверху и справа внизу) показывают, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, в каждом ребре по 2 вершины (в каждом ребре по каждой грани сходятся по 2 клетки 2 вершины), а на (каждая грань принадлежит 2 клеткам) в любом правильном 4-многограннике. Конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов.

5-клеточный {3,3,3}	16-ячеечный {3,3,4}	8-ячеечный {4,3,3}	24-ячеечный {3,4,3}	600-ячеечный {3,3,5}	120-ячеечный {5,3,3}
${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}5&4&6&4\\2&10&3&3\\3&3&10&2\\4&6&4&5\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}8&6&12&8\\2&24&4&4\\3&3&32&2\\4&6&4&16\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}16&4&6&4\\2&32&3&3\\4&4&24&2\\8&12&6&8\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}120&12&30&20\\2&720&5&5\\3&3&1200&2\\4&6&4&600\end{matrix}}\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}600&4&6&4\\2&1200&3&3\\5&5&720&2\\20&30&12&120\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Визуализация

В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграмм Коксетера -Дынкина также приведены под символом Шлефли .

A 4 = [3,3,3]	Б 4 = [4,3,3]		Ф 4 = [3,4,3]	Ч 4 = [5,3,3]
5-клеточный	16-ячеечный	8-ячеечный	24-ячеечный	600-ячеечный	120-ячеечный
{3,3,3}	{3,3,4}	{4,3,3}	{3,4,3}	{3,3,5}	{5,3,3}
Твердые 3D ортогональные проекции
Тетраэдрический конверт (центрировано по ячейке/вершине)	Кубический конверт (клеточно-центрированный)	Кубический конверт (клеточно-центрированный)	Кубооктаэдрический конверт (клеточно-центрированный)	Пентакис икосододекаэдрический конверт (вершинно-центрированный)	Усеченный ромб триаконтаэдр конверт (клеточно-центрированный)
Каркасные диаграммы Шлегеля ( Перспективная проекция )
клеточно-центрированный	клеточно-центрированный	клеточно-центрированный	клеточно-центрированный	Вершинно-центрированный	клеточно-центрированный
Каркасные стереографические проекции ( 3-сферные )

Правильная звезда (Шлефли – Гесса) 4-многогранник

Это показывает отношения между четырехмерными звездными многогранниками. Две выпуклые формы и 10 звездчатых форм можно рассматривать в 3D как вершины кубооктаэдра .

Подмножество отношений между 8 формами из 120-ячеечного полидодекаэдра (pD). Три операции {a,g,s} перестановочны, определяя кубическую структуру. В вертикальном положении можно увидеть семь плотностей , причем две двойные формы имеют одинаковую плотность.

представляют 4-многогранники Шлефли – Гесса собой полный набор из 10 правильных самопересекающихся звездчатых полихор ( четырехмерных многогранников ). Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвига Шлефли и Эдмунда Гесса . Каждый представлен символом Шлефли { p , q , r }, в котором одно из чисел равно ⁠ 5/2 ​ ⁠ ​ . Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера – Пуансо , которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.

Имена

Их имена, приведенные здесь, были даны Джоном Конвеем , расширяя имена Кэли для многогранников Кеплера-Пуансо : наряду со звездчатыми и великими он добавляет модификатор grand . Конвей предложил следующие рабочие определения:

1. звездчатость – заменяет края более длинными краями в тех же линиях. (Пример: пятиугольник превращается в пентаграмму )
2. укрупнение – заменяет грани на крупные в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр превращается в большой икосаэдр )
3. увеличение – заменяет ячейки на большие в тех же трехмерных пространствах. (Пример: 600-ячейка увеличивается в большую 600-ячейку )

Джон Конвей называет 10 форм из 3 правильных ячеек 4-многогранника: pT=политетраэдр {3,3,5} (тетраэдр с 600 ячейками ), pI = полиикошедр {3,5, ⁠ 5 / 2 ⁠ } ( икосаэдр из 120 ячеек ) и pD=полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдр из 120 ячеек ) с модификаторами префикса: g , a и s для великого, (ag)гранд , и звездчатый. Последняя звездчатая форма, большой звездчатый полидодекаэдр, содержит их всех как gaspD .

Симметрия

Все десять полихор обладают [3,3,5]( H ₄ ) гексакосихорной симметрией . Они порождаются из 6 связанных тетраэдров Гурса групп симметрии рационального порядка : [3,5,5/2], [5,5/2,5], [5,3,5/2], [5/2,5 ,5/2], [5,5/2,3] и [3,3,5/2].

В каждой группе имеется по 2 правильные звезды-полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Итак, среди десяти правильных звездчатых полихор имеются 4 дуальные пары и 2 самодвойственные формы.

Характеристики

Примечание:

• Существует 2 уникальных расположения вершин , соответствующих 120-ячеечному и 600-ячеечному .
• Существует 4 уникальных расположения ребер , которые показаны в виде каркасных ортогональных проекций .
• Существует семь уникальных вариантов расположения граней , показанных в виде сплошных (цветных) ортогональных проекций.

Ячейки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольников фигуры ребер и многогранников фигуры вершин идентифицируются их символами Шлефли .

Имя Конвей (сокр.)	Ортогональный проекция	Шлефли Коксетер	С {п, д}	Ф {р}	И {р}	V {q, р}	Его.	час
Икосаэдрический 120-ячеечный полиикосаэдр (pI)		{3,5,5/2}	120 {3,5}	1200 {3}	720 {5/2 }	120 {5,5/2}	4	480
Маленький звездчатый, 120 ячеек. звездчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	1200 {3}	120 {5,3}	4	−480
Отличный 120-ячеечный большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5}	120 {5,5/2}	720 {5}	720 {5}	120 {5/2,5}	6	0
Гранд, 120 ячеек большой полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2}	120 {5,3}	720 {5}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	20	0
Большой звездчатый 120-ячеечный большой звездчатый полидодекаэдр (gspD)		{5/2,3,5}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	720 {5}	120 {3,5}	20	0
Большой звездчатый, 120 ячеек большой звездчатый полидодекаэдр (aspD)		{5/2,5,5/2}	120 {5/2,5}	720 {5/2}	720 {5/2}	120 {5,5/2}	66	0
Большой гранд, 120 ячеек большой большой полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3}	120 {5,5/2}	720 {5}	1200 {3}	120 {5/2,3}	76	−480
Большой икосаэдр, 120 ячеек. большой полиикосаэдр (gpI)		{3,5/2,5}	120 {3,5/2}	1200 {3}	720 {5}	120 {5/2,5}	76	480
Гранд 600-ячеечный большой политетраэдр (apT)		{3,3,5/2}	600 {3,3}	1200 {3}	720 {5/2}	120 {3,5/2}	191	0
Большой гранд звездчатый, 120 ячеек. большой звездчатый полидодекаэдр (gaspD)		{5/2,3,3}	120 {5/2,3}	720 {5/2}	1200 {3}	600 {3,3}	191	0

См. также

• Правильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Бесконечные правильные 4-многогранники:
  • Одна обычная евклидова сота: {4,3,4}
  • Четыре компактные правильные гиперболические соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5,3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных правильных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3,6,3}, {4,3 ,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6,3,6}.
• Абстрактные правильные 4-многогранники:
  • 11-ячеечный {3,5,3}
  • 57-ячеечный {5,3,5}
• Равномерные 4-многогранники, равномерные 4-многогранники, построенные из этих 6 правильных форм.
• Платоново твердое тело
• Многогранники Кеплера-Пуансо — правильный звездчатый многогранник.
• Звездчатый многоугольник — правильные звездчатые многоугольники.
• 4-многогранник
• 5-многогранник
• 6-многогранник

Ссылки

Библиография

• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Дувр.
• Коксетер, HSM (1969). Введение в геометрию (2-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-50458-0 .
• ДМИ Соммервилль (2020) [1930]. «X. Правильные многогранники» . Введение в геометрию n измерений . Курьер Дувр. стр. 159–192. ISBN  978-0-486-84248-6 .
• Конвей, Джон Х .; Бургель, Хайди; Гудман-Штраус, Хаим (2008). «26. Правильные звезды-многогранники». Симметрии вещей . стр. 404–8. ISBN  978-1-56881-220-5 .
• Гесс, Эдмунд (1883). «Введение в теорию сферического деления с особым рассмотрением ее применения к теории равноповерхностей и равноугольных многогранников» .
• Гесс, Эдмунд (1885). «О правильных многогранниках высших видов». Встречи по продвижению компанией всех естественных наук в Марбурге : 31–57.
• Шерк, Ф. Артур; Макмаллен, Питер; Томпсон, Энтони К.; Вайс, Азия Ивич, ред. (1995). Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter . Уайли. ISBN  978-0-471-01003-6 .
  • (Документ 10) Коксетер, HSM (1989). «Звездные многогранники и функция Шлафли f(α,β,γ)» . Элементы математики . 44 (2): 25–36.
• Коксетер, HSM (1991). Правильные комплексные многогранники (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-39490-1 .
• Макмаллен, Питер; Шульте, Эгон (2002). «Абстрактные правильные многогранники» (PDF) .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Регулярный полихорон» . Математический мир .
• Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-многогранников
• Обычные развертки 4D-многогранника
• Каталог изображений многогранников Коллекция стереографических проекций 4-многогранников.
• Каталог однородных многогранников
• Dimensions 2-часовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-многогранников)
• Правильные многогранники
• Обычная звездная полихора
• Гипертела