Функция инвекс

В векторном исчислении инвексная функция является дифференцируемой функцией. $f$ от $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R}$ для которого существует векторная функция $\eta$ такой, что

$f(x)-f(u)\geq \eta (x,u)\cdot \nabla f(u),\,$

для всех x и u .

Инвексные функции были введены Хансоном как обобщение выпуклых функций . Бен-Исраэль и Монд предоставили простое доказательство того, что функция является инвективной тогда и только тогда, когда каждая стационарная точка является глобальным минимумом — теорема, впервые сформулированная Крейвеном и Гловером.

Хэнсон также показал, что если цель и ограничения задачи оптимизации инвективны по отношению к одной и той же функции $\eta (x,u)$, то условия Каруша–Куна–Такера достаточны для глобального минимума.

Инвексные функции типа I

Небольшое обобщение инвексных функций, называемое инвексными функциями типа I, представляет собой наиболее общий класс функций, для которых условия Каруша – Куна – Такера необходимы и достаточны для глобального минимума. Рассмотрим математическую программу вида

${\begin{array}{rl}\min &f(x)\\{\text{s.t.}}&g(x)\leq 0\end{array}}$

где $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ и $g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$являются дифференцируемыми функциями. Позволять $F=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\;|\;g(x)\leq 0\}$обозначим допустимую область этой программы. Функция $f$ является типа I целевой функцией , а функция $g$ является функцией ограничения типа I в $x_{0}$относительно $\eta$ если существует векторная функция $\eta$ определено на $F$ такой, что

$f(x)-f(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {f(x_{0})}$

и

$-g(x_{0})\geq \eta (x)\cdot \nabla {g(x_{0})}$

для всех $x\in {F}$. Обратите внимание, что, в отличие от извилистости, извилистость типа I определяется относительно точки. $x_{0}$.

Теорема (теорема 2.1 в ): Если $f$ и $g$ являются инвекцией типа I в точке $x^{*}$относительно $\eta$, а условия Каруша–Куна–Такера выполняются при $x^{*}$, затем $x^{*}$является глобальным минимизатором $f$ над $F$.

Функция E-invex

Позволять $E$ от $\mathbb {R} ^{n}$ к $\mathbb {R} ^{n}$ и $f$ от $\mathbb {M}$ к $\mathbb {R}$ быть $E$-дифференцируемая функция на непустом открытом множестве $\mathbb {M} \subset \mathbb {R} ^{n}$. Затем $f$ называется функцией E-invex при $u$ если существует векторная функция $\eta$ такой, что

$(f\circ E)(x)-(f\circ E)(u)\geq \nabla (f\circ E)(u)\cdot \eta (E(x),E(u)),\,$

для всех $x$ и $u$ в $\mathbb {M}$.

E-инвексные функции были введены Абдулалимом как обобщение дифференцируемых выпуклых функций .

См. также

• Выпуклая функция
• Псевдовыпуклая функция
• Квазивыпуклая функция

Дальнейшее чтение

• С.К. Мишра и Г. Джорджи, Невыпуклость и оптимизация, Невыпуклая оптимизация и ее приложения, Vol. 88 , Шпрингер-Верлаг, Берлин, 2008 г.
• С.К. Мишра, С.-Ю. Ван и К.К. Лай, Обобщенная выпуклость и векторная оптимизация, Springer, Нью-Йорк, 2009.