Азимутальная равновеликая проекция Ламберта

Азимутальная равновеликая проекция Ламберта — это частное отображение сферы на диск . Он точно представляет площадь во всех областях сферы, но неточно представляет углы . Оно названо в честь швейцарского математика Иоганна Генриха Ламберта , который объявил о нем в 1772 году. ^[1] «Зенитальная» является синонимом «азимутальной», проекция также известна как зенитная равновеликая проекция Ламберта . ^[2]

Азимутальная проекция Ламберта используется в проекции качестве картографической . Например, в Национальном атласе США используется азимутальная равновеликая проекция Ламберта для отображения информации в онлайн-приложении Map Maker. ^[3] а Европейское агентство по окружающей среде рекомендует использовать его для европейских картографий для статистического анализа и отображения. ^[4] Он также используется в научных дисциплинах, таких как геология, для построения ориентации линий в трехмерном пространстве. Для построения графика используется особый вид миллиметровой бумаги, называемый сетью Шмидта . ^[5]

Определение

Поперечное сечение сферы и касательной к ней плоскости в S. точке Каждая точка сферы (кроме антипода) проецируется на плоскость по дуге окружности с центром в точке касания сферы и плоскости.

Чтобы определить азимутальную проекцию Ламберта, представьте себе плоскость, касающуюся сферы в некоторой точке S на сфере. Пусть P — любая точка сферы, отличная антипода S от . Пусть d будет расстоянием между S и P в трехмерном пространстве ( а не расстоянием по поверхности сферы). Затем проекция отправляет P в точку P' на плоскости, которая находится на d от S. расстоянии

Чтобы сделать это более точным, существует единственная окружность с центром в S , проходящая через P и перпендикулярная плоскости. Он пересекает плоскость в двух точках; пусть P ′ будет тем, который ближе к P . Это прогнозируемая точка. См. рисунок. Антипод S исключен из проекции, поскольку искомая окружность не единственна. Случай S вырожден; S проецируется на себя по окружности радиуса 0. ^[6]

Для выполнения проектирования на компьютере необходимы явные формулы . Рассмотрим проекцию с центром S = (0, 0, −1) на единичную сферу , которая представляет собой набор точек ( x , y , z ) в трехмерном пространстве R. ³ такой, что х ² + и ² + я ² = 1 . В декартовых координатах ( x , y , z ) на сфере и ( X , Y ) на плоскости проекция и ее обратная сторона затем описываются формулой

{\begin{aligned}(X,Y)&=\left({\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,x,{\sqrt {\frac {2}{1-z}}}\,y\right),\\(x,y,z)&=\left({\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,X,{\sqrt {1-{\frac {X^{2}+Y^{2}}{4}}}}\,Y,-1+{\frac {X^{2}+Y^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

В сферических координатах ( ψ , θ ) на сфере (где ψ — и широта θ — долгота) и полярных координатах ( R , Θ ) на диске карта и ее обратная сторона задаются выражением ^[6]

{\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left(2\cos {\tfrac {1}{2}}\psi ,-\theta \right),\\(\psi ,\theta )&=\left(2\arccos {\tfrac {R}{2}},-\Theta \right).\end{aligned}}

В цилиндрических координатах ( r , θ , z ) на сфере и полярных координатах ( R , Θ ) на плоскости карта и ее обратная форма задаются формулой

{\begin{aligned}(R,\Theta )&=\left({\sqrt {2(1+z)}},\theta \right),\\(r,\theta ,z)&=\left(R{\sqrt {1-{\frac {R^{2}}{4}}}},\Theta ,-1+{\frac {R^{2}}{2}}\right).\end{aligned}}

Проекцию можно центрировать в других точках и определить на сферах с радиусом, отличным от 1, используя аналогичные формулы. ^[7]

Характеристики

Как определено в предыдущем разделе, азимутальная проекция Ламберта единичной сферы не определена в точке (0, 0, 1). Он отправляет остальную часть сферы в открытый диск радиуса 2 с центром в начале координат (0, 0) на плоскости. Он отправляет точку (0, 0, −1) в (0, 0), экватор z = 0 в круг радиуса √ 2 с центром в (0, 0), а нижнюю полусферу z < 0 в открытый диск. содержится в этом круге.

Проекция представляет собой диффеоморфизм ( биекцию в , бесконечно дифференцируемую обоих направлениях) между сферой (минус (0, 0, 1)) и открытым диском радиуса 2. Это сохраняющее площадь (равноплощадное) отображение, что можно увидеть, вычислив элемент площади сферы, параметризованный обратной проекцией. В декартовых координатах это

dA=dX\;dY.

Это означает, что измерение площади области на сфере равносильно измерению площади соответствующей области на диске.

С другой стороны, проекция не сохраняет угловые соотношения между кривыми на сфере. Никакое сопоставление части сферы и плоскости не может сохранить как углы, так и площади. (Если бы это было так, то это была бы локальная изометрия и сохраняла бы гауссову кривизну ; но сфера и диск имеют разную кривизну, поэтому это невозможно.) Тот факт, что плоские изображения не могут идеально отображать области сфер, является фундаментальной проблемой. картографии.

Как следствие, области сферы могут проецироваться на плоскость с сильно искаженными формами. Это искажение особенно заметно вдали от центра проекции (0, 0, −1). На практике проекция часто ограничивается полушарием с центром в этой точке; другое полушарие можно нанести на карту отдельно, используя вторую проекцию с центром в антиподе.

Приложения

Азимутальная проекция Ламберта изначально задумывалась как картографическая проекция равной площади. Теперь он также используется в таких дисциплинах, как геология , для построения данных о направлении следующим образом.

Направление в трехмерном пространстве соответствует линии, проходящей через начало координат. Набор всех таких линий сам по себе является пространством, называемым реальной проективной плоскостью в математике . Каждая линия, проходящая через начало координат, пересекает единичную сферу ровно в двух точках, одна из которых находится в нижней полусфере z ≤ 0. (Горизонтальные линии пересекают экватор z = 0 в двух противоположных точках. Понятно, что противоположные точки на экваторе представляют собой одна линия. См. фактор-топологию .) Следовательно, направления в трехмерном пространстве соответствуют (почти идеально) точкам нижней полусферы. Затем полушарие можно изобразить в виде диска радиуса √ 2, используя азимутальную проекцию Ламберта.

Таким образом, азимутальная проекция Ламберта позволяет отображать направления в виде точек на диске. Благодаря свойству равновеликости проекции можно интегрировать по областям реальной проективной плоскости (пространству направлений), интегрируя по соответствующим областям на диске. Это полезно для статистического анализа данных о направлении, ^[6] включая случайное жесткое вращение . ^[8]

С помощью азимутальной проекции Ламберта можно построить не только линии, но и плоскости, проходящие через начало координат. Плоскость пересекает полусферу по дуге окружности, называемой следом плоскости, которая проецируется вниз до кривой (обычно некруглой) на диске. Можно построить эту кривую или заменить плоскость линией, перпендикулярной ей, называемой полюсом , и вместо этого построить эту линию. Когда наносится много плоскостей вместе, отображение полюсов вместо трасс делает график менее загроможденным.

Исследователи структурной геологии используют азимутальную проекцию Ламберта для построения кристаллографических осей и граней, линейности и слоения в горных породах, сторон скольжения в разломах и других линейных и плоских особенностей. В этом контексте проекцию называют равновеликой полусферической проекцией . Существует также равноугольная полусферическая проекция, определяемая стереографической проекцией . ^[6]

В обсуждении здесь особое внимание уделяется взгляду на нижнее полушарие изнутри наружу z ≤ 0 (как можно увидеть на звездной карте), но некоторые дисциплины (например, картография) предпочитают взгляд снаружи на верхнее полушарие z ≥ 0. ^[6] Действительно, любое полушарие можно использовать для записи линий, проходящих через начало координат в трехмерном пространстве.

Сравнение азимутальной равновеликой проекции Ламберта и некоторых азимутальных проекций с центром на 90 ° с.ш. в том же масштабе, упорядоченных по высоте проекции в радиусах Земли. (нажмите для подробностей)

Анимированная проекция Ламберта

^{[ нужна ссылка ]}

В этой анимированной проекции Ламберта южный полюс зафиксирован.

Позволять $(u,\phi )$ быть двумя параметрами, для которых $-1<u\leq 1$ и $0\leq \phi <2\pi$ . Позволять $H$ быть параметром «времени» (равным высоте или вертикальной толщине оболочки в анимации). Если нарисовать равномерную прямолинейную сетку $(u,\phi )$ пространстве, то любая точка этой сетки преобразуется в точку $(x,y,z)$ на сферической оболочке высотой $H$ судя по картографии

$x=\lambda (u,H)\cos(\phi )$

$y=\lambda (u,H)\sin(\phi )$

$z={\frac {Hu}{2}}$

где $\lambda (u,H)={\frac {1}{2}}{\sqrt {(1-u)\left[8-H^{2}(1-u)\right]}}$ . Каждый кадр анимации соответствует параметрическому участку деформированной сетки при фиксированном значении высоты оболочки. $H$ (в диапазоне от 0 до 2). Физически, $\lambda$ - это растяжение (деформированная длина, деленная на первоначальную длину) бесконечно малой линии. $d\phi$ отрезки линии. Это отображение можно преобразовать в такое, которое сохраняет южный полюс фиксированным, используя вместо этого использование $z={\frac {H(1-u)}{2}}.$

Независимо от ценностей $(u,\phi ,H)$ , якобиан этого отображения везде равен 1, показывая, что это действительно отображение равной площади на протяжении всей анимации. Это обобщенное отображение включает проекцию Ламберта как частный случай, когда $H=0$ .

Применение: это отображение может помочь объяснить значение проекции Ламберта, показывая, что она «отслаивает» сферу от полюса, превращая ее в диск без изменения площади, заключенной в ячейках сетки.

См. также

Ссылки

^ Малкахи, Карен. «Азимутально-равновеликая Ламберта» . Городской университет Нью-Йорка . Проверено 30 марта 2007 г.
^ Атлас мира Times (1967), Бостон: Houghton Mifflin, Табличка 3 и др.
^ «Картографические проекции: от сферической Земли к плоской карте» . Министерство внутренних дел США . 29 апреля 2008 г. Архивировано из оригинала 7 мая 2009 г. Проверено 8 апреля 2009 г.
^ «Краткие материалы 1-го Европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27-29 октября 2003 г.» (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 14 июня 2004 г. п. 6 . Проверено 27 августа 2009 г.
^ Рамзи (1967)
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Боррадейл (2003).
^ «Руководство по геоматике 7, часть 2: Преобразования и преобразования координат, включая формулы» (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа . Сентябрь 2016 года . Проверено 17 декабря 2017 г.
^ Брэннон, РМ, «Вращение, отражение и изменение кадра» , 2018 г.

Источники

Боррадейл, Грэм Дж. (2003). Статистика данных науки о Земле . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 3-540-43603-0 .
Ду Карму ; Манфредо П. (1976). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей . Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл. ISBN 0-13-212589-7 .
Хоббс, Брюс Э., Минс, Уинтроп Д. и Уильямс, Пол Ф. (1976). Очерк структурной геологии . John Wiley & Sons, Inc. Нью-Йорк: ISBN 0-471-40156-0 . {{cite book}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
Рамзи, Джон Г. (1967). Складчатость и трещиноватость горных пород . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл.
Спивак, Михаил (1999). Комплексное введение в дифференциальную геометрию . Хьюстон, Техас: Опубликуй или погибни. ISBN 0-914098-70-5 .

Внешние ссылки

Объяснение преобразований координат с помощью диаграмм
СМИ, связанные с азимутальной равновеликой проекцией Ламберта , на Викискладе?

[mulcahy_lambert-1] Малкахи, Карен. «Азимутально-равновеликая Ламберта» . Городской университет Нью-Йорка . Проверено 30 марта 2007 г.

[2] Атлас мира Times (1967), Бостон: Houghton Mifflin, Табличка 3 и др.

[3] «Картографические проекции: от сферической Земли к плоской карте» . Министерство внутренних дел США . 29 апреля 2008 г. Архивировано из оригинала 7 мая 2009 г. Проверено 8 апреля 2009 г.

[4] «Краткие материалы 1-го Европейского семинара по опорным сеткам, Испра, 27-29 октября 2003 г.» (PDF) . Европейское агентство по окружающей среде . 14 июня 2004 г. п. 6 . Проверено 27 августа 2009 г.

[Ramsay1967-5] Рамзи (1967)

[borradaile2003-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Боррадейл (2003).

[7] «Руководство по геоматике 7, часть 2: Преобразования и преобразования координат, включая формулы» (PDF) . Международная ассоциация производителей нефти и газа . Сентябрь 2016 года . Проверено 17 декабря 2017 г.

[8] Брэннон, РМ, «Вращение, отражение и изменение кадра» , 2018 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]