Многогранник Ханнера

В геометрии многогранник Ханнера — это выпуклый многогранник, построенный рекурсивно с помощью декартова произведения и полярных двойственных операций. Многогранники Ханнера названы в честь Улофа Ханнера , который представил их в 1956 году. ^[1]

Строительство

Многогранники Ханнера строятся рекурсивно по следующим правилам: ^[2]

Отрезок прямой представляет собой одномерный многогранник Ханнера.
Декартово произведение каждых двух многогранников Ханнера представляет собой другой многогранник Ханнера, размерность которого равна сумме размерностей двух данных многогранников.
Двойственным многограннику Ханнера является другой многогранник Ханнера той же размерности.

Это именно те многогранники, которые можно построить, используя только эти правила: то есть каждый многогранник Ханнера может быть образован из отрезков прямой с помощью последовательности произведений и двойственных операций. ^[2]

Альтернативно и эквивалентно полярной двойной операции, многогранники Ханнера могут быть построены с помощью декартовых произведений и прямых сумм , двойственных к декартовым произведениям. Эта операция прямой суммы объединяет два многогранника, помещая их в два линейно независимых подпространства большего пространства, а затем строя выпуклую оболочку их объединения. ^[3]^[4]

Примеры

Куб представляет собой многогранник Ханнера и может быть построен как декартово произведение трех отрезков прямой. Его двойник, октаэдр , также является многогранником Ханнера, прямой суммой трёх отрезков прямой. В трехмерном пространстве все многогранники Ханнера комбинаторно эквивалентны одному из этих двух типов многогранников. ^[5] В более высоких измерениях гиперкубы и перекрестные многогранники , аналоги куба и октаэдра, снова являются многогранниками Ханнера. Однако возможны и другие примеры. Например, октаэдрическая призма , четырехмерная призма с октаэдром в основании, также является многогранником Ханнера, как и ее двойник, кубическая бипирамида .

Характеристики

Координатное представление

Каждому многограннику Ханнера можно присвоить координаты вершины 0, 1 или -1. ^[6] Более явно, если P и Q — многогранники Ханнера с координатами в этой форме, то координаты вершин декартова произведения P и Q образуются путем объединения координат вершины в P с координатами вершины в Q . Координаты вершин прямой суммы P и Q образуются либо путем объединения координат вершины в P с вектором нулей, либо путем объединения вектора нулей с координатами вершины в Q .

Поскольку полярный двойственный многогранник Ханнера является другим многогранником Ханнера, многогранники Ханнера обладают тем свойством, что и они, и их двойственные многогранники имеют координаты в {0,1,−1}. ^[6]

Количество граней

Каждый многогранник Ханнера центрально симметричен и имеет ровно 3 ^д непустые грани (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество). Например, куб имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратов и 1 куб (сам) в качестве граней; 8 + 12 + 6 + 1 = 27 = 3 ³. Многогранники Ханнера составляют важный класс примеров для трехмерной задачи Калаи. ^д гипотеза о том, что все центрально-симметричные многогранники имеют не менее 3 ^д непустые лица. ^[3]

Пары противоположных граней и вершин

В многограннике Ханнера каждые две противоположные грани не пересекаются и вместе включают в себя все вершины многогранника, так что выпуклая оболочка двух граней представляет собой весь многогранник. ^[6]^[7] Как простое следствие этого факта, все грани многогранника Ханнера имеют одинаковое количество вершин друг друга (половину числа вершин всего многогранника). Однако не все грани могут быть изоморфны друг другу. Например, в октаэдрической призме две грани представляют собой октаэдры, а остальные восемь граней — треугольные призмы . Двойственным образом в каждом многограннике Ханнера каждые две противоположные вершины касаются непересекающихся наборов граней, а вместе - всех граней многогранника.

Объем Малера

Объем Малера многогранника Ханнера (произведение его объема и объема его полярного двойника) такой же, как и для куба или перекрестного многогранника. Если гипотеза Малера верна, эти многогранники являются минимизаторами малеровского объема среди всех центрально-симметричных выпуклых тел . ^[8]

Хелли недвижимость

Трансляции гиперкуба ( или его аффинного преобразования, параллелоэдра ) образуют семейство Хелли : каждое множество транслятов, имеющих непустые попарные пересечения, имеет непустое пересечение. Более того, это единственные выпуклые тела, обладающие таким свойством. ^[9]Для любого другого центрально-симметричного выпуклого многогранника Ханнер K (1956) определил I ( K ) как наименьшее количество сдвигов K , которые не образуют семейство Хелли (они пересекаются попарно, но имеют пустое пересечение). Он показал, что I ( K ) равно трем или четырем, и привел многогранники Ханнера в качестве примеров многогранников, для которых оно равно четырем. Хансен и Лима (1981) позже показали, что это свойство можно использовать для характеристики многогранников Ханнера: они (с точностью до аффинного преобразования) являются именно теми многогранниками, для которых I ( K ) > 3. ^[10]

Комбинаторное перечисление

Число комбинаторных типов многогранников Ханнера размерности d такое же, как и количество простых последовательно-параллельных графов с d непомеченными ребрами. ^[4] Для d = 1, 2, 3,... это:

1, 1, 2, 4, 8, 18, 40, 94, 224, 548, ... (последовательность A058387 в OEIS ).

Более явная биекция между многогранниками Ханнера размерности d и кографами с d вершинами дана Рейснером (1991) . Для этой биекции предполагается, что многогранники Ханнера представлены геометрически с использованием координат из {0,1,−1}, а не как классы комбинаторной эквивалентности; в частности, существуют две разные геометрические формы многогранника Ханнера даже в двух измерениях: квадрат с координатами вершины (±1,±1) и ромб с координатами вершины (0,±1) и (±1,0). Учитывая d -мерный многогранник с координатами вершин в {0,1,−1}, Рейснер определяет ассоциированный граф, d вершин которого соответствуют единичным векторам пространства, содержащего многогранник, и для которого два вектора соединены ребром, если их сумма лежит вне многогранника. Он отмечает, что графы многогранников Ханнера являются кографами, которые он характеризует двумя способами: графами без индуцированных путей длины три и графами, все индуцированные подграфы которых либо несвязны, либо являются дополнениями к несвязным графам. И наоборот, каждый кограф может быть представлен таким образом многогранником Ханнера. ^[6]

Пространства Ханнера

Многогранники Ханнера — это единичные шары семейства конечномерных банаховых пространств, называемых пространствами Ханнера . ^[7] Пространства Ханнера — это пространства, которые можно построить из одномерных пространств с помощью $\ell _{1}$ и $\ell _{\infty }$ комбинации. ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ханнер, Олоф (1956), «Пересечения трансляций выпуклых тел», Mathematica Scandinavica , 4 : 65–87, MR 0082696 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фрей, Рагнар (2012), Темы алгоритмической, перечислительной и геометрической комбинаторики (PDF) , доктор философии. диссертация на факультете математических наук Технологического института Чалмерса .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR 2471868 /
^ Козачок, Марина (2012), «Совершенные призматоиды и гипотеза о числах граней центрально-симметричных многогранников», Ярославская международная конференция «Дискретная геометрия», посвященная 100-летию со дня рождения А.Д.Александрова (Ярославль, 13-18 августа 2012 г.) (PDF) , Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Международная лаборатория Б. Н. Делоне, стр. 46–49.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рейснер, С. (1991), «Некоторые банаховы пространства, связанные с графами, и CL-пространства с 1-безусловными базисами», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 43 (1): 137–148, doi : 10.1112/jlms /с2-43.1.137 , МР 1099093 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мартини, Х.; Свейнпол, К.Дж.; де Вет, П. Олофф (2009), «Поглощающие углы, минимальные деревья Штейнера и антиподальность», Journal of Optimization Theory and Applications , 143 (1): 149–157, arXiv : 1108.5046 , doi : 10.1007/s10957-009- 9552-1 , МР 2545946 .
^ Ким, Джегил (2014), «Произведение минимального объема вблизи многогранников Ханнера», Journal of Functional Analysis , 266 (4): 2360–2402, arXiv : 1212.2544 , doi : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 , MR 3150164 .
^ Сз.-Надь, Бела (1954), «Теорема о параллельных смещениях выпуклых тел» , Acta Universitatis Szegediensis , 15 : 169–177, MR 0065942 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 05 мая 2013 г. 19 .
^ Хансен, Аллан Б.; Лима, Цсвальд (1981), «Структура конечномерных банаховых пространств со свойством пересечения 3.2», Acta Mathematica , 146 (1–2): 1–23, doi : 10.1007/BF02392457 , MR 0594626 .

[h56-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ханнер, Олоф (1956), «Пересечения трансляций выпуклых тел», Mathematica Scandinavica , 4 : 65–87, MR 0082696 .

[freij-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фрей, Рагнар (2012), Темы алгоритмической, перечислительной и геометрической комбинаторики (PDF) , доктор философии. диссертация на факультете математических наук Технологического института Чалмерса .

[k89-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 .

[swz-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR 2471868 /

[5] Козачок, Марина (2012), «Совершенные призматоиды и гипотеза о числах граней центрально-симметричных многогранников», Ярославская международная конференция «Дискретная геометрия», посвященная 100-летию со дня рождения А.Д.Александрова (Ярославль, 13-18 августа 2012 г.) (PDF) , Ярославский государственный университет им. П. Г. Демидова, Международная лаборатория Б. Н. Делоне, стр. 46–49.

[reisner-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Рейснер, С. (1991), «Некоторые банаховы пространства, связанные с графами, и CL-пространства с 1-безусловными базисами», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 43 (1): 137–148, doi : 10.1112/jlms /с2-43.1.137 , МР 1099093 .

[msdw-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Мартини, Х.; Свейнпол, К.Дж.; де Вет, П. Олофф (2009), «Поглощающие углы, минимальные деревья Штейнера и антиподальность», Journal of Optimization Theory and Applications , 143 (1): 149–157, arXiv : 1108.5046 , doi : 10.1007/s10957-009- 9552-1 , МР 2545946 .

[8] Ким, Джегил (2014), «Произведение минимального объема вблизи многогранников Ханнера», Journal of Functional Analysis , 266 (4): 2360–2402, arXiv : 1212.2544 , doi : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 , MR 3150164 .

[9] Сз.-Надь, Бела (1954), «Теорема о параллельных смещениях выпуклых тел» , Acta Universitatis Szegediensis , 15 : 169–177, MR 0065942 , заархивировано из оригинала 04 марта 2016 г. , получено 05 мая 2013 г. 19 .

[10] Хансен, Аллан Б.; Лима, Цсвальд (1981), «Структура конечномерных банаховых пространств со свойством пересечения 3.2», Acta Mathematica , 146 (1–2): 1–23, doi : 10.1007/BF02392457 , MR 0594626 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]