Эллипсоид напряжений Ламе

Эллипсоид напряжений Ламе является альтернативой кругу Мора для графического представления напряженного состояния в точке . Поверхность эллипсоида представляет собой место расположения концов всех векторов напряжений, действующих на все плоскости, проходящие через данную точку в сплошном теле. Другими словами, концы всех векторов напряжений в данной точке сплошного тела лежат на поверхности эллипсоида напряжений, т. е. радиус-вектора от центра эллипсоида, расположенного в рассматриваемой материальной точке, к точке на поверхность эллипсоида равна вектору напряжений на некоторой плоскости, проходящей через точку. В двух измерениях поверхность представлена ​​эллипсом .

Зная уравнения эллипсоида, можно определить величину вектора напряжения для любой плоскости, проходящей через эту точку.

Для определения уравнения эллипсоида напряжений рассмотрим координатные оси $x_{1},x_{2},x_{3}\,\!$ взятую в направлениях главных осей, т. е. в пространстве главных напряжений. Таким образом, координаты вектора напряжений $\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\!$ на плоскости с нормальным единичным вектором $\mathbf {n} \,\!$ проходящий через данную точку $P\,\!$ представлен

$T_{1}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{1}n_{1},\qquad T_{2}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{2}n_{2},\qquad T_{3}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{3}n_{3}\,$

И зная это $\mathbf {n} \,\!$ это единичный вектор, который у нас есть

$n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}={\frac {T_{1}^{2}}{\sigma _{1}^{2}}}+{\frac {T_{2}^{2}}{\sigma _{2}^{2}}}+{\frac {T_{3}^{2}}{\sigma _{3}^{2}}}=1\,$

которое представляет собой уравнение эллипсоида с центром в начале системы координат, с длинами полуосей эллипсоида, равными величинам главных напряжений, т.е. точки пересечения эллипсоида с главными осями равны $\pm \sigma _{1},\pm \sigma _{2},\pm \sigma _{3}\,\!$.

• Первый инвариант напряжений $I_{1}\,\!$ прямо пропорциональна сумме главных радиусов эллипсоида.
• Второй инвариант напряжений $I_{2}\,\!$ прямо пропорциональна сумме трех главных площадей эллипсоида. Три основные области представляют собой эллипсы на каждой главной плоскости.
• Третий инвариант напряжений $I_{3}\,\!$ прямо пропорциональна объему эллипсоида.
• Если два из трех главных напряжений численно равны, эллипсоид напряжений становится эллипсоидом вращения . Таким образом, две основные области — это эллипсы, а третья — круг .
• Если все главные напряжения равны и имеют один и тот же знак, эллипсоид напряжений становится сферой , и любые три перпендикулярных направления можно принять в качестве главных осей.

Однако эллипсоид напряжений сам по себе не указывает плоскость, на которой действует данный вектор тяги. Только для случая, когда вектор напряжений лежит вдоль одного из главных направлений, можно узнать направление плоскости, так как главные напряжения действуют перпендикулярно их плоскостям. Для нахождения ориентации любой другой плоскости использовалась поверхность директора напряжений или директор стресса квадрик представлено уравнением

${\frac {x_{1}^{2}}{\sigma _{1}}}+{\frac {x_{2}^{2}}{\sigma _{2}}}+{\frac {x_{3}^{2}}{\sigma _{3}}}=1$

Напряжение, представленное радиус-вектором эллипсоида напряжений, действует на плоскости, ориентированной параллельно касательной плоскости к поверхности директора напряжений в точке ее пересечения с радиус-вектором.

Библиография

• Тимошенко, Стивен П .; Джеймс Норман Гудьер (1970). Теория упругости (Третье изд.). McGraw-Hill International Editions. ISBN  0-07-085805-5 .
• Тимошенко, Стивен П. (1983). История сопротивления материалов: с кратким изложением истории теории упругости и теории конструкций . Дуврские книги по физике. Дуврские публикации. ISBN  0-486-61187-6 .