Эмануэль Лодевейк Эльте

Эмануэль Лодевийк Эльте (16 марта 1881 г. в Амстердаме - 9 апреля 1943 г. в Собиборе ) был голландским математиком . Он известен открытием и классификацией полуправильных многогранников размерностей четыре и выше.

Отец Эльте Хартог Эльте был директором школы в Амстердаме. Эмануэль Эльте женился на Ребекке Сторк в 1912 году в Амстердаме, когда он работал учителем в средней школе этого города. К 1943 году семья жила в Харлеме . Когда 30 января того же года в этом городке был застрелен немецкий офицер, в отместку сто жителей Харлема были перевезены в лагерь Вугт , включая Эльте и его семью. Как евреи, он и его жена были депортированы в Собибор, где были убиты; двое его детей были убиты в Освенциме .

Полуправильные многогранники Эльте первого рода

Его работа заново открыла конечные полуправильные многогранники Торольда Госсета и, в дальнейшем, разрешила не только регулярные грани , но и рекурсивно также допустила одну или две полуправильные грани. Они были перечислены в его книге 1912 года «Полуправильные многогранники гиперпространств» . Он назвал их полуправильными многогранниками первого рода , ограничив свой поиск одним или двумя типами правильных или полуправильных k -граней. Эти и многие другие многогранники были снова открыты Коксетером и переименованы как часть более крупного класса однородных многогранников . При этом он открыл всех основных представителей исключительного ₁₄₂ семейства многогранников En, за исключением лишь , _{которые} не удовлетворяли его определению полурегулярности.

Краткое описание полуправильных многогранников первого рода

н	Эльте обозначение	Вершины	Края	Лица	Клетки	Фасеты	Шлефли символ	Коксетер символ	Коксетер диаграмма
Многогранники ( Архимедовы тела )
3	тТ	12	18	4п 3 +4п 6			т{3,3}
	ТК	24	36	6п 8 +8п 3			т{4,3}
	к	24	36	6п 4 +8п 6			т{3,4}
	тД	60	90	20п 3 +12п 10			т{5,3}
	из	60	90	20п 6 +12п 5			т{3,5}
	ТТ = О	6	12	(4+4)п 3			г{3,3} = {3 1,1 }	0 11
	СО	12	24	6п 4 +8п 3			г{3,4}
	ИДЕНТИФИКАТОР	30	60	20п 3 +12п 5			г{3,5}
	П q	2кв.	4кв	2п q +qp 4			т{2,q}
	АП q	2кв.	4кв	2п q +2qp 3			с{2,2q}
полуправильные 4-многогранники
4	ТК 5	10	30	(10+20)п 3	5О+5Т		г {3,3,3} = {3 2,1 }	0 21
	ТЦ 8	32	96	64п 3 +24п 4	8СО+16Т		г {4,3,3}
	ТС 16 =С 24 (*)	48	96	96п 3	(16+8)О		г {3,3,4}
	ТЦ 24	96	288	96 п 3 + 144 п 4	24 СО + 24 С		г {3,4,3}
	ТЦ 600	720	3600	(1200+2400) п 3	600О + 120 Я		г {3,3,5}
	ТЦ 120	1200	3600	2400 р 3 + 720 р 5	120ИД+600Т		г {5,3,3}
	ХМ 4 = С 16 (*)	8	24	32p32p3	(8+8)Т		{3,3 1,1 }	1 11
	–	30	60	20 п 3 + 20 п 6	(5 + 5) тТ		2 т {3,3,3}
	–	288	576	192p3 3 + p144p8	(24 + 24) тС		2 т {3,4,3}
	–	20	60	40 п 3 + 30 п 4	10 Т + 20 П 3		т 0,3 {3,3,3}
	–	144	576	384 п 3 + 288 п 4	48О + 192 П 3		т 0,3 {3,4,3}
	–	д 2	2 кв. 2	д 2 п 4 + 2 qp q	( q + q ) п q		2t{ q ,2, q }
полуправильные 5-многогранники
5	С 5 1	15	60	(20+60)п 3	30Т+15О	6C5 + 6tC5	г{3,3,3,3} = {3 3,1 }	0 31
	С 5 2	20	90	120р 3	30Т+30О	(6+6)С 5	2r{3,3,3,3} = {3 2,2 }	0 22
	ХМ 5	16	80	160р 3	(80+40)Т	16С 5 +10С 16	{3,3 2,1 }	1 21
	Кр 5 1	40	240	(80+320)п 3	160Т+80О	32tC 5 +10C 16	г {3,3,3,4}
	Кр 5 2	80	480	(320+320)п 3	80Т+200О	32tC 5 +10C 24	2р{3,3,3,4}
полуправильные 6-многогранники
6	SS6 1 (*)						г{3 5 } = {3 4,1 }	0 41
	SS6 2 (*)						2р{3 5 } = {3 3,2 }	0 32
	ХМ 6	32	240	640р 3	(160+480)Т	32S5 + 12HM5	{3,3 3,1 }	1 31
	В 27	27	216	720р 3	1080Т	72С5 + 27ХМ5	{3,3,3 2,1 }	2 21
	В 72	72	720	2160р 3	2160Т	(27+27)ХМ 6	{3,3 2,2 }	1 22
полуправильные 7-многогранники
7	SS7 1 (*)						г{3 6 } = {3 5,1 }	0 51
	SS7 2 (*)						2р{3 6 } = {3 4,2 }	0 42
	SS7 3 (*)						3р{3 6 } = {3 3,3 }	0 33
	ХМ 7 (*)	64	672	2240р 3	(560+2240)Т	64S 6 +14HM 6	{3,3 4,1 }	1 41
	В 56	56	756	4032п 3	10080Т	576S 6 +126Cr 6	{3,3,3,3 2,1 }	3 21
	В 126	126	2016	10080p 3	20160Т	576С 6 +56В 27	{3,3,3 3,1 }	2 31
	В 576	576	10080	40320п 3	(30240+20160)Т	126НМ 6 +56В 72	{3,3 3,2 }	1 32
полуправильные 8-многогранники
8	С 8 1 (*)						г{3 7 } = {3 6,1 }	0 61
	С 8 2 (*)						2р{3 7 } = {3 5,2 }	0 52
	С 8 3 (*)						3р{3 7 } = {3 4,3 }	0 43
	ХМ 8 (*)	128	1792	7168п 3	(1792+8960)Т	128S 7 +16HM 7	{3,3 5,1 }	1 51
	В 2160	2160	69120	483840п 3	1209600Т	17280S 7 +240В 126	{3,3,3 4,1 }	2 41
	В 240	240	6720	60480п 3	241920Т	17280S7 + 2160Cr7	{3,3,3,3,3 2,1 }	4 21

(*) Добавлено в эту таблицу как последовательность, которую Elte распознала, но не перечислила явно.

Правильные размерные семейства:

• S _n = n - симплекс : S ₃ , S ₄ , S ₅ , S ₆ , S ₇ , S ₈ , ...
• M _n = n - куб = мера многогранника: M ₃ ​​, M ₄ , M ₅ , M ₆ , M ₇ , M ₈ , ...
• HM _n = n - полукуб = многогранник полумеры: HM ₃ , HM ₄ , M ₅ , M ₆ , HM ₇ , HM ₈ , ...
• Cr _n = n - ортоплекс = перекрестный многогранник: Cr ₃ , Cr ₄ , Cr ₅ , Cr ₆ , Cr ₇ , Cr ₈ , ...

Полуправильные многогранники первого порядка:

• V _n = полуправильный многогранник с n вершинами

Полигоны

• P _n = правильный n -угольник

Многогранники:

• Обычные: T , C , O , I , D
• Усеченно: tT , tC , tO , tI , tD
• Квазирегулярный (выпрямленный): CO , ID
• Отменено: RCO , RID
• Усеченный квазирегулярный ( омниусеченный ): tCO , tID
• Призматический: P _n , AP _n

4-многогранники:

• C _n = Правильные 4-многогранники с n ячейками: C ₅ , C ₈ , C ₁₆ , C ₂₄ , C ₁₂₀ , C ₆₀₀
• Исправленные: ТЦ ₅ , ТЦ ₈ , ТЦ ₁₆ , ТЦ ₂₄ , ТЦ ₁₂₀ , ТЦ ₆₀₀

См. также

• Фигуры Госсета – Эльте