Стереографическая картографическая проекция

Стереографическая проекция , также известная как планисферная проекция или азимутальная конформная проекция , представляет собой конформную картографическую проекцию , использование которой восходит к древности. Подобно орфографической и гномонической проекциям , стереографическая проекция является азимутальной проекцией , а на сфере — еще и перспективной проекцией .

На эллипсоиде определение перспективы стереографической проекции не является конформным, и необходимо внести корректировки, чтобы сохранить его азимутальные и конформные свойства. Универсальная полярная стереографическая система координат использует одну из таких эллипсоидных реализаций.

История

Стереографическая проекция в своем полярном аспекте, вероятно, была известна древним египтянам , хотя ее изобретение часто приписывают Гиппарху , который был первым греком, который ее использовал. ^{[ нужна ссылка ]} Его наклонный аспект использовался греческим математиком Теоном Александрийским в четвертом веке, а его экваториальный аспект использовался арабским астрономом Аль-Заркали в одиннадцатом веке. Птолемея Самое раннее письменное описание этого явления — «Планисфаерий» , в котором оно названо «проекцией планисферы».

Стереографическая проекция использовалась исключительно для звездных карт до 1507 года, когда Вальтер Ладд из Сен-Дье, Лотарингия, создал первый известный экземпляр стереографической проекции поверхности Земли. Его популярность в картографии возросла после того, как Румольд Меркатор использовал его экваториальный аспект в своем атласе 1595 года. ^[1] Впоследствии он часто использовался на протяжении семнадцатого века, а его экваториальный аспект использовался для карт Восточного и Западного полушарий . ^[2]

В 1695 году Эдмон Галлей , движимый своим интересом к картам звездного неба , опубликовал первое математическое доказательство того, что эта карта конформна . ^[3] Он использовал недавно появившиеся инструменты исчисления , изобретенные его другом Исааком Ньютоном .

Формулы

Сферическая форма стереографической проекции обычно выражается в полярных координатах:

{\begin{aligned}r&=2R\tan \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {\varphi }{2}}\right)\\\theta &=\lambda \end{aligned}}

где $R$ - радиус сферы, а $\varphi$ и $\lambda$ - это широта и долгота соответственно.

Сфера обычно выбирается для моделирования Земли , когда протяженность отображаемой области превышает несколько сотен километров в длину в обоих измерениях. Для карт небольших регионов необходимо выбирать эллипсоидальную модель , если требуется большая точность. ^[1]

Эллипсоидальная форма полярной эллипсоидной проекции использует конформную широту . Существуют различные формы поперечных или косых стереографических проекций эллипсоидов. Один метод использует двойную проекцию через конформную сферу, а другие - нет.

Примеры поперечных или косых стереографических проекций включают сплющенную стереографическую проекцию Миллера. ^[4] и косая стереографическая проекция Руссилье . ^[2]

Характеристики

Как азимутальная проекция, стереографическая проекция точно отображает относительные направления всех больших кругов, проходящих через ее центральную точку. Как конформная проекция, она везде точно представляет углы. Кроме того, в своей сферической форме стереографическая проекция является единственной картографической проекцией, которая отображает все маленькие круги как круги.

Сферическая форма стереографической проекции эквивалентна перспективной проекции, где точка перспективы находится в точке земного шара, противоположной центральной точке карты.

Поскольку выражение для $r$ расходится как $\varphi$ подходы $-{\frac {\pi }{2}}$ , стереографическая проекция бесконечно велика, и показать Южный полюс (для карты с центром в Северном полюсе) невозможно. Однако можно показывать точки, сколь угодно близкие к Южному полюсу, если границы карты простираются достаточно далеко. ^[1]

Производные прогнозы

Параллели на стереографической проекции Галля расположены с таким же интервалом, как и на центральном меридиане поперечной стереографической проекции.

Проекция GS50 формируется путем отображения наклонной стереографической проекции на комплексную плоскость и последующего преобразования точек на ней с помощью полинома десятого порядка.

Сравнение проекции стереографической карты и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в том же масштабе, упорядоченных по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Снайдер, Джон П. 1987. «Картографические проекции — рабочее руководство». Профессиональная бумага . Геологическая служба США. 1395: 154--163. ISBN 0-226-76746-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций стр.~169. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-76746-9 .
^ Тимоти Фиман. 2002. «Портреты Земли: математик смотрит на карты». Американское математическое общество.
^ Спрински, Уильям Х.; Снайдер, Джон П. (1986). «Сплюснутая стереографическая проекция Миллера для Африки, Европы, Азии и Австралазии». Американский картограф . 13 (3): 253–261. дои : 10.1559/152304086783899908 .

[Working_manual-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Снайдер, Джон П. 1987. «Картографические проекции — рабочее руководство». Профессиональная бумага . Геологическая служба США. 1395: 154--163. ISBN 0-226-76746-9 .

[Flattening-2] Перейти обратно: ^а ^б Снайдер, Джон П. (1993). Выравнивание Земли: две тысячи лет картографических проекций стр.~169. Чикаго и Лондон: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-76746-9 .

[3] Тимоти Фиман. 2002. «Портреты Земли: математик смотрит на карты». Американское математическое общество.

[4] Спрински, Уильям Х.; Снайдер, Джон П. (1986). «Сплюснутая стереографическая проекция Миллера для Африки, Европы, Азии и Австралазии». Американский картограф . 13 (3): 253–261. дои : 10.1559/152304086783899908 .

[1]

[2]

[3]

[4]