Усеченный 5-клеточный

5-клеточный	Усеченный 5-клеточный	Усеченный 5-ячеечный
Диаграммы Шлегеля с центром в [3,3] (ячейки напротив [3,3])

В геометрии усеченный 5-клеточный — это однородный 4-клеточный многогранник (4-мерный однородный многогранник ), образованный как усечение обычного 5-клеточного .

Существует две степени усечения, включая побитовое усечение .

Усеченный 5-клеточный

Усеченный 5-клеточный
Диаграмма Шлегеля ( тетраэдра видны ячейки )
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _0,1 {3,3,3} т{3,3,3}
Диаграмма Кокстера
Клетки	10	5 ( 3.3.3 ) 5 ( 3.6.6 )
Лица	30	20 {3} 10 {6}
Края	40
Вершины	20
Вершинная фигура	Равносторонне-треугольная пирамида
Группа симметрии	A ₄ , [3,3,3], порядок 120
Характеристики	выпуклый , изогональный
Единый индекс	2 3 4

Усеченный 5-клеточный , усеченный пентахорон или усеченный 4-симплекс ограничен 10 ячейками : 5 тетраэдрами и 5 усеченными тетраэдрами . Каждая вершина окружена тремя усеченными тетраэдрами и одним тетраэдром; вершинная фигура представляет собой вытянутый тетраэдр.

Строительство

Усеченная 5-ячейка может быть построена из 5-ячейки путем усечения ее вершин на 1/3 длины ее ребра. Это преобразует 5 тетраэдрических ячеек в усеченные тетраэдры и вводит 5 новых тетраэдрических ячеек, расположенных рядом с исходными вершинами.

Структура

Усеченные тетраэдры соединены друг с другом своими шестиугольными гранями, а с тетраэдрами - своими треугольными гранями.

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[1]

A ₄	к -лицо	ж _к	ж ₀	ж ₁		f_f2		f ₃		к -фигура	Примечания
A_А2	( )	ж ₀	20	1	3	3	3	3	1	{3}v( )	А ₄ /А ₂ = 5!/3! = 20
А ₂ А ₁	{ }	ж ₁	2	10	*	3	0	3	0	{3}	A ₄/A ₂A ₁ = 5!/3!/2 = 10
А ₁ А ₁	{ }	ж ₁	2	*	30	1	2	2	1	{ }v( )	А ₄ /А ₁ А ₁ = 5!/2/2 = 30
А ₂ А ₁	т{3}	f_f2	6	3	3	10	*	2	0	{ }	A ₄/A ₂A ₁ = 5!/3!/2 = 10
A_А2	{3}	f_f2	3	0	3	*	20	1	1	{ }	А ₄ /А ₂ = 5!/3! = 20
A_А3	т{3,3}	f ₃	12	6	12	4	4	5	*	( )	А ₄ /А ₃ = 5!/4! = 5
A_А3	{3,3}	f ₃	4	0	6	0	4	*	5	( )	А ₄ /А ₃ = 5!/4! = 5

Прогнозы

Проекция диаграммы Шлегеля усеченного тетраэдра усеченной 5-ячейки в трехмерное пространство имеет следующую структуру:

Огибающая проекции представляет собой усеченный тетраэдр .
Одна из усеченных тетраэдрических ячеек выступает на всю оболочку.
Одна из тетраэдрических ячеек проецируется на тетраэдр, лежащий в центре оболочки.
Четыре уплощенных тетраэдра соединены с треугольными гранями оболочки и соединены с центральным тетраэдром четырьмя радиальными ребрами. Это изображения остальных 4-х тетраэдрических ячеек.
Между центральным тетраэдром и 4-мя шестиугольными гранями оболочки находятся 4 неправильных усеченных тетраэдрических объема, которые являются изображениями 4-х оставшихся усеченных тетраэдрических ячеек.

Такое расположение ячеек в проекции аналогично расположению граней в проекции усеченного тетраэдра гранью вперед в двумерное пространство. Усеченная 5-ячейка является 4-мерным аналогом усеченного тетраэдра.

Изображения

орфографические проекции
К Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	A_А2
График
Двугранная симметрия	[5]	[4]	[3]

сеть
стереографическая проекция
(в центре усеченного тетраэдра )

Альтернативные названия

Усеченный пентатоп
Усеченный 4-симплекс
Усеченный пентахорон (аббревиатура: наконечник) (Джонатан Бауэрс)

Координаты

Декартовы координаты вершин усеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {3 \over 2}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\sqrt {3 \over 2}},\ 0,\ \pm 2\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {3}{\sqrt {10}}},\ {\frac {-5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ {\sqrt {2 \over 3}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ {\sqrt {2 \over 3}},\ {\frac {-4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left(-{\sqrt {2 \over 5}},\ -{\sqrt {6}},\ 0,\ 0\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)

\left({\frac {-7}{\sqrt {10}}},\ -{\sqrt {3 \over 2}},\ 0,\ 0\right)

Проще говоря, вершины усеченной 5-клетки могут быть построены на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,0,1,2) или (0,1,2,2,2). Эти координаты берутся из положительных ортантных граней усеченного пентакросса и усеченного пентеракта соответственно.

Связанные многогранники

Выпуклая оболочка усеченной 5-клетки и ее двойника (в предположении, что они конгруэнтны) представляет собой неоднородный полихорон, состоящий из 60 ячеек: 10 тетраэдров , 20 октаэдров (в виде треугольных антипризм), 30 тетраэдров (в виде тетрагональных дисфеноидов) и 40 вершин. . Его вершинная фигура представляет собой шестиугольный треугольный купол .

Вершинная фигура

Усеченный 5-ячеечный

Усеченный 5-ячеечный
Диаграмма Шлегеля со скрытыми альтернативными ячейками.
Тип	Равномерный 4-многогранник
Символ Шлефли	т _1,2 {3,3,3} 2т{3,3,3}
Диаграмма Кокстера	или или
Клетки	10 ( 3.6.6 )
Лица	40	20 {3} 20 {6}
Края	60
Вершины	30
Вершинная фигура	( { }v{ } )
двойной многогранник	Дисфеноидальный 30-клеточный
Группа симметрии	Aut (A ₄), [[3,3,3]], order 240
Характеристики	выпуклый , изогональный , изотоксальный , изохорный
Единый индекс	5 6 7

Битусеченный . 5-ячеечный (также называемый битусеченным пентахороном , декахороном и 10-ячейкой ) представляет собой 4-мерный , или 4-многогранник , составленный из 10 ячеек в форме усеченных тетраэдров многогранник

Топологически при его высшей симметрии [[3,3,3]] существует только одна геометрическая форма, содержащая 10 однородных усеченных тетраэдров. Шестиугольники всегда правильные из-за инверсионной симметрии полихорона, из которых правильный шестиугольник является единственным таким случаем среди дитригонов (изогональный шестиугольник с 3-кратной симметрией).

Э. Л. Эльте идентифицировал его в 1912 г. как полуправильный многогранник.

Каждая шестиугольная грань усеченных тетраэдров соединена в дополнительной ориентации с соседним усеченным тетраэдром. Каждое ребро является общим для двух шестиугольников и одного треугольника. Каждая вершина окружена 4 усеченными тетраэдрическими ячейками в дисфеноида тетрагональной фигуре вершины .

Усеченная 5-клетка представляет собой пересечение двух пентахор в двойной конфигурации. По сути, это также пересечение пентеракта с гиперплоскостью, которая перпендикулярно делит длинную диагональ пентеракта пополам. В этом смысле это 4-х мерный аналог правильного октаэдра (пересечение правильных тетраэдров в двойной конфигурации/ тессеракта пополам по длинной диагонали) и правильного шестиугольника (равносторонние треугольники/куб). Пятимерным аналогом является биректифицированный 5-симплекс , а $n$ -мерным аналогом является многогранник, диаграмма Кокстера–Дынкина которого линейна с кольцами в одном или двух средних узлах.

Усеченный побитно 5-ячеечный является одним из двух нерегулярных выпуклых однородных 4-многогранников, которые являются клеточно-транзитивными . Другой — усеченный 24-ячеечный , состоящий из 48 усеченных кубов.

Симметрия

Этот 4-многогранник имеет более высокую расширенную пентахорную симметрию (2×A ₄ , [[3,3,3]]), удвоенную до порядка 240, поскольку элемент, соответствующий любому элементу базовой 5-ячейки, можно заменить на один из тех, которые соответствуют элементу его двойника.

Альтернативные названия

Усеченная 5-ячеечная ( Норман В. Джонсон )
10-ячеечный как клеточно-транзитивный 4-многогранник
Разрезанный пентахорон
Усеченный пентатоп
Побитый 4-симплекс
Декашорон (аббревиатура: дека) (Джонатан Бауэрс)

Изображения

орфографические проекции
К Самолет Коксетера	A ₄	A_А3	A_А2
График
Двугранная симметрия	[[5]] = [10]	[4]	[[3]] = [6]

стереографическая проекция сферического 4-многогранника (в центре шестиугольной грани)	Сеть (многогранник)

Координаты

Декартовы координаты усеченной 5-ячейки с центром в начале координат и длиной ребра 2:

Координаты
$\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {2}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {5}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-1}{\sqrt {3}}},\ \pm 1\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ {\frac {1}{\sqrt {6}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$	$\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ \pm {\sqrt {3}},\ \pm 1\right)$ $\pm \left({\sqrt {\frac {5}{2}}},\ -{\sqrt {\frac {3}{2}}},\ 0,\ \pm 2\right)$ $\pm \left(0,\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {4}{\sqrt {3}}},\ 0\right)$ $\pm \left(0,\ 2{\sqrt {\frac {2}{3}}},\ {\frac {-2}{\sqrt {3}}},\ \pm 2\right)$

Проще говоря, вершины усеченной 5-ячейки могут быть построены на гиперплоскости в 5-мерном пространстве как перестановки (0,0,1,2,2). Они представляют собой положительные ортантные грани усеченного пентакросса . Другая пятимерная конструкция с центром в начале координат представляет собой все 20 перестановок (-1,-1,0,1,1).

Связанные многогранники

Усеченную 5-ячейку можно рассматривать как пересечение двух обычных 5-ячеек в двойных положениях. = ∩ .

Изотопные однородные усеченные симплексы
Дим.	2	3	4	5	6	7	8
Имя Коксетер	Шестиугольник = т{3} = {6}	Октаэдр = г{3,3} = {3 ^1,1} = {3,4} $\left\{{\begin{array}{l}3\\3\end{array}}\right\}$	Десятилетия 2т{3 ³}	Додекатерон 2р{3 ⁴} = {3 ^2,2} $\left\{{\begin{array}{l}3,3\\3,3\end{array}}\right\}$	Тетрадекапетон 3т{3 ⁵}	Гексадекаэксон 3р{3 ⁶} = {3 ^3,3} $\left\{{\begin{array}{l}3,3,3\\3,3,3\end{array}}\right\}$	Октадеказеттон 4т{3 ⁷}
Изображения
Вершинная фигура	( )∨( )	{ }×{ }	{ }∨{ }	{3}×{3}	{3}∨{3}	{3,3}×{3,3}	{3,3}∨{3,3}
Фасеты		{3}	т{3,3}	г {3,3,3}	2т{3,3,3,3}	2р{3,3,3,3,3}	3т{3,3,3,3,3,3}
Как пересекающийся двойной симплексы	∩	∩	∩	∩	∩	∩	∩

Конфигурация

В матрице конфигурации показаны все счетчики инцидентов между элементами. Диагональные числа f-вектора получаются с помощью конструкции Витхоффа , разделяющей полный групповой порядок на подгруппу путем удаления одного зеркала за раз. ^[2]

ж _к	ж ₀	ж ₁		f_f2			f ₃
ж ₀	30	2	2	1	4	1	2	2
ж ₁	2	30	*	1	2	0	2	1
ж ₁	2	*	30	0	2	1	1	2
f_f2	3	3	0	10	*	*	2	0
	6	3	3	*	20	*	1	1
	3	0	3	*	*	10	0	2
f ₃	12	12	6	4	4	0	5	*
f ₃	12	6	12	0	4	4	*	5

Связанный правильный косой многогранник

Правильный косой многогранник {6,4|3} существует в 4-мерном пространстве с 4 шестиугольниками вокруг каждой вершины в зигзагообразной неплоской вершинной фигуре. Эти шестиугольные грани можно увидеть на усеченной 5-ячейке, использующей все 60 ребер и 30 вершин. 20 треугольных граней усеченной 5-ячейки можно рассматривать как удаленные. Двойственный правильный косой многогранник {4,6|3} аналогичным образом связан с квадратными гранями 5-ячеечной спирали .

Дисфеноидальный 30-клеточный

Дисфеноидальный 30-клеточный
Тип	идеальный ^[3] полихорон
Символ	ф _1,2 А ₄^[3]
Коксетер
Клетки	30 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов.
Лица	60 равных равнобедренных треугольников (2 коротких края)
Края	40	20 длины $\scriptstyle 1$ 20 длины $\scriptstyle {\sqrt {3/5}}$
Вершины	10
Вершинная фигура	( Тетраэдр Триакиса )
Двойной	Усеченный 5-ячеечный
Группа Коксетера	Aut (A ₄), [[3,3,3]], order 240
Вектор орбиты	(1, 2, 1, 1)
Характеристики	выпуклый , изохорный

Дисфеноидальная 30-клеточная является двойником усеченной 5-клеточной . Это 4-мерный многогранник (или полихорон ), полученный из 5-клеточного . Это выпуклая оболочка двух 5-клеток, расположенных в противоположных направлениях.

Будучи двойником однородного полихорона, он клеточно-транзитивен и состоит из 30 конгруэнтных тетрагональных дисфеноидов . Кроме того, он вершинно-транзитивен относительно группы Aut(A ₄ ).

Связанные многогранники

Эти многогранники входят в набор из 9 однородных 4-многогранников, [3,3,3] построенных на основе группы Коксетера .

Имя	5-клеточный	усеченный 5-клеточный	выпрямленный 5-клеточный	кантеллированный 5-клеточный	усеченный 5-ячеечный	кантитусеченный 5-клеточный	сморщенный 5-клеточный	укороченный 5-клеточный	всеусеченный 5-клеточный
Шлефли символ	{3,3,3} 3р{3,3,3}	т{3,3,3} 2т{3,3,3}	г {3,3,3} 2р{3,3,3}	рр{3,3,3} г2р{3,3,3}	2т{3,3,3}	тр{3,3,3} т2р{3,3,3}	т _0,3 {3,3,3}	т _0,1,3 {3,3,3} т _0,2,3 {3,3,3}	т _0,1,2,3 {3,3,3}
Коксетер диаграмма
Шлегель диаграмма
A ₄ Самолет Коксетера График
Самолет ₃ Кокстера График
Самолет ₂ Кокстера График

Ссылки

ХСМ Коксетер :
- HSM Coxeter, Правильные многогранники , 3-е издание, Дувр, Нью-Йорк, 1973 г.
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Коксетер , Красота геометрии: двенадцать эссе , Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 стр. 88 (Глава 5: Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях и их топологические аналоги, Труды Лондонского математического общества, сер. 2, том 43, 1937.)
- Коксетер, HSM Правильные косые многогранники в трех и четырех измерениях. Учеб. Лондонская математика. Соц. 43, 33–62, 1937.
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
1. Выпуклая равномерная полихора на основе пентахорона — Модель 3 , Георгий Ольшевский.
Клитцинг, Ричард. «4D однородные многогранники (полихора)» . х3х3о3о – кончик, о3х3х3о – дека

Специфический

^ Клитцинг, Ричард. «x3x4o3o — подсказка» .
^ Клитцинг, Ричард. «х3о4х3о — срип» .
^ Jump up to: ^а ^б О совершенных 4-многогранниках. Габор Жеве. Вклад в алгебру и геометрию. Том 43 (2002), № 1, 243–259.] Таблица 2, стр. 252

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Клитцинг, Ричард. «x3x4o3o — подсказка» .

[2] Клитцинг, Ричард. «х3о4х3о — срип» .

[Gevay-3] Jump up to: ^а ^б О совершенных 4-многогранниках. Габор Жеве. Вклад в алгебру и геометрию. Том 43 (2002), № 1, 243–259.] Таблица 2, стр. 252

[1]

[2]

[3]