5-куб

5-куб пентеракт (пентеракт)
Тип	однородный 5-многогранник
Символ Шлефли	{4,3,3,3}
Диаграмма Кокстера
4-ликий	10	тессеракты
Клетки	40	кубики
Лица	80	квадраты
Края	80
Вершины	32
Вершинная фигура	5-клеточный
Группа Коксетера	Б ₅ , [4,3 ³], заказать 3840
Двойной	5-ортоплекс
Базовая точка	(1,1,1,1,1,1)
Окружность	кврт(5)/2 = 1,118034
Характеристики	выпуклый , изогональный правильный , многогранник Ханнера

В пятимерной геометрии 5 -куб — это название пятимерного гиперкуба с 32 вершинами , 80 ребрами , 80 квадратными гранями , 40 кубическими ячейками и 10 тессеракта 4-гранями .

Он представлен символом Шлефли {4,3,3,3} или {4,3. ³}, построенный как 3 тессеракта, {4,3,3}, вокруг каждого кубического гребня .

Связанные многогранники

Это часть бесконечного семейства гиперкубов . Двойственным бесконечного 5-кубу является 5-ортоплекс семейства ортоплексов .

Применение операции чередования , удаляющей чередующиеся вершины 5-куба, создает еще один однородный 5-многогранник , называемый 5-демикубом , который также является частью бесконечного семейства, называемого демигиперкубами .

5-куб можно рассматривать как тессерактическую соту 3-го порядка на 4-сфере . Это связано с евклидовой 4-пространственной (порядка 4) тессерактической сотой и паракомпактной гиперболической сотой тессерактической соты 5-го порядка .

В качестве конфигурации

Эта матрица конфигурации представляет собой 5-куб. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням, ячейкам и 4-граням. Диагональные числа говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 5-кубе. Недиагональные числа показывают, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. ^[1]^[2]

${\begin{bmatrix}{\begin{matrix}32&5&10&10&5\\2&80&4&6&4\\4&4&80&3&3\\8&12&6&40&2\\16&32&24&8&10\end{matrix}}\end{bmatrix}}$

Декартовы координаты

Декартовы координаты вершин 5-куба с центром в начале координат и длиной ребра 2 равны

(±1,±1,±1,±1,±1),

в то время как внутренняя часть этого 5-куба состоит из всех точек ( x ₀ , x ₁ , x ₂ , x ₃ , x ₄ ) с -1 < x _i < 1 для всех i .

Изображения

Проекции на плоскость n -куба Кокстера в группах B _k Кокстера проецируются в графы k-кубов со степенью двух вершин, перекрывающихся в проективных графах.

Орфографические проекции
Самолет Коксетера	Б ₅	Б ₄ / Д ₅	Б ₃ / Д ₄ / А ₂
График
Двугранная симметрия	[10]	[8]	[6]
Самолет Коксетера	Другой	B_Б2	A_А3
График
Двугранная симметрия	[2]	[4]	[4]

Больше орфографических проекций
Направление перекоса каркаса	B5 Коксетера Самолет

График
Граф вершин-ребер.

Перспективные прогнозы
Перспективная проекция 3D в 2D, стереографическая проекция с 4D на 3D, диаграмма Шлегеля с 5D на 4D.

Сеть
4D-сеть 5-куба, перспектива, проецируемая в 3D.

Проекция

Пятимерный куб можно спроецировать в трех измерениях с помощью оболочки ромбического икосаэдра . Всего имеется 22 внешние вершины и 10 внутренних вершин. Десять внутренних вершин имеют выпуклую оболочку пятиугольной антипризмы . 80 ребер образуют 40 внешних и 40 внутренних ребер. 40 кубов образуют золотые ромбоэдры , которые можно использовать для разрезания ромбического икосаэдра. Векторы проекции: u = {1, φ, 0, -1, φ}, v = {φ, 0, 1, φ, 0}, w = {0, 1, φ, 0, -1}, где φ это золотое сечение , ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ .

ромбический икосаэдр		5-куб
Перспектива	ортогональный

Также возможно проецировать пентеракты в трехмерное пространство, аналогично проецированию куба в двухмерное пространство.

Трехмерная перспективная проекция пентеракта, подвергающегося простому вращению W1-W2. вокруг ортогональной плоскости	Трехмерная перспективная проекция пентеракта, совершающего двойной поворот X-W1 и Z-W2. вокруг ортогональных плоскостей

Симметрия

имеет 5-куб симметрию группы Кокстера B ₅ , абстрактную структуру. $C_{2}\wr S_{5}$ , порядка 3840, содержащий 25 гиперплоскостей отражения. Символ Шлефли для 5-куба, {4,3,3,3}, соответствует симметрии обозначений Коксетера [4,3,3,3].

Призмы

Все гиперкубы имеют формы более низкой симметрии, построенные в виде призм. 5-куб имеет 7 призматических форм из низшего 5- ортотопа , { } ⁵и вверх, поскольку ортогональные ребра должны иметь одинаковую длину. Вершины призмы равны произведению вершин элементов. Ребра призмы можно разделить на количество ребер в элементе, умноженное на количество вершин во всех остальных элементах.

Описание	Символ Шлефли	Вершины	Края	Обозначение Кокстера Симметрия	Заказ
5-куб	{4,3,3,3}	32	80	[4,3,3,3]	3840
тессерактическая призма	{4,3,3}×{ }	16×2 = 32	64 + 16 = 80	[4,3,3,2]	768
куб - квадратная дуопризма	{4,3}×{4}	8×4 = 32	48 + 32 = 80	[4,3,2,4]	384
кубо- прямоугольная дуопризма	{4,3}×{ } ²	8×2 ² = 32	48 + 2×16 = 80	[4,3,2,2]	192
квадрат-квадрат дуопризма призма	{4} ²×{ }	4 ²×2 = 32	2×32 + 16 = 80	[4,2,4,2]	128
квадратно -прямоугольного параллелепипеда дуопризма	{4}×{ } ³	4×2 ³ = 32	32 + 3×16 = 80	[4,2,2,2]	64
5- ортотоп	{ } ⁵	2 ⁵ = 32	5×16 = 80	[2,2,2,2]	32

Связанные многогранники

— 5-куб пятый в ряду гиперкубов :

многоугольника Петри Ортогональные проекции

Отрезок линии	Квадрат	Куб	4-кубовый	5-куб	6-куб.	7-куб	8-кубовый	9-куб	10-кубовый

Правильный косой многогранник {4,5| 4} может быть реализован внутри 5-куба с его 32 вершинами, 80 ребрами и 40 квадратными гранями, а остальные 40 квадратных граней 5-куба становятся квадратными отверстиями .

Этот многогранник является одним из 31 однородных 5-многогранников, порожденных из правильного 5-куба или 5-ортоплекса .

Ссылки

^ Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.
^ Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

ХСМ Коксетер :
- Коксетер, Правильные многогранники (3-е издание, 1973 г.), Дуврское издание, ISBN 0-486-61480-8 , с. 296, Таблица I (iii): Правильные многогранники, три правильных многогранника в n-мерностях (n≥5).
- Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Коксетера , под редакцией Ф. Артура Шерка, Питера Макмаллена, Энтони К. Томпсона, Азии Ивик Вайс, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
  - (Документ 22) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники I , [Math. Зейт. 46 (1940) 380-407, МР 2,10]
  - (Документ 23) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники II , [Math. Зейт. 188 (1985) 559-591]
  - (Документ 24) HSM Коксетер, Правильные и полуправильные многогранники III , [Math. Зейт. 200 (1988) 3-45]
Нормана Джонсона Равномерные многогранники , Рукопись (1991)
- Н. В. Джонсон: Теория однородных многогранников и сот , доктор философии. (1966)
Клитцинг, Ричард. «5D однородные многогранники (политеры) o3o3o3o4x — пент.» .

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Гиперкуб» . Математический мир .
Ольшевский, Георгий. «Измерить многогранник» . Глоссарий по гиперпространству . Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 года.
Многомерный глоссарий: гиперкуб Гаррета Джонса
Мальцев, Ник Э. https://www.asymptotos.com/wp-content/uploads/2023/07/Cube_5.html

v т и Фундаментальные выпуклые правильные и однородные многогранники размерностей 2–10.
Семья	н	Б _н	И ₂ (п) / Д _н	Е ₆ / Е ₇ / Е ₈ / Ж ₄ / Г ₂	Ч _н
Правильный многоугольник	Треугольник	Квадрат	п-гон	Шестиугольник	Пентагон
Однородный многогранник	Тетраэдр	Октаэдр • Куб	Демикуб		Додекаэдр • Икосаэдр
Равномерный полихорон	Пентахорон	16 ячеек • Тессеракт	Демитессеракт	24-ячеечный	120 ячеек • 600 ячеек
Равномерный 5-многогранник	5-симплекс	5-ортоплекс • 5-куб	5-демикуб
Равномерный 6-многогранник	6-симплекс	6-ортоплекс • 6-куб	6-демикуб	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Равномерный 7-многогранник	7-симплекс	7-ортоплекс • 7-куб	7-демикуб	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Равномерный 8-многогранник	8-симплекс	8-ортоплекс • 8-куб	8-демикуб	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Равномерный 9-многогранник	9-симплекс	9-ортоплекс • 9-куб	9-демикуб
Равномерный 10-многогранник	10-симплекс	10-ортоплекс • 10-куб	10-демикуб
Равномерный n - многогранник	n - симплекс	n - ортоплекс • n - куб	n - демикуб	1 _{лиц 2} • 2 _{лиц 1} • лиц ₂₁	n - пятиугольный многогранник
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений.

[1] Коксетер, Правильные многогранники, раздел 1.8. Конфигурации.

[2] Коксетер, Комплексные правильные многогранники, стр.117

[1]

[2]

Многогранники B5
β₅	t₁β₅	t₂γ₅	t₁γ₅	γ₅	t_0,1β₅	t_0,2β₅	t_1,2β₅
t_0,3β₅	t_1,3γ₅	t_1,2γ₅	t_0,4γ₅	t_0,3γ₅	t_0,2γ₅	t_0,1γ₅	t_0,1,2β₅
t_0,1,3β₅	t_0,2,3β₅	t_1,2,3γ₅	t_0,1,4β₅	t_0,2,4γ₅	t_0,2,3γ₅	t_0,1,4γ₅	t_0,1,3γ₅
t_0,1,2γ₅	t_0,1,2,3β₅	t_0,1,2,4β₅	t_0,1,3,4γ₅	t_0,1,2,4γ₅	t_0,1,2,3γ₅	t_0,1,2,3,4γ₅