H 4 Многогранник

120-ячеечный

600-ячеечный

В 4-мерной геометрии существует 15 однородных многогранников с _H4 симметрией . Два из них, на 120 ячеек и на 600 ячеек , являются обычными .

Визуализации

Каждую из них можно представить как симметричные ортогональные проекции в плоскостях Кокстера группы H ₄ Кокстера и других подгрупп.

Трехмерное изображение рисуется в виде проекций диаграммы Шлегеля с центром в ячейке поз. 3, с постоянной ориентацией, а 5 ячеек в положении 0 показаны сплошными.

#	Имя	плоскости Кокстера Проекции						Диаграммы Шлегеля		Сеть
		F4 [12]	[20]	Н4 [30]	Н3 [10]	А3 [4]	А2 [3]	Додекаэдр центрированный	Тетраэдр центрированный
1	120-ячеечный {5,3,3}
2	выпрямленный 120-ячеечный г {5,3,3}
3	выпрямленный 600-ячеечный г {3,3,5}
4	600-ячеечный {3,3,5}
5	усеченный 120-ячеечный т{5,3,3}
6	кантеллированный, 120 ячеек рр{5,3,3}
7	сморщенный 120-клеточный (также запущенный 600-ячеечный ) т 0,3 {5,3,3}
8	усеченный 120 ячеек (также усеченный до 600 ячеек ) т 1,2 {5,3,3}
9	сочлененный из 600 ячеек т 0,2 {3.3.5}
10	усеченный 600-ячеечный т{3,3,5}
11	усеченный, 120 ячеек тр{5,3,3}
12	укороченный, 120 ячеек т 0,1,3 {5,3,3}
13	укороченный, 600 ячеек т 0,1,3 {3,3,5}
14	усеченный, 600 ячеек тр{3,3,5}
15	всеусеченный, 120-ячеечный (также усеченный, 600 ячеек) т 0,1,2,3 {5,3,3}

Уменьшенные формы

#	Имя	плоскости Кокстера Проекции						Диаграммы Шлегеля		Сеть
		F4 [12]	[20]	Н4 [30]	Н3 [10]	А3 [4]	А2 [3]	Додекаэдр центрированный	Тетраэдр центрированный
16	20-уменьшенный, 600-ячеечный ( большая антипризма )
17	24 уменьшенных 600 ячеек ( курносый 24-клеточный )
18 Неоднородный	Би-24-уменьшенный, 600 ячеек
19 Неоднородный	120-уменьшенный выпрямленный 600-ячеечный

Координаты однородных многогранников семейства H ₄ сложные. Обычные можно выразить через золотое сечение φ = (1 + √ 5 )/2 и σ = (3 √ 5 + 1)/2 . Коксетер выразил их в виде пятимерных координат.

н	120-ячеечный	600-ячеечный
4D	600 вершин 120-ячейки включают в себя перестановки все (0, 0, ±2, ±2) (±1, ±1, ±1, ± √ 5 ) (± φ −2 , ± φ , ± φ , ± φ ) (± φ −1 , ± φ −1 , ± φ −1 , ± φ 2 ) и все четные перестановки (0, ± φ −2 , ±1, ± φ 2 ) (0, ± φ −1 , ± φ , ± √ 5 ) (± φ −1 , ±1, ± φ , ±2)	Вершины 600-ячеистого пространства с центром в начале 4-пространства и ребрами длиной 1/ φ (где φ = (1+ √ 5 )/2 — золотое сечение ) могут быть заданы следующим образом: 16 вершин форма 1 / 2 (±1, ±1, ±1, ±1), и 8 вершин, полученных из (0, 0, 0, ±1) путем перестановки координат. Остальные 96 вершин получаются четными перестановками 1/2 φ , ± φ , ±1, ±1/ ( 0).
5Д	Перестановка с нулевой суммой: (30): √ 5 (1, 1, 0, −1, −1) (10): ±(4, −1, −1, −1, −1) (40): ±( f −1 , ж −1 , ж −1 , 2, − σ ) (40): ±( φ , φ , φ , −2, −( σ −1)) (120): ± √ 5 ( φ , 0, 0, φ −1 , −1) (120): ±(2, 2, f −1 √ 5 , - φ , -3) (240): ±( f 2 , 2 ж −1 , ж −2 , −1, −2 е )	Перестановка с нулевой суммой: (20): √ 5 (1, 0, 0, 0, −1) (40): ±( f 2 , ж −2 , −1, −1, −1) (60): ±(2, f −1 , ж −1 , - φ , - φ )

Ссылки

• Дж. Х. Конвей и М. Дж. Т. Гай : Четырехмерные архимедовы многогранники , материалы коллоквиума по выпуклости в Копенгагене, стр. 38 и 39, 1965 г.
• Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус , Симметрии вещей 2008, ISBN   978-1-56881-220-5 (глава 26)
• ХСМ Коксетер :
  • HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN   978-0-471-01003-6 Wiley:: Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера
  • (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  • (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  • (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
• Н. В. Джонсон : Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. Диссертация, Университет Торонто, 1966 г.
• Денни, Томм; Хукер, Да'Шей; Джонсон, Де'Джанеке; Робинсон, Тианна; Батлер, Маджид; Клэйборн, Сандерниш (2020). «Геометрия многогранников H4». Достижения в геометрии . 20 (3): 433–444. arXiv : 1912.06156 . дои : 10.1515/advgeom-2020-0005 . S2CID   220367622 .
• Дешант, Пьер-Филипп (2021). «Спиноры Клиффорда и индукция корневой системы: H4 и большая антипризма» . Достижения в области прикладной алгебры Клиффорда . 31 (3). Springer Science and Business Media. arXiv : 2103.07817 . дои : 10.1007/s00006-021-01139-2 .

Внешние ссылки

• Клитцинг, Ричард. «4D однородные 4-многогранники» .
• Однородные выпуклые многогранники в четырех измерениях: Марко Мёллер (на немецком языке)
  • Мёллер, Марко (2004). Viersizede Archimedische Polytope (PDF) (Докторская диссертация) (на немецком языке). Университет Гамбурга.
• Однородные многогранники в четырех измерениях , Георгий Ольшевский.
  • Выпуклая равномерная полихора на основе 120-клеточного/600-клеточного Георгия Ольшевского.
• Однородные многогранники H4 с координатами: {5,3,3} , {3,3,5} , r{5,3,3} , r{3,3,5} , t{3,3,5} , t {5,3,3} , rr{3,3,5} , rr{5,3,3} , tr{3,3,5} , tr{5,3,3} , 2t{5,3, 3} , t03{5,3,3} , t013{3,3,5} , t013{5,3,3} , t0123{5,3,3} , большая антипризма