Ортографическая проекция

Сведения об ортогональной проекции карты см. в разделе Ортогональная картографическая проекция . Математическое обсуждение с точки зрения линейной алгебры см. в разделе «Проекция (линейная алгебра)» .

Ортогональная проекция (также ортогональная проекция и аналемма ) — это средство представления трехмерных объектов в двух измерениях . Ортогональная проекция — это форма параллельной проекции, в которой все линии проекции ортогональны плоскости проекции . в результате каждая плоскость сцены подвергается аффинному преобразованию на поверхности просмотра. Аверс ортогональной проекции — это косая проекция , которая представляет собой параллельную проекцию, в которой линии проекции не ортогональны плоскости проекции.

Термин «ортографический» иногда означает технику многоракурсной проекции , в которой главные оси или плоскости объекта также параллельны плоскости проекции для создания основных видов . Если главные плоскости или оси объекта в ортогональной проекции не параллельны плоскости проекции, изображение называется аксонометрическим или вспомогательным видом . ( Аксонометрическая проекция является синонимом параллельной проекции .) Подтипы основных видов включают планы , фасады и разрезы ; подтипы вспомогательных видов включают изометрические , диметрические и триметрические проекции .

Линза, обеспечивающая ортогональную проекцию, представляет собой телецентрическую линзу в пространстве объекта .

Геометрия

Сравнение нескольких типов графической проекции

Различные прогнозы и способы их создания

Три взгляда. Проценты показывают величину ракурса.

Простая ортогональная проекция на плоскость z = 0 может быть определена следующей матрицей:

$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}$

Для каждой точки v = ( v _x , v _y , v _z ) преобразованная точка Pv будет иметь вид

$Pv={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\end{bmatrix}}$

Зачастую полезнее использовать однородные координаты . Вышеупомянутое преобразование можно представить для однородных координат как

$P={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Для каждого однородного вектора v = ( v _x , v _y , v _z , 1) преобразованный вектор Pv будет иметь вид

$Pv={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\0\\1\end{bmatrix}}$

В компьютерной графике одна из наиболее распространенных матриц, используемых для ортогональной проекции , может быть определена 6-кортежом ( левая , правая , нижняя , верхняя , ближняя , дальняя ), которая определяет плоскости отсечения . Эти плоскости образуют прямоугольник с минимальным углом ( слева , снизу , - рядом ) и максимальным углом ( справа , сверху , - далеко ).

Блок перемещается так, что его центр находится в начале координат, затем он масштабируется до единичного куба, который определяется наличием минимального угла в (-1,-1,-1) и максимального угла в (1,1,-1), 1).

Орфографическое преобразование может быть задано следующей матрицей:

$P={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&-{\frac {{\text{right}}+{\text{left}}}{{\text{right}}-{\text{left}}}}\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}\\0&0&{\frac {-2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{{\text{far}}-{\text{near}}}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

которое может быть задано как масштабирование S, за которым следует перевод T в форме

$P=ST={\begin{bmatrix}{\frac {2}{{\text{right}}-{\text{left}}}}&0&0&0\\0&{\frac {2}{{\text{top}}-{\text{bottom}}}}&0&0\\0&0&{\frac {2}{{\text{far}}-{\text{near}}}}&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0&0&-{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&1&0&-{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&-1&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Обращение матрицы проекции P ⁻¹ , который можно использовать, поскольку определена матрица непроецирования:

$P^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {{\text{right}}-{\text{left}}}{2}}&0&0&{\frac {{\text{left}}+{\text{right}}}{2}}\\0&{\frac {{\text{top}}-{\text{bottom}}}{2}}&0&{\frac {{\text{top}}+{\text{bottom}}}{2}}\\0&0&{\frac {{\text{far}}-{\text{near}}}{-2}}&-{\frac {{\text{far}}+{\text{near}}}{2}}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}$

Типы

Классификация ортогональных проекций и некоторых 3D-проекций

Три подтипа ортогональной проекции — это изометрическая проекция , диметрическая проекция и триметрическая проекция , в зависимости от точного угла, на который вид отклоняется от ортогонального. Обычно в аксонометрических рисунках, как и в других типах изображений, одна ось пространства изображается вертикальной.

В изометрической проекции , наиболее часто используемой форме аксонометрической проекции в инженерных чертежах, направление взгляда таково, что три оси пространства кажутся одинаково укороченными , и между ними имеется общий угол 120°. Поскольку искажение, вызванное ракурсом, однородно, пропорциональность между длинами сохраняется, а оси имеют общий масштаб; это облегчает возможность проводить измерения непосредственно по чертежу. Еще одним преимуществом является то, что углы в 120° легко построить, используя только циркуль и линейку .

В диметрической проекции направление просмотра таково, что две из трех осей пространства кажутся одинаково укороченными, причем сопутствующий масштаб и углы представления определяются в соответствии с углом обзора; масштаб третьего направления определяется отдельно.

В триметрической проекции направление взгляда таково, что все три оси пространства кажутся неравномерно укороченными. Масштаб по каждой из трех осей и углы между ними определяются отдельно в зависимости от угла обзора. Триметрическая перспектива редко используется в технических чертежах.

Многоракурсная проекция

Символы, используемые для определения того, является ли многовидовая проекция либо третьим углом (справа), либо первым углом (слева).

Основная статья: Многоракурсная проекция

При многоракурсной проекции создается до шести изображений объекта, называемых первичными видами , при этом каждая плоскость проекции параллельна одной из координатных осей объекта. Виды располагаются относительно друг друга по одной из двух схем: проекции по первому или третьему ракурсу . В каждом из них виды можно рассматривать как проецируемые на плоскости, образующие шестигранный прямоугольник вокруг объекта. Хотя можно нарисовать шесть разных сторон, обычно три вида рисунка дают достаточно информации для создания трехмерного объекта. Эти виды известны как вид спереди (также фасад ), вид сверху (также план ) и вид с торца (также разрез ). Когда плоскость или ось изображенного объекта не параллельна плоскости проекции и когда на одном изображении видны несколько сторон объекта, это называется вспомогательным видом . Таким образом , изометрическая проекция , диметрическая проекция и триметрическая проекция будут считаться вспомогательными видами в многоракурсной проекции. Типичной характеристикой многоракурсной проекции является то, что одна ось пространства обычно отображается вертикально.

Картография

Основная статья: Орфографическая проекция в картографии

Ортографическая проекция (экваториальный аспект) восточного полушария 30°W–150°E.

Карта орфографической проекции — проекция картографическая это . Подобно стереографической и гномонической проекциям , ортогональная проекция представляет собой перспективную (или азимутальную) проекцию , в которой сфера проецируется на касательную или секущую плоскость . Точка перспективы ортогональной проекции находится на бесконечном расстоянии. На нем изображено полушарие земного шара , каким оно выглядит из космоса , где горизонт представляет собой большой круг . Формы и области искажены , особенно по краям.

Орфографическая проекция известна с древности, и ее картографическое использование хорошо документировано. Гиппарх использовал проекцию во II веке до нашей эры для определения мест восхода и захода звезд. Примерно в 14 г. до н.э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и расчета положения Солнца.

Витрувий также, кажется, разработал термин «орфографический» - от греческого «ортос » («прямой») и графе («рисунок») - для обозначения проекции. Однако название «аналемма» , которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было распространенным названием до тех пор, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не предложил свое нынешнее название в 1613 году.

Самые ранние сохранившиеся карты на проекции представляют собой гравюры земных глобусов 1509 года (анонимно), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шёнер), а также 1524 и 1551 годов (Апиан).

Внешние ссылки

• Normale (ортогональная) Axonometerie (на немецком языке)
• Ортографическая проекция Видео и математика