Равномерный 9-многогранник
В девятимерной геометрии или девятимерный многогранник 9 -мерный многогранник — это многогранник , содержащий 8-мерные грани. Каждый 7-многогранника гребень разделяется ровно двумя 8-многогранника гранями .
Однородный 9-многогранник — это вершинно-транзитивный многогранник , построенный из однородных 8- многогранников .
Правильные 9-многогранники [ править ]
Правильные 9-многогранники могут быть представлены символом Шлефли {p,q,r,s,t,u,v,w} с w {p,q,r,s,t,u,v}. 8-гранными гранями вокруг каждой вершины .
Таких выпуклых правильных 9-многогранников ровно три :
- {3,3,3,3,3,3,3,3} - 9-симплекс
- {4,3,3,3,3,3,3,3} - 9-куб
- {3,3,3,3,3,3,3,4} - 9-ортоплекс
Невыпуклых правильных 9-многогранников не существует.
Эйлерова характеристика [ править ]
Топология любого данного 9-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения . [1]
Значение характеристики Эйлера, используемой для характеристики многогранников, не распространяется на более высокие измерения, независимо от их базовой топологии. Эта неадекватность характеристики Эйлера для надежного различения различных топологий в более высоких измерениях привела к открытию более сложных чисел Бетти. [1]
Аналогичным образом, понятия ориентируемости многогранника недостаточно для характеристики скручивания поверхности тороидальных многогранников, и это привело к использованию коэффициентов кручения. [1]
Равномерные 9-многогранники по фундаментальным группам Кокстера
Однородные 9-многогранники с отражательной симметрией могут быть порождены этими тремя группами Кокстера, представленными перестановками колец диаграмм Кокстера-Дынкина :
Группа Коксетера | Диаграмма Кокстера-Динкина | |
---|---|---|
AА9 | [3 8 ] | |
BБ9 | [4,3 7 ] | |
DД9 | [3 6,1,1 ] |
Избранные правильные и однородные 9-многогранники из каждого семейства включают:
- Семейство симплекс : А 9 [3 8 ] -
- 271 однородный 9-многогранник как перестановка колец групповой диаграммы, включая один регулярный:
- {3 8 } - 9-симплекс или дека-9-топ или распадоттон -
- 271 однородный 9-многогранник как перестановка колец групповой диаграммы, включая один регулярный:
- Семейство гиперкуба / ортоплекса : B 9 [4,3 8 ] -
- 511 однородных 9-многогранников как перестановок колец групповой диаграммы, включая два правильных:
- {4,3 7 } - 9-куб или эннеракт -
- {3 7 ,4} - 9-ортоплекс или эннеакросс -
- 511 однородных 9-многогранников как перестановок колец групповой диаграммы, включая два правильных:
- Семейство Демигиперкуб Д 9 : [3 6,1,1 ] -
- 383 однородных 9-многогранника как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
- {3 1,6,1 } - 9-демикуб или демиеннеракт , 1 61 - ; также как h{4,3 8 } .
- {3 6,1,1 } - 9-ортоплекс , 6 11 -
- 383 однородных 9-многогранника как перестановки колец в групповой диаграмме, в том числе:
А 9 Семья [ править ]
Семейство A 9 имеет симметрию порядка 3628800 (10-факториал).
Существует 256+16-1=271 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами. Все они перечислены ниже. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.
# | График | Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя |
Количество элементов | ||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8-гранный | 7-гранный | 6-гранный | 5-гранный | 4-ликий | Клетки | Лица | Края | Вершины | |||
1 |
|
10 | 45 | 120 | 210 | 252 | 210 | 120 | 45 | 10 | |
2 |
|
360 | 45 | ||||||||
3 |
|
1260 | 120 | ||||||||
4 |
|
2520 | 210 | ||||||||
5 |
|
3150 | 252 | ||||||||
6 |
|
405 | 90 | ||||||||
7 |
|
2880 | 360 | ||||||||
8 |
|
1620 | 360 | ||||||||
9 |
|
8820 | 840 | ||||||||
10 |
|
10080 | 1260 | ||||||||
11 |
|
3780 | 840 | ||||||||
12 |
|
15120 | 1260 | ||||||||
13 |
|
26460 | 2520 | ||||||||
14 |
|
20160 | 2520 | ||||||||
15 |
|
5670 | 1260 | ||||||||
16 |
|
15750 | 1260 | ||||||||
17 |
|
37800 | 3150 | ||||||||
18 |
|
44100 | 4200 | ||||||||
19 |
|
25200 | 3150 | ||||||||
20 |
|
10080 | 840 | ||||||||
21 |
|
31500 | 2520 | ||||||||
22 |
|
50400 | 4200 | ||||||||
23 |
|
3780 | 360 | ||||||||
24 |
|
15120 | 1260 | ||||||||
25 |
|
720 | 90 | ||||||||
26 |
|
3240 | 720 | ||||||||
27 |
|
18900 | 2520 | ||||||||
28 |
|
12600 | 2520 | ||||||||
29 |
|
11340 | 2520 | ||||||||
30 |
|
47880 | 5040 | ||||||||
31 |
|
60480 | 7560 | ||||||||
32 |
|
52920 | 7560 | ||||||||
33 |
|
27720 | 5040 | ||||||||
34 |
|
41580 | 7560 | ||||||||
35 |
|
22680 | 5040 | ||||||||
36 |
|
66150 | 6300 | ||||||||
37 |
|
126000 | 12600 | ||||||||
38 |
|
107100 | 12600 | ||||||||
39 |
|
107100 | 12600 | ||||||||
40 |
|
151200 | 18900 | ||||||||
41 |
|
81900 | 12600 | ||||||||
42 |
|
37800 | 6300 | ||||||||
43 |
|
81900 | 12600 | ||||||||
44 |
|
75600 | 12600 | ||||||||
45 |
|
28350 | 6300 | ||||||||
46 |
|
52920 | 5040 | ||||||||
47 |
|
138600 | 12600 | ||||||||
48 |
|
113400 | 12600 | ||||||||
49 |
|
176400 | 16800 | ||||||||
50 |
|
239400 | 25200 | ||||||||
51 |
|
126000 | 16800 | ||||||||
52 |
|
113400 | 12600 | ||||||||
53 |
|
226800 | 25200 | ||||||||
54 |
|
201600 | 25200 | ||||||||
55 |
|
32760 | 5040 | ||||||||
56 |
|
94500 | 12600 | ||||||||
57 |
|
23940 | 2520 | ||||||||
58 |
|
83160 | 7560 | ||||||||
59 |
|
64260 | 7560 | ||||||||
60 |
|
144900 | 12600 | ||||||||
61 |
|
189000 | 18900 | ||||||||
62 |
|
138600 | 12600 | ||||||||
63 |
|
264600 | 25200 | ||||||||
64 |
|
71820 | 7560 | ||||||||
65 |
|
17640 | 2520 | ||||||||
66 |
|
5400 | 720 | ||||||||
67 |
|
25200 | 2520 | ||||||||
68 |
|
57960 | 5040 | ||||||||
69 |
|
75600 | 6300 | ||||||||
70 |
|
22680 | 5040 | ||||||||
71 |
|
105840 | 15120 | ||||||||
72 |
|
75600 | 15120 | ||||||||
73 |
|
75600 | 15120 | ||||||||
74 |
|
68040 | 15120 | ||||||||
75 |
|
214200 | 25200 | ||||||||
76 |
|
283500 | 37800 | ||||||||
77 |
|
264600 | 37800 | ||||||||
78 |
|
245700 | 37800 | ||||||||
79 |
|
138600 | 25200 | ||||||||
80 |
|
226800 | 37800 | ||||||||
81 |
|
189000 | 37800 | ||||||||
82 |
|
138600 | 25200 | ||||||||
83 |
|
207900 | 37800 | ||||||||
84 |
|
113400 | 25200 | ||||||||
85 |
|
226800 | 25200 | ||||||||
86 |
|
453600 | 50400 | ||||||||
87 |
|
403200 | 50400 | ||||||||
88 |
|
378000 | 50400 | ||||||||
89 |
|
403200 | 50400 | ||||||||
90 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
91 |
|
529200 | 75600 | ||||||||
92 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
93 |
|
529200 | 75600 | ||||||||
94 |
|
302400 | 50400 | ||||||||
95 |
|
151200 | 25200 | ||||||||
96 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
97 |
|
277200 | 50400 | ||||||||
98 |
|
352800 | 50400 | ||||||||
99 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
100 |
|
252000 | 50400 | ||||||||
101 |
|
151200 | 25200 | ||||||||
102 |
|
327600 | 50400 | ||||||||
103 |
|
128520 | 15120 | ||||||||
104 |
|
359100 | 37800 | ||||||||
105 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
106 |
|
283500 | 37800 | ||||||||
107 |
|
478800 | 50400 | ||||||||
108 |
|
680400 | 75600 | ||||||||
109 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
110 |
|
378000 | 50400 | ||||||||
111 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
112 |
|
321300 | 37800 | ||||||||
113 |
|
680400 | 75600 | ||||||||
114 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
115 |
|
642600 | 75600 | ||||||||
116 |
|
907200 | 113400 | ||||||||
117 |
|
264600 | 37800 | ||||||||
118 |
|
98280 | 15120 | ||||||||
119 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
120 |
|
226800 | 37800 | ||||||||
121 |
|
428400 | 50400 | ||||||||
122 |
|
302400 | 37800 | ||||||||
123 |
|
98280 | 15120 | ||||||||
124 |
|
35280 | 5040 | ||||||||
125 |
|
136080 | 15120 | ||||||||
126 |
|
105840 | 15120 | ||||||||
127 |
|
252000 | 25200 | ||||||||
128 |
|
340200 | 37800 | ||||||||
129 |
|
176400 | 25200 | ||||||||
130 |
|
252000 | 25200 | ||||||||
131 |
|
504000 | 50400 | ||||||||
132 |
|
453600 | 50400 | ||||||||
133 |
|
136080 | 15120 | ||||||||
134 |
|
378000 | 37800 | ||||||||
135 |
|
35280 | 5040 | ||||||||
136 |
|
136080 | 30240 | ||||||||
137 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
138 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
139 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
140 |
|
378000 | 75600 | ||||||||
141 |
|
340200 | 75600 | ||||||||
142 |
|
756000 | 100800 | ||||||||
143 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
144 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
145 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
146 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
147 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
148 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
149 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
150 |
|
756000 | 151200 | ||||||||
151 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
152 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
153 |
|
756000 | 151200 | ||||||||
154 |
|
554400 | 100800 | ||||||||
155 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
156 |
|
453600 | 100800 | ||||||||
157 |
|
567000 | 75600 | ||||||||
158 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
159 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
160 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
161 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
162 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
163 |
|
1701000 | 226800 | ||||||||
164 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
165 |
|
1474200 | 226800 | ||||||||
166 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
167 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
168 |
|
1360800 | 226800 | ||||||||
169 |
|
982800 | 151200 | ||||||||
170 |
|
1474200 | 226800 | ||||||||
171 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
172 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
173 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
174 |
|
831600 | 151200 | ||||||||
175 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
176 |
|
1587600 | 226800 | ||||||||
177 |
|
1360800 | 226800 | ||||||||
178 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
179 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
180 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
181 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
182 |
|
453600 | 75600 | ||||||||
183 |
|
196560 | 30240 | ||||||||
184 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
185 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
186 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
187 |
|
856800 | 100800 | ||||||||
188 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
189 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
190 |
|
655200 | 100800 | ||||||||
191 |
|
1058400 | 151200 | ||||||||
192 |
|
655200 | 100800 | ||||||||
193 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
194 |
|
1285200 | 151200 | ||||||||
195 |
|
1134000 | 151200 | ||||||||
196 |
|
1209600 | 151200 | ||||||||
197 |
|
1814400 | 226800 | ||||||||
198 |
|
491400 | 75600 | ||||||||
199 |
|
196560 | 30240 | ||||||||
200 |
|
604800 | 75600 | ||||||||
201 |
|
856800 | 100800 | ||||||||
202 |
|
680400 | 151200 | ||||||||
203 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
204 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
205 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
206 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
207 |
|
1512000 | 302400 | ||||||||
208 |
|
1360800 | 302400 | ||||||||
209 |
|
1965600 | 302400 | ||||||||
210 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
211 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
212 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
213 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
214 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
215 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
216 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
217 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
218 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
219 |
|
2268000 | 453600 | ||||||||
220 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
221 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
222 |
|
2494800 | 453600 | ||||||||
223 |
|
2268000 | 453600 | ||||||||
224 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
225 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
226 |
|
1663200 | 302400 | ||||||||
227 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
228 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
229 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
230 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
231 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
232 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
233 |
|
3175200 | 453600 | ||||||||
234 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
235 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
236 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
237 |
|
2948400 | 453600 | ||||||||
238 |
|
2721600 | 453600 | ||||||||
239 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
240 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
241 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
242 |
|
1814400 | 302400 | ||||||||
243 |
|
2116800 | 302400 | ||||||||
244 |
|
3175200 | 453600 | ||||||||
245 |
|
907200 | 151200 | ||||||||
246 |
|
2721600 | 604800 | ||||||||
247 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
248 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
249 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
250 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
251 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
252 |
|
4536000 | 907200 | ||||||||
253 |
|
4082400 | 907200 | ||||||||
254 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
255 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
256 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
257 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
258 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
259 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
260 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
261 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
262 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
263 |
|
4989600 | 907200 | ||||||||
264 |
|
3326400 | 604800 | ||||||||
265 |
|
5443200 | 907200 | ||||||||
266 |
|
8164800 | 1814400 | ||||||||
267 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
268 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
269 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
270 |
|
9072000 | 1814400 | ||||||||
271 |
|
16329600 | 3628800 |
Б 9 Семья [ править ]
Существует 511 форм, основанных на всех перестановках диаграмм Кокстера-Динкина с одним или несколькими кольцами.
Ниже показаны одиннадцать случаев: девять исправленных форм и 2 усечения. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.
# | График | Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли Имя |
Количество элементов | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
8-гранный | 7-гранный | 6-гранный | 5-гранный | 4-ликий | Клетки | Лица | Края | Вершины | ||||
1 | т 0 {4,3,3,3,3,3,3,3} 9-куб (энне) |
18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 | ||
2 | т 0,1 {4,3,3,3,3,3,3,3} Усеченный 9-куб (десять) |
2304 | 4608 | |||||||||
3 | т 1 {4,3,3,3,3,3,3,3} Ректифицированный 9-куб (рен) |
18432 | 2304 | |||||||||
4 | т 2 {4,3,3,3,3,3,3,3} Биректифицированный 9-куб (сарай) |
64512 | 4608 | |||||||||
5 | т 3 {4,3,3,3,3,3,3,3} Триректифицированный 9-куб (тарн) |
96768 | 5376 | |||||||||
6 | т 4 {4,3,3,3,3,3,3,3} Квадриректифицированный 9-куб (навигация) (квадриректифицированный 9-ортоплекс) |
80640 | 4032 | |||||||||
7 | т 3 {3,3,3,3,3,3,3,4} Триректифицированный 9-ортоплекс (тарв) |
40320 | 2016 | |||||||||
8 | т 2 {3,3,3,3,3,3,3,4} Биректифицированный 9-ортоплекс (брав) |
12096 | 672 | |||||||||
9 | т 1 {3,3,3,3,3,3,3,4} Выпрямленный 9-ортоплекс (riv) |
2016 | 144 | |||||||||
10 | т 0,1 {3,3,3,3,3,3,3,4} Усеченный 9-ортоплекс (tiv) |
2160 | 288 | |||||||||
11 | т 0 {3,3,3,3,3,3,3,4} 9-ортоплекс (ви) |
512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Д- 9 Семейство [ править ]
D9 Семейство имеет симметрию порядка 92 897 280 (9 факториалов × 2 8 ).
Это семейство имеет 3×128−1=383 однородных многогранников Витоффа, сгенерированных путем разметки одного или нескольких узлов D 9 диаграммы Кокстера-Динкина . Из них 255 (2×128-1) повторяются из семейства B9 , а 128 уникальны для этого семейства, при этом восемь 1- или 2-кольцевых форм перечислены ниже. Названия аббревиатур в стиле Бауэрса приведены в скобках для перекрестных ссылок.
# | плоскости Кокстера Графики | Диаграмма Кокстера-Динкина Символ Шлефли |
Базовая точка (поочередно подписано) |
Количество элементов | Циркумрад | ||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
BБ9 | DД9 | Д 8 | D 7 | DД6 | Д 5 | Д 4 | Д 3 | A 7 | AА5 | AА3 | 8 | 7 | 6 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | 0 | ||||
1 | 9-демикуб (она) |
(1,1,1,1,1,1,1,1,1) | 274 | 2448 | 9888 | 23520 | 36288 | 37632 | 21404 | 4608 | 256 | 1.0606601 | |||||||||||
2 | Усеченный 9-ми куб (тогда) |
(1,1,3,3,3,3,3,3,3) | 69120 | 9216 | 2.8504384 | ||||||||||||||||||
3 | Кантеллированный 9-демикуб |
(1,1,1,3,3,3,3,3,3) | 225792 | 21504 | 2.6692696 | ||||||||||||||||||
4 | Ранцинированный 9-кубовый |
(1,1,1,1,3,3,3,3,3) | 419328 | 32256 | 2.4748735 | ||||||||||||||||||
5 | Стерилизованный 9-демикуб |
(1,1,1,1,1,3,3,3,3) | 483840 | 32256 | 2.2638462 | ||||||||||||||||||
6 | Пятиугольный 9-демикуб |
(1,1,1,1,1,1,3,3,3) | 354816 | 21504 | 2.0310094 | ||||||||||||||||||
7 | Шестигранный 9-кубический куб |
(1,1,1,1,1,1,1,3,3) | 161280 | 9216 | 1.7677668 | ||||||||||||||||||
8 | Гептеллированный 9-демикуб |
(1,1,1,1,1,1,1,1,3) | 41472 | 2304 | 1.4577379 |
Правильные и однородные соты [ править ]
Существует пять фундаментальных аффинных групп Кокстера , которые генерируют регулярные и равномерные мозаики в 8-мерном пространстве:
# | Группа Коксетера | Диаграмма Кокстера | Формы | |
---|---|---|---|---|
1 | [3 [9] ] | 45 | ||
2 | [4,3 6 ,4] | 271 | ||
3 | ч[4,3 6 ,4] [4,3 5 ,3 1,1 ] |
383 (128 новых) | ||
4 | q[4,3 6 ,4] [3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ] |
155 (15 новых) | ||
5 | [3 5,2,1 ] | 511 |
Регулярные и однородные тесселяции включают в себя:
- 45 форм с уникальными кольцами
- 8-симплексные соты : {3 [9] }
- 271 форма с уникальным кольцом
- Обычные соты из 8 кубов : {4,3 6 ,4},
- : 383 формы с уникальными кольцами, 255 общие с , 128 новых
- 8-ми кубические соты : h{4,3 6 ,4} или {3 1,1 ,3 5 ,4}, или
- , [3 1,1 ,3 4 ,3 1,1 ]: 155 уникальных перестановок колец, из них 15 новых, первый, , Коксетер назвал четверть 8-кубовых сот , представляя как q{4,3 6 ,4} или qδ 9 .
- 511 форм
Правильные и однородные гиперболические соты [ править ]
Не существует компактных гиперболических групп Кокстера ранга 9, групп, которые могут порождать соты со всеми конечными гранями, и конечной вершинной фигуры . Однако существует 4 паракомпактные гиперболические группы Кокстера ранга 9, каждая из которых порождает однородные соты в 8-мерном пространстве как перестановки колец диаграмм Кокстера.
= [3,3 [8] ]: |
= [3 1,1 ,3 3 ,3 2,1 ]: |
= [4,3 4 ,3 2,1 ]: |
= [3 4,3,1 ]: |
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б с Ричесон, Д.; Жемчужина Эйлера: формула многогранника и рождение топоплогии , Принстон, 2008.
- T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
- A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
- H.S.M. Coxeter:
- H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
- H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
- Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
- Klitzing, Richard. "9D uniform polytopes (polyyotta)".
External links[edit]
- Polytope names
- Polytopes of Various Dimensions, Jonathan Bowers
- Multi-dimensional Glossary
- Glossary for hyperspace, George Olshevsky.
Space | Family | / / | ||||
---|---|---|---|---|---|---|
E2 | Uniform tiling | {3[3]} | δ3 | hδ3 | qδ3 | Hexagonal |
E3 | Uniform convex honeycomb | {3[4]} | δ4 | hδ4 | qδ4 | |
E4 | Uniform 4-honeycomb | {3[5]} | δ5 | hδ5 | qδ5 | 24-cell honeycomb |
E5 | Uniform 5-honeycomb | {3[6]} | δ6 | hδ6 | qδ6 | |
E6 | Uniform 6-honeycomb | {3[7]} | δ7 | hδ7 | qδ7 | 222 |
E7 | Uniform 7-honeycomb | {3[8]} | δ8 | hδ8 | qδ8 | 133 • 331 |
E8 | Uniform 8-honeycomb | {3[9]} | δ9 | hδ9 | qδ9 | 152 • 251 • 521 |
E9 | Uniform 9-honeycomb | {3[10]} | δ10 | hδ10 | qδ10 | |
E10 | Uniform 10-honeycomb | {3[11]} | δ11 | hδ11 | qδ11 | |
En-1 | Uniform (n-1)-honeycomb | {3[n]} | δn | hδn | qδn | 1k2 • 2k1 • k21 |