Объем Малера

В выпуклой геометрии малеровский объем центрально -симметричного выпуклого тела — безразмерная величина , связанная с телом и инвариантная относительно линейных преобразований . Он назван в честь немецко-английского математика Курта Малера . Известно, что фигурами с максимально возможным малеровским объемом являются шары и сплошные эллипсоиды ; теперь это известно как неравенство Бляшке – Сантало . До сих пор не решенная гипотеза Малера утверждает, что минимально возможный объем Малера достигается гиперкубом .

Определение

Выпуклое тело в евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью. Если $B$ представляет собой центрально-симметричное выпуклое тело в $n$-мерное евклидово пространство, полярное тело $B^{\circ }$ — другое центрально-симметричное тело в том же пространстве, определяемое как множество $$\left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.$$Объем Малера $B$ является произведением объемов $B$ и $B^{\circ }$.

Если $T$ является обратимым линейным преобразованием, то $(TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }$. Применение $T$ к $B$ умножает свой объём на $\det T$ и умножает объем $B^{\circ }$ к $\det(T^{-1})^{\ast }$. Поскольку эти определители являются мультипликативными обратными , общий малеровский объем $B$ сохраняется при линейных преобразованиях.

Примеры

Полярное тело $n$-мерная единичная сфера сама по себе является еще одной единичной сферой. Таким образом, его малеровский объем равен квадрату его объема:

${\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}$

где $\Gamma$ это гамма-функция .По аффинной инвариантности любой эллипсоид имеет одинаковый малеровский объем.

Полярным телом многогранника или многогранника является его двойственный многогранник или двойственный многогранник . В частности, полярным телом куба или гиперкуба является октаэдр или перекрестный многогранник . Его малеровский объем можно рассчитать как

${\frac {4^{n}}{\Gamma (n+1)}}.$

Малеровский объем сферы примерно в два раза больше малеровского объема гиперкуба. $\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}$.

Экстремальные формы

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли малеровский объем центрально-симметричного выпуклого тела равен объему гиперкуба того же измерения?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неравенство Бляшке-Сантало утверждает, что формы с максимальным объемом Малера представляют собой сферы и эллипсоиды. Трехмерный случай этого результата был доказан Вильгельмом Бляшке ( 1917 ); полный результат был доказан гораздо позже Луисом Сантало ( 1949 ) с использованием метода, известного как симметризация Штейнера , с помощью которого любое центрально-симметричное выпуклое тело можно заменить телом, более похожим на сферу, без уменьшения его малеровского объема.

Формы с минимальным известным объемом Малера — это гиперкубы , перекрестные многогранники и, в более общем плане, многогранники Ханнера , которые включают эти два типа фигур, а также их аффинные преобразования. Гипотеза Малера утверждает, что малеровский объем этих фигур является наименьшим из любого n -мерного симметричного выпуклого тела; остается нерешенным, когда $n\geq 4$. Как пишет Терри Тао :

Основная причина, почему эта гипотеза настолько сложна, заключается в том, что в отличие от верхней границы , в которой существует по существу только один экстремайзер с точностью до аффинных преобразований (а именно, шар), для нижней границы существует множество различных экстремайзеров - не только куб и октаэдра, но также произведения кубов и октаэдров, полярные тела из произведений кубов и октаэдров, произведения полярных тел… ну, вы поняли. Действительно трудно представить себе какой-либо поток или процедуру оптимизации, которая сходилась бы именно к этим телам, а не к каким-либо другим; может потребоваться радикально иной тип аргументации.

Бургейн и Милман (1987) доказали, что объем Малера ограничен снизу $c^{n}$ раз больше объема сферы для некоторой абсолютной константы $c>0$, что соответствует масштабируемому поведению объема гиперкуба, но с меньшей константой. Куперберг (2008) доказал, что, более конкретно, можно взять $c={\tfrac {1}{2}}$ в этом пределе. Результат этого типа известен как обратное неравенство Сантало .

Частичные результаты

• Двумерный случай гипотезы Малера был решен Малером (1939) , а трехмерный случай - Ирие и Шибатой (2020) .
• Назаров и др. (2010) доказали, что единичный куб является строгим локальным минимизатором малеровского объема в классе исходно -симметричных выпуклых тел, наделенных расстоянием Банаха – Мазура .

Для асимметричных тел

Объем Малера можно определить так же, как произведение объема на полярный объем, для выпуклых тел, внутренняя часть которых содержит начало координат независимо от симметрии. Малер предположил, что для этого обобщения минимальный объем получается симплексом с центром тяжести в начале координат. Как и в случае с симметричной гипотезой Малера, известны обратные неравенства Сантало, показывающие, что минимальный объем находится по крайней мере в пределах экспоненциального множителя симплекса.

Ссылки

• Блашке, Вильгельм (1917). «Сверхаффинная геометрия VII: Новые экстремальные свойства эллипса и эллипсоида». Бер. Женатый саксонец Академическая наука Лейпциг Матем.-Физ. Кл. (на немецком языке). 69 . Лейпциг: 412–420.
• Бурген, Жан ; Мильман, Виталий Д. (1987). «Новые свойства объемного соотношения для выпуклых симметричных тел в $\mathbb {R} ^{n}$". Математические изобретения . 88 (2): 319–340. doi : 10.1007/BF01388911 . MR   0880954 .
• Ирие, Хироши; Сибата, Масатака (2020). «Симметричная гипотеза Малера для объемного произведения в трехмерном случае». Математический журнал Дьюка . 169 (6): 1077–1134. arXiv : 1706.01749 . дои : 10.1215/00127094-2019-0072 . МР   4085078 .
• Куперберг, Грег (2008). «От гипотезы Малера до связующих интегралов Гаусса». Геометрический и функциональный анализ . 18 (3): 870–892. arXiv : math/0610904 . дои : 10.1007/s00039-008-0669-4 . МР   2438998 .
• Малер, Курт (1939). «Минимальная задача для выпуклых многоугольников». Mathematica (Зютфен) Б : 118–127.
• Назаров, Федор; Петров, Федор; Рябогин Дмитрий; Звавич, Артем (2010). «Замечание к гипотезе Малера: локальная минимальность единичного куба». Математический журнал Дьюка . 154 (3): 419–430. arXiv : 0905.0867 . дои : 10.1215/00127094-2010-042 . МР   2730574 .
• Сантало, Луис А. (1949). «Аффинный инвариант для выпуклых тел $n$-мерное пространство». Portugaliae Mathematica (на испанском языке). 8 : 155–161. MR   0039293 .
• Тао, Теренс (8 марта 2007 г.). «Открытый вопрос: гипотеза Малера о выпуклых телах» . Переработано и перепечатано в Тао, Теренс (2009). «3.8 Гипотеза Малера для выпуклых тел». Структура и случайность: страницы первого года математического блога . Американское математическое общество . стр. 216–219. ISBN  978-0-8218-4695-7 .