Теорема Урсеску

В математике, особенно в функциональном анализе и выпуклом анализе , теорема Урсеску — это теорема, которая обобщает теорему о замкнутом графике , теорему об открытом отображении и принцип равномерной ограниченности .

Теорема Урсеску

Используются следующие обозначения и понятия, где ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ является функцией с множеством значений и $S$ является непустым подмножеством топологического векторного пространства. $X$:

• аффинный диапазон ​ $S$ обозначается $\operatorname {aff} S$ а линейный пролет обозначается $\operatorname {span} S.$
• $S^{i}:=\operatorname {aint} _{X}S$ обозначает алгебраическую внутренность $S$ в $X.$
• ${}^{i}S:=\operatorname {aint} _{\operatorname {aff} (S-S)}S$ обозначает относительную алгебраическую внутренность $S$ (т.е. алгебраическая внутренность $S$ в $\operatorname {aff} (S-S)$).
• ${}^{ib}S:={}^{i}S$ если $\operatorname {span} \left(S-s_{0}\right)$ выпускается для некоторых/каждых $s_{0}\in S$ пока ${}^{ib}S:=\varnothing$ в противном случае.
  • Если $S$ выпукло, то можно показать, что для любого $x\in X,$ $x\in {}^{ib}S$ тогда и только тогда, когда конус, порожденный $S-x$ представляет собой бочкообразное линейное подпространство $X$ или, что то же самое, тогда и только тогда, когда $\cup _{n\in \mathbb {N} }n(S-x)$ представляет собой бочкообразное линейное подпространство $X$
• Домен ​ ${\mathcal {R}}$ является $\operatorname {Dom} {\mathcal {R}}:=\{x\in X:{\mathcal {R}}(x)\neq \varnothing \}.$
• Образ ​ ${\mathcal {R}}$ является $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}:=\cup _{x\in X}{\mathcal {R}}(x).$ Для любого подмножества $A\subseteq X,$ ${\mathcal {R}}(A):=\cup _{x\in A}{\mathcal {R}}(x).$
• График ​ ${\mathcal {R}}$ является $\operatorname {gr} {\mathcal {R}}:=\{(x,y)\in X\times Y:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$
• ${\mathcal {R}}$ замкнут ) , (соответственно выпуклый если график ${\mathcal {R}}$ замкнуто (соответственно выпукло) в $X\times Y.$
  • Обратите внимание, что ${\mathcal {R}}$ выпукло тогда и только тогда, когда для всех $x_{0},x_{1}\in X$ и все $r\in [0,1],$ $r{\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)+(1-r){\mathcal {R}}\left(x_{1}\right)\subseteq {\mathcal {R}}\left(rx_{0}+(1-r)x_{1}\right).$
• Обратная сторона ${\mathcal {R}}$ это многозначная функция ${\mathcal {R}}^{-1}:Y\rightrightarrows X$ определяется ${\mathcal {R}}^{-1}(y):=\{x\in X:y\in {\mathcal {R}}(x)\}.$ Для любого подмножества $B\subseteq Y,$ ${\mathcal {R}}^{-1}(B):=\cup _{y\in B}{\mathcal {R}}^{-1}(y).$
  • Если $f:X\to Y$ является функцией, то ее обратная функция является многозначной функцией $f^{-1}:Y\rightrightarrows X$ полученное в результате канонического определения $f$ с функцией множества $f:X\rightrightarrows Y$ определяется $x\mapsto \{f(x)\}.$
• $\operatorname {int} _{T}S$ является топологической внутренностью $S$ относительно $T,$ где $S\subseteq T.$
• $\operatorname {rint} S:=\operatorname {int} _{\operatorname {aff} S}S$ это интерьер ​ $S$ относительно $\operatorname {aff} S.$

Заявление

Теорема  ( Урсеску ) — Пусть $X$ — полное полуметризуемое локально выпуклое топологическое векторное пространство и ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ — замкнутая выпуклая мультифункция с непустой областью определения. Предположим, что $\operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)$ это бочковое пространство для некоторых/каждого $y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ Предположим, что $y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ и пусть $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right)$ (так что $y_{0}\in {\mathcal {R}}\left(x_{0}\right)$). Тогда для каждой окрестности $U$ из $x_{0}$ в $X,$ $y_{0}$ принадлежит относительной внутренней части ${\mathcal {R}}(U)$ в $\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ (то есть, $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$). В частности, если ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing$ затем ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).$

Следствия

замкнутом

Теорема о замкнутом графике — Пусть $X$ и $Y$ быть пространствами Фреше и $T:X\to Y$ быть линейной картой. Затем $T$ непрерывен тогда и только тогда, когда график $T$ закрыт в $X\times Y.$

Доказательство

Для нетривиального направления предположим, что график $T$ закрыто и пусть ${\mathcal {R}}:=T^{-1}:Y\rightrightarrows X.$ Это легко увидеть $\operatorname {gr} {\mathcal {R}}$ замкнуто и выпукло и что его образ $X.$ Данный $x\in X,$ $(Tx,x)$ принадлежит $Y\times X$ так что для каждой открытой окрестности $V$ из $Tx$ в $Y,$ ${\mathcal {R}}(V)=T^{-1}(V)$ это район $x$ в $X.$ Таким образом $T$ является непрерывным в $x.$КЭД

Принцип

Равномерный принцип ограниченности — Пусть $X$ и $Y$ быть пространствами Фреше и $T:X\to Y$ быть биективным линейным отображением. Затем $T$ непрерывно тогда и только тогда, когда $T^{-1}:Y\to X$ является непрерывным. Кроме того, если $T$ является непрерывным, тогда $T$ является изоморфизмом пространств Фреше .

Доказательство

Примените теорему о замкнутом графике к $T$ и $T^{-1}.$ КЭД

открытом

Теорема об открытом отображении . Пусть $X$ и $Y$ быть пространствами Фреше и $T:X\to Y$ — непрерывное сюръективное линейное отображение. Тогда T — открытое отображение .

Доказательство

Четко, $T$ — замкнутое и выпуклое отношение, образ которого есть $Y.$ Позволять $U$ быть непустым открытым подмножеством $X,$ позволять $y$ быть внутри $T(U),$ и пусть $x$ в $U$ быть таким, что $y=Tx.$ Из теоремы Урсеску следует, что $T(U)$ это район $y.$ КЭД

Дополнительные следствия

Для этих следствий используются следующие обозначения и понятия, где ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ является многозначной функцией, $S$ является непустым подмножеством топологического векторного пространства. $X$:

• выпуклый ряд с элементами $S$ представляет собой ряд вида ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ где все $s_{i}\in S$ и ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}=1}$ представляет собой ряд неотрицательных чисел. Если ${\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }r_{i}s_{i}}$ сходится, то ряд называется сходящимся, а если $\left(s_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен, то ряд называется ограниченным и b-выпуклым .
• $S$ , идеально выпукла если любой сходящийся b-выпуклый ряд элементов из $S$ имеет свою сумму в $S.$
• $S$ если идеально выпукло снизу, существует пространство Фреше $Y$ такой, что $S$ равно проекции на $X$ некоторого идеально выпуклого B подмножества $X\times Y.$ Всякое идеально выпуклое множество является идеально выпуклым снизу.

Следствие — Пусть $X$ быть бочоночным первым счетным пространством и пусть $C$ быть подмножеством $X.$ Затем:

1. Если $C$ является нижней идеально выпуклой, тогда $C^{i}=\operatorname {int} C.$
2. Если $C$ идеально выпукло, то $C^{i}=\operatorname {int} C=\operatorname {int} \left(\operatorname {cl} C\right)=\left(\operatorname {cl} C\right)^{i}.$

теоремы

Теорема Саймонса

Саймонса Теорема - Позволять $X$ и $Y$ быть первым счетным с $X$ локально выпуклая. Предположим, что ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ является мультиотображением с непустой областью определения, которое удовлетворяет условию (Hw x ), или же предположим, что $X$ является пространством Фреше и что ${\mathcal {R}}$ нижняя идеально выпуклая . Предположим, что $\operatorname {span} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}-y)$ выпускается для некоторых/каждых $y\in \operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$ Предположим, что $y_{0}\in {}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ и пусть $x_{0}\in {\mathcal {R}}^{-1}\left(y_{0}\right).$ Тогда для каждой окрестности $U$ из $x_{0}$ в $X,$ $y_{0}$ принадлежит относительной внутренней части ${\mathcal {R}}(U)$ в $\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})$ (т.е. $y_{0}\in \operatorname {int} _{\operatorname {aff} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}})}{\mathcal {R}}(U)$). В частности, если ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})\neq \varnothing$ затем ${}^{ib}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})={}^{i}(\operatorname {Im} {\mathcal {R}})=\operatorname {rint} (\operatorname {Im} {\mathcal {R}}).$

-

Импликация (1) $\implies$ Уравнение (2) в следующей теореме известно как теорема Робинсона–Урсеску.

Теорема Робинсона – Урсеску - Позволять $(X,\|\,\cdot \,\|)$ и $(Y,\|\,\cdot \,\|)$ быть нормированными пространствами и ${\mathcal {R}}:X\rightrightarrows Y$ быть мультикартой с непустым доменом. Предположим, что $Y$ представляет собой бочкообразное пространство , график ${\mathcal {R}}$ проверяет условие условия (Hw x ) и что $(x_{0},y_{0})\in \operatorname {gr} {\mathcal {R}}.$ Позволять $C_{X}$ (соответственно $C_{Y}$) обозначают замкнутый единичный шар в $X$ (соответственно $Y$) (так $C_{X}=\{x\in X:\|x\|\leq 1\}$). Тогда следующие условия эквивалентны:

1. $y_{0}$ принадлежит алгебраической внутренности $\operatorname {Im} {\mathcal {R}}.$
2. $y_{0}\in \operatorname {int} {\mathcal {R}}\left(x_{0}+C_{X}\right).$
3. Существует $B>0$ такой, что для всех $0\leq r\leq 1,$ $y_{0}+BrC_{Y}\subseteq {\mathcal {R}}\left(x_{0}+rC_{X}\right).$
4. Существуют $A>0$ и $B>0$ такой, что для всех $x\in x_{0}+AC_{X}$ и все $y\in y_{0}+AC_{Y},$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq B\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$
5. Существует $B>0$ такой, что для всех $x\in X$ и все $y\in y_{0}+BC_{Y},$ $d\left(x,{\mathcal {R}}^{-1}(y)\right)\leq {\frac {1+\left\|x-x_{0}\right\|}{B-\left\|y-y_{0}\right\|}}\cdot d(y,{\mathcal {R}}(x)).$

См. также

• Теорема о замкнутом графе - Теорема о непрерывности графов
• Теорема о замкнутом графе (функциональный анализ) - Теоремы, связывающие непрерывность с замыканием графов.
• Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора.
• Сюръекция пространств Фреше - Характеристика сюръективности
• Принцип равномерной ограниченности - теорема, утверждающая, что из поточечной ограниченности следует равномерная ограниченность.
• Перепончатое пространство - пространство, в котором выполняются теоремы об открытом отображении и закрытом графе.

Ссылки

• Залинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN  978-981-4488-15-0 . МР   1921556 . OCLC   285163112 – через Интернет-архив .
• Бэггс, Иван (1974). «Функции с замкнутым графиком» . Труды Американского математического общества . 43 (2): 439–442. дои : 10.1090/S0002-9939-1974-0334132-8 . ISSN   0002-9939 .