1 ₃₃ соты

1 ₃₃ соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Шлефли	{3,3 ^3,3}
Символ Коксетера	1 ₃₃
Диаграмма Кокстера-Динкина	или
7-гранный тип	1 ₃₂
6-гранные типы	1 ₂₂ 1 ₃₁
5-гранные типы	1 ₂₁ {3 ⁴}
4-гранный тип	1 ₁₁ {3 ³}
Тип ячейки	1 ₀₁
Тип лица	{3}
Фигура клетки	Квадрат
Фигура лица	Треугольная дуопризма
Краевая фигура	Тетраэдрическая дуопризма
Вершинная фигура	Триректифицированный 7-симплекс
Группа Коксетера	${\tilde {E}}_{7}$ , [[3,3 ^3,3]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

В 7-мерной 1 геометрии 33 _— это однородная сотовая структура, также определяемая символом Шлефли {3,3 ^3,3} и состоит из 1 ₃₂ граней .

Строительство

Он создан с помощью конструкции Витхоффа на основе набора из 8 гиперплоских зеркал в 7-мерном пространстве.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Динкина .

Удаление узла на конце одной из ветвей длиной 3 оставляет 1 ₃₂ , единственный грани тип .

Фигура вершины определяется путем удаления окольцованного узла и окольцовывания соседнего узла. Это делает триректифицированный 7-симплекс , 0 ₃₃ .

Реберная фигура определяется путем удаления окольцованных узлов вершинной фигуры и окольцовывания соседнего узла. Получается тетраэдрическая дуопризма {3,3}×{3,3}.

Поцелуйный номер

Каждая вершина этого многогранника соответствует центру 6-сферы в умеренно плотной упаковке сфер , в которой каждая сфера касается 70 других; самое известное семимерное число ( число поцелуев ) — 126.

Геометрическое складывание

The ${\tilde {E}}_{7}$ группа относится к ${\tilde {F}}_{4}$ путем геометрического складывания , поэтому эту соту можно спроецировать в 4-мерные демитессерактические соты .

${\tilde {E}}_{7}$	${\tilde {F}}_{4}$

{3,3 ^3,3}	{3,3,4,3}

E ₇^* решетка

${\tilde {E}}_{7}$ содержит ${\tilde {A}}_{7}$ как подгруппа индекса 144. ^[1] Оба ${\tilde {E}}_{7}$ и ${\tilde {A}}_{7}$ можно рассматривать как аффинное расширение от $A_{7}$ из разных узлов:

Е  ₇^* решетка (также называемая E ₇²) ^[2] имеет двойную симметрию, представленную [[3,3 ^3,3]]. Ячейка Вороного Е ₇^* решетка — это многогранник 1 ₃₂ , а мозаика Вороного соты 1 ₃₃ — . ^[3] Е  ₇^* Решетка состоит из двух копий вершин решетки E ₇ , по одной из каждой длинной ветви диаграммы Кокстера, и может быть построена как объединение четырех A ₇^* решетки, также называемые А ₇⁴:

∪

=

∪

= двойственное

.

Связанные многогранники и соты

Число 1 ₃₃ является четвертым в размерной серии однородных многогранников и сот, выраженной Коксетером 1 _3k как серия . Финал — некомпактная гиперболическая сотовая структура 1 ₃₄ .

1 _3k- мерные фигуры
Космос	Конечный				евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[3 ^1,3,1]	[3 ^2,3,1]	[[3 ^3,3,1]]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	23,040	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	1 _3,-1	1 ₃₀	1 ₃₁	1 ₃₂	1 ₃₃	1 ₃₄

1 ₃₃Ректифицированные соты

1 ₃₃Ректифицированные соты
(нет изображения)
Тип	Равномерная тесселяция
Символ Шлефли	{3 ^3,3,1}
Символ Коксетера	0 ₃₃₁
Диаграмма Кокстера-Динкина	или
7-гранный тип	Триректифицированный 7-симплекс Исправлено 1_32
6-гранные типы	Биректифицированный 6-симплекс Биректифицированный 6-куб Исправлено 1_22
5-гранные типы	Выпрямленный 5-симплекс Биректифицированный 5-симплекс Биректифицированный 5-ортоплекс
4-гранный тип	5-клеточный Ректифицированный 5-клеточный 24-ячеечный
Тип ячейки	{3,3} {3,4}
Тип лица	{3}
Вершинная фигура	{}×{3,3}×{3,3}
Группа Коксетера	${\tilde {E}}_{7}$ , [[3,3 ^3,3]]
Характеристики	вершинно-транзитивный , фасетно-транзитивный

Выпрямленная 1 ₃₃ или 0 ₃₃₁ диаграмма Кокстера. имеет грани и , и вершинная фигура .

См. также

Примечания

^ Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) 12.4: Евклидовы группы Кокстера, стр. 294
^ «Решетка Е7» .
^ Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

Ссылки

HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
Коксетер Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1 (Глава 3: Конструкция Витхоффа для однородных многогранников)
Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3–45]
Клитцинг, Ричард. «7D гептакомбы o3o3o3o3o3o3o *d3x - linoh» .
Клитцинг, Ричард. «7D гептакомбы o3o3o3x3o3o3o *d3o - rolinoh» .

v т и Основные выпуклые правильные и однородные соты размеров 2–9.
Космос	Семья	${\tilde {A}}_{n-1}$	${\tilde {C}}_{n-1}$	${\tilde {B}}_{n-1}$	${\tilde {D}}_{n-1}$	${\tilde {G}}_{2}$ / ${\tilde {F}}_{4}$ / ${\tilde {E}}_{n-1}$
И ²	Равномерная укладка плитки	{3 ^[3]}	д ₃	HD ₃	квартал ₃	Шестиугольный
И ³	Равномерные выпуклые соты	{3 ^[4]}	д ₄	HD ₄	4 _{квартала}
И ⁴	Униформа 4-сотовая	{3 ^[5]}	д ₅	hδ ₅	qδ ₅	24-ячеистые соты
И ⁵	Униформа 5-сотовая	{3 ^[6]}	д ₆	HD ₆	qδ ₆
И ⁶	Униформа 6-сотовая	{3 ^[7]}	д ₇	hδ ₇	qδ ₇	2 ₂₂
И ⁷	Униформа 7-сотовая	{3 ^[8]}	д ₈	hδ ₈	8 _{кварталов}	1 ₃₃ • 3 ₃₁
И ⁸	Униформа 8-сотовая	{3 ^[9]}	д ₉	HD ₉	qδ ₉	1 ₅₂ • 2 ₅₁ • 5 ₂₁
И ⁹	Униформа 9-сотовая	{3 ^[10]}	д ₁₀	HD ₁₀	10 _{кварталов}
И ¹⁰	Униформа 10-сотовая	{3 ^[11]}	д ₁₁	HD ₁₁	qδ ₁₁
И ^{п -1}	Равномерный ( n -1)- сотовый	{3 ^[н]}	δ _н	hδ _н	qδ _н	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁

[1] Н. В. Джонсон: Геометрии и преобразования , (2018) 12.4: Евклидовы группы Кокстера, стр. 294

[2] «Решетка Е7» .

[3] Ячейки Вороного решеток E6 * и E7 *. Архивировано 30 января 2016 г. в Wayback Machine , Эдвард Первин.

[1]

[2]

[3]