Ортографическая картографическая проекция

Ортографическая проекция в картографии использовалась с древности. Подобно стереографической и гномонической проекциям , ортогональная проекция представляет собой перспективную (или азимутальную) проекцию , в которой сфера проецируется на касательную или секущую плоскость . Точка перспективы ортогональной проекции находится на бесконечном расстоянии. На нем изображено полушарие земного шара , каким оно выглядит из космоса , где горизонт представляет собой большой круг . Формы и области искажены , особенно по краям. ^[1]^[2]

История

Орфографическая проекция известна с древности, и ее картографическое использование хорошо документировано. Гиппарх использовал проекцию во II веке до нашей эры для определения мест восхода и захода звезд. Примерно в 14 г. до н.э. римский инженер Марк Витрувий Поллион использовал проекцию для построения солнечных часов и расчета положения Солнца. ^[2]

Витрувий также, кажется, разработал термин «орфографический» (от греческого «ортос » (= «прямой») и графе (= «рисунок»)) для обозначения проекции. Однако название «аналемма» , которое также означало солнечные часы, показывающие широту и долготу, было распространенным названием до тех пор, пока Франсуа д'Агилон из Антверпена не предложил свое нынешнее название в 1613 году. ^[2]

Самые ранние сохранившиеся карты проекции представляют собой грубые гравюры на дереве земных глобусов 1509 года (анонимно), 1533 и 1551 годов (Иоганнес Шёнер), а также 1524 и 1551 годов (Апиан). Высококачественная карта, разработанная эрудитом эпохи Возрождения Альбрехтом Дюрером и выполненная Иоганнесом Стабиусом , появилась в 1515 году. ^[2]

Фотографии Земли и других планет, сделанные с космического корабля, пробудили новый интерес к орфографической проекции в астрономии и планетологии .

Математика

Формулы помощью сферической ортогональной проекции выведены с тригонометрии . Они записаны в терминах долготы ( λ ) и широты ( φ ) на сфере . Определите радиус сферы 0 R и центральную точку (и начало координат проекции ( λ ₀ , φ ₎ ). Уравнения ) сводятся ортогональной проекции на касательную плоскость ( x , y к следующему: ^[1]

{\begin{aligned}x&=R\,\cos \varphi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y&=R{\big (}\cos \varphi _{0}\sin \varphi -\sin \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\big )}\end{aligned}}

Широты, выходящие за пределы карты, следует обрезать путем расчета углового расстояния c от центра ортогональной проекции. Это гарантирует, что точки в противоположном полушарии не будут нанесены на график:

\cos c=\sin \varphi _{0}\sin \varphi +\cos \varphi _{0}\cos \varphi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,

.

Точка должна быть вырезана с карты, если cos( c ) отрицательна. То есть все точки, включенные в отображение, удовлетворяют:

-{\frac {\pi }{2}}<c<{\frac {\pi }{2}}

.

Обратные формулы имеют вид:

{\begin{aligned}\varphi &=\arcsin \left(\cos c\sin \varphi _{0}+{\frac {y\sin c\cos \varphi _{0}}{\rho }}\right)\\\lambda &=\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos c\cos \varphi _{0}-y\sin c\sin \varphi _{0}}}\right)\end{aligned}}

где

{\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c&=\arcsin {\frac {\rho }{R}}\end{aligned}}

Для вычисления использовать двухаргументную atan2 форму функции обратного тангенса (в отличие от atan обратных формул рекомендуется ). Это гарантирует, что записанный знак орфографической проекции правильный во всех квадрантах .

Обратные формулы особенно полезны при попытке спроецировать переменную, определенную в сетке ( λ , φ ), на прямолинейную сетку в ( x , y ). Прямое применение ортогональной проекции дает разбросанные точки в ( x , y ), что создает проблемы для построения графиков и численного интегрирования . Одно из решений — начать с плоскости проекции ( x , y ) и построить изображение на основе значений, определенных в ( λ , φ ), используя обратные формулы ортогональной проекции.

См. «Справочники» для эллипсоидальной версии ортогональной картографической проекции. ^[3]

Сравнение ортогональной картографической проекции и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в том же масштабе, упорядоченных по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

Ортографические проекции на цилиндры

В широком смысле все проекции с точкой перспективы, обращенной в бесконечность (и, следовательно, с параллельными проецирующими линиями), считаются ортогональными, независимо от поверхности, на которую они проецируются. Такие проекции искажают углы и площади, близкие к полюсам. ^{[ нужны разъяснения ]}

Примером ортогональной проекции на цилиндр является цилиндрическая равновеликая проекция Ламберта .

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Снайдер, JP (1987). Картографические проекции — рабочее руководство (Профессиональный документ Геологической службы США 1395) . Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США. стр. 145–153 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций, стр. 16–18. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226767475 .
^ Зинн, Ноэль (июнь 2011 г.). «Эллипсоидальная орфографическая проекция через ECEF и топоцентрическую (ENU)» (PDF) . Проверено 11 ноября 2011 г.

Внешние ссылки

Орфографическая проекция — из MathWorld

[SnyderWorkingManual-1] Jump up to: ^а ^б Снайдер, JP (1987). Картографические проекции — рабочее руководство (Профессиональный документ Геологической службы США 1395) . Вашингтон, округ Колумбия: Типография правительства США. стр. 145–153 .

[Snyder16-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций, стр. 16–18. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета. ISBN 9780226767475 .

[3] Зинн, Ноэль (июнь 2011 г.). «Эллипсоидальная орфографическая проекция через ECEF и топоцентрическую (ENU)» (PDF) . Проверено 11 ноября 2011 г.

[1]

[2]

[3]