6-демикуб

Демигексеракт (6-демикуб)
многоугольника Петри Проекция
Тип	Равномерный 6-многогранник
Семья	полугиперкуб
Символ Шлефли	{3,3 ^3,1} = ч{4,3 ⁴} с{2 ^1,1,1,1,1}
Диаграммы Кокстера	= =
Символ Коксетера	1 ₃₁
5-гранный	44	12 {3 ^1,2,1} 32 {3 ⁴}
4-ликий	252	60 {3 ^1,1,1} 192 {3 ³}
Клетки	640	160 {3 ^1,0,1} 480 {3,3}
Лица	640	{3}
Края	240
Вершины	32
Вершинная фигура	Выпрямленный 5-симплекс
Группа симметрии	Д ₆ , [3 ^3,1,1] = [1 ⁺,4,3 ⁴] [2 ⁵] ⁺
Полигон Петри	десятиугольник
Характеристики	выпуклый

В геометрии или 6-демикуб демигексеракт — это однородный 6-многогранник , построенный из 6-куба ( гексеракта ) с удаленными чередующимися вершинами. Он является частью бесконечномерного семейства однородных многогранников, называемых полугиперкубами .

Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 году как полуправильный многогранник, назвав его HM ₆ для 6-мерного многогранника половинной меры .

Коксетер назвал этот многогранник как 1 ₃₁ из его диаграммы Кокстера с кольцом на одной из ветвей длины 1, . Его можно назвать аналогичным образом трехмерным экспоненциальным символом Шлефли. $\left\{3{\begin{array}{l}3,3,3\\3\end{array}}\right\}$ или {3,3 ^3,1}.

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин полугексеракта с центром в начале координат представляют собой чередующиеся половины гексеракта :

(±1,±1,±1,±1,±1,±1)

с нечетным количеством знаков плюс.

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 6-демикуб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам, 4-граням и 5-граням. Диагональные числа говорят, сколько каждого элемента встречается во всем 6-демикубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[1]^[2]

Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[3]

Д ₆	k-лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁	f_f2	f ₃		ж ₄		ж ₅		к -фигура	примечания
A ₄	( )	ж ₀	32	15	60	20	60	15	30	6	6	г {3,3,3,3}	Д ₆ /А ₄ = 32*6!/5! = 32
А ₃ А ₁ А ₁	{ }	ж ₁	2	240	8	4	12	6	8	4	2	{}x{3,3}	Д ₆ /А ₃ А ₁ А ₁ = 32*6!/4!/2/2 = 240
А ₃ А ₂	{3}	f_f2	3	3	640	1	3	3	3	3	1	{3}v( )	Д ₆ /А ₃ А ₂ = 32*6!/4!/3! = 640
А ₃ А ₁	ч{4,3}	f ₃	4	6	4	160	*	3	0	3	0	{3}	Д ₆ /А ₃ А ₁ = 32*6!/4!/2 = 160
А ₃ А ₂	{3,3}	f ₃	4	6	4	*	480	1	2	2	1	{}v( )	Д ₆ /А ₃ А ₂ = 32*6!/4!/3! = 480
Д ₄ А ₁	ч{4,3,3}	ж ₄	8	24	32	8	8	60	*	2	0	{ }	Д ₆ /Д ₄ А ₁ = 32*6!/8/4!/2 = 60
A ₄	{3,3,3}	ж ₄	5	10	10	0	5	*	192	1	1	{ }	Д ₆ /А ₄ = 32*6!/5! = 192
Д ₅	ч{4,3,3,3}	ж ₅	16	80	160	40	80	10	16	12	*	( )	Д ₆ /Д ₅ = 32*6!/16/5! = 12
A_А5	{3,3,3,3}	ж ₅	6	15	20	0	15	0	6	*	32	( )	Д ₆ /А ₅ = 32*6!/6! = 32

Изображения

орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₆
График
Двугранная симметрия	[12/2]
Самолет Коксетера	Д ₆	Д ₅
График
Двугранная симметрия	[10]	[8]
Самолет Коксетера	Д ₄	Д ₃
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]
Самолет Коксетера	A_А5	A_А3
График
Двугранная симметрия	[6]	[4]

Связанные многогранники

Существует 47 однородных многогранников с симметрией D6 _, 31 имеет симметрию B6 _и 16 уникальны:

Многогранники D6
h{4,3⁴}	h₂{4,3⁴}	h₃{4,3⁴}	h₄{4,3⁴}	h₅{4,3⁴}	h_2,3{4,3⁴}	h_2,4{4,3⁴}	h_2,5{4,3⁴}
h_3,4{4,3⁴}	h_3,5{4,3⁴}	h_4,5{4,3⁴}	h_2,3,4{4,3⁴}	h_2,3,5{4,3⁴}	h_2,4,5{4,3⁴}	h_3,4,5{4,3⁴}	h_2,3,4,5{4,3⁴}

6-демикуб, 1 _31, является третьим в размерной серии однородных многогранников, выраженной Коксетером k ₃₁ как серия . Пятая фигура — это евклидовы соты 3 ₃₁ , а последняя — некомпактные гиперболические соты 4 ₃₁ . Каждый прогрессивный однородный многогранник строится из предыдущего как его вершинная фигура .

k ₃₁ размерная фигура
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ = E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[3 ^1,3,1]	[3 ^2,3,1]	[3 ^3,3,1]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	23,040	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	−1 ₃₁	0 ₃₁	1 ₃₁	2 ₃₁	3 ₃₁	4 ₃₁

Это также второй размерный ряд однородных многогранников и сот, выраженный Коксетером как ряд 1 _. 3k Четвертая фигура — это евклидовы соты 1 ₃₃ , а последняя — некомпактные гиперболические соты 1 ₃₄ .

1 _3k- мерные фигуры
Космос	Конечный				евклидов	гиперболический
н	4	5	6	7	8	9
Коксетер группа	А ₃ А ₁	A_А5	Д ₆	E ₇	${\tilde {E}}_{7}$ =E ₇⁺	${\bar {T}}_{8}$ =E ₇⁺⁺
Коксетер диаграмма
Симметрия	[3 ^−1,3,1]	[3 ^0,3,1]	[3 ^1,3,1]	[3 ^2,3,1]	[[3 ^3,3,1]]	[3 ^4,3,1]
Заказ	48	720	23,040	2,903,040	∞
График					-	-
Имя	1 _3,-1	1 ₃₀	1 ₃₁	1 ₃₂	1 ₃₃	1 ₃₄

Косой икосаэдр

Коксетер идентифицировал подмножество из 12 вершин, которые образуют правильный косой икосаэдр {3, 5} с той же симметрией, что и сам икосаэдр, но под разными углами. Он назвал это правильным косым икосаэдром . ^[4]^[5]

Ссылки

^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117
^ Клитцинг, Ричард. "x3o3o *b3o3o3o - хакс" .
^ Коксетер, HSM Красота геометрии: двенадцать эссе (изд. Дувра). Дуврские публикации. стр. 450–451. ISBN 9780486409191 .
^ Деза, Майкл; Штогрин, Михаил (2000). «Вложение графов правильных мозаик и звездочек-сот в графы гиперкубов и кубических решеток» . Продвинутые исследования в области чистой математики : 77. doi : 10.2969/aspm/02710073 . Проверено 4 апреля 2020 г.

ХСМ Коксетер :
- Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973, стр. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5)
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Джон Х. Конвей , Хайди Бургель, Хаим Гудман-Штраус, Симметрии вещей 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Глава 26. стр. 409: Гемикубы: 1 _n1 )
Клитцинг, Ричард. «6D однородные многогранники (полипеты) x3o3o *b3o3o3o – hax» .

Внешние ссылки

Ольшевский, Георгий. «Демигексеракт» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Многомерный глоссарий

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.

[2] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[3] Клитцинг, Ричард. "x3o3o *b3o3o3o - хакс" .

[4] Коксетер, HSM Красота геометрии: двенадцать эссе (изд. Дувра). Дуврские публикации. стр. 450–451. ISBN 9780486409191 .

[5] Деза, Майкл; Штогрин, Михаил (2000). «Вложение графов правильных мозаик и звездочек-сот в графы гиперкубов и кубических решеток» . Продвинутые исследования в области чистой математики : 77. doi : 10.2969/aspm/02710073 . Проверено 4 апреля 2020 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]