Верхняя и нижняя границы
В математике, особенно в теории порядка , верхняя граница или мажоранта [1] подмножества ( S некоторого предупорядоченного множества K , ≤) — это элемент K , который больше или равен каждому элементу S . [2] [3] Двойственно , нижняя граница или миноранта S , определяется как элемент K который меньше или равен каждому S. элементу Множество, имеющее верхнюю (соответственно нижнюю) границу, называется ограниченным сверху или мажорируемым. [1] (соответственно ограниченный снизу или миноризированный ) этой границей. Термины «ограниченный сверху» ( ограниченный снизу ) также используются в математической литературе для множеств, имеющих верхние (соответственно нижние) границы. [4]
Примеры [ править ]
Например, 5 — это нижняя граница набора S = {5, 8, 42, 34, 13934} (как подмножества целых или действительных чисел и т. д.), как и 4 . С другой стороны, 6 не является нижней границей для S поскольку оно не меньше любого элемента в S. , 13934 и другие числа x такие, что x ≥ 13934 будут верхней границей S .
Набор S = {42} имеет 42 как верхнюю, так и нижнюю границу; все остальные числа являются либо верхней, либо нижней границей для этого S .
Каждое подмножество натуральных чисел имеет нижнюю границу, поскольку натуральные числа имеют наименьший элемент (0 или 1, в зависимости от соглашения). Бесконечное подмножество натуральных чисел не может быть ограничено сверху. Бесконечное подмножество целых чисел может быть ограничено снизу или ограничено сверху, но не то и другое. Бесконечное подмножество рациональных чисел может быть ограничено или не ограничено снизу, а также может быть ограничено или не ограничено сверху.
Каждое конечное подмножество непустого вполне упорядоченного множества имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.
Границы функций [ править ]
Определения можно обобщить на функции и даже на множества функций.
Учитывая функцию f с областью определения D и предварительно упорядоченный набор ( K , ≤) в качестве кодомена , элемент y из K является верхней границей f , если y ≥ f ( x ) для каждого x в D . Верхняя граница называется точной, если равенство выполняется хотя бы для одного значения x . Это указывает на то, что ограничение является оптимальным и, следовательно, не может быть уменьшено без аннулирования неравенства.
Аналогично, функция g определенная в области D и имеющая ту же область значений ( K , ≤), является верхней границей f , если g ( x ) ≥ f ( x ) для каждого x в D. , Далее говорят, что функция g является верхней границей набора функций, если она является верхней границей каждой функции в этом наборе.
Понятие нижней границы для (наборов) функций определяется аналогично, заменой ≥ на ≤.
Жесткие границы [ править ]
Верхняя граница называется жесткой верхней границей , наименьшей верхней границей или супремумом , если ни одно меньшее значение не является верхней границей. Точно так же нижняя граница называется жесткой нижней границей , максимальной нижней границей или нижней границей , если никакое большее значение не является нижней границей.
верхние границы Точные
Верхняя граница u подмножества S предупорядоченного множества ( K , ≤) называется точной верхней границей для S , если каждый элемент K , который строго мажорируется u также мажорируется некоторым элементом S. , Точные верхние оценки приведенных произведений линейных порядков играют важную роль в теории ПКФ . [5]
См. также [ править ]
- Самый большой элемент и наименьший элемент
- Самый низкий и самый высокий
- Максимальные и минимальные элементы
Ссылки [ править ]
- ^ Перейти обратно: а б Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. п. 3. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
- ^ Мак Лейн, Сондерс ; Биркофф, Гаррет (1991). Алгебра Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . п. 145 . ISBN 0-8218-1646-2 .
- ^ «Определение верхней границы (Иллюстрированный математический словарь)» . Математика — это весело . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Верхняя граница» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
- ^ Койман, Менахем. «Точные верхние границы и их использование в теории множеств» .