Уменьшенный продукт

Чтобы узнать о приведенном произведении в алгебраической топологии, см. приведенное произведение Джеймса .

В теории моделей , разделе математической логики , и в алгебре приведенное произведение представляет собой конструкцию, обобщающую как прямое произведение , так и ультрапроизведение .

Пусть { S _я | i ∈ I } — непустое семейство структур одной и той же сигнатуры индексированное множеством I , и пусть U — собственный фильтр на I. σ , Область определения приведенного произведения представляет собой частное декартова произведения.

$\prod _{i\in I}S_{i}$

некоторым отношением эквивалентности ~: два элемента ( a _i ) и ( b _i ) декартова произведения эквивалентны, если

$\left\{i\in I:a_{i}=b_{i}\right\}\in U$

Если U содержит только I в качестве элемента, отношение эквивалентности тривиально, и приведенный продукт является просто прямым продуктом. Если U — ультрафильтр , то восстановленный продукт — это ультрапродукт.

Операции из σ интерпретируются на приведенном произведении путем точечного применения операции. Отношения интерпретируются

$R((a_{i}^{1})/{\sim },\dots ,(a_{i}^{n})/{\sim })\iff \{i\in I\mid R^{S_{i}}(a_{i}^{1},\dots ,a_{i}^{n})\}\in U.$

Например, если каждая структура является векторным пространством , то приведенное произведение представляет собой векторное пространство со сложением, определяемым как ( a + b ) _i = a _i + b _i, и умножением на скаляр c как ( ca ) _i = c a _i .

Ссылки

• Чанг, Чен Чунг ; Кейслер, Х. Джером (1990) [1973]. Теория моделей . Исследования по логике и основам математики (3-е изд.). Эльзевир. ISBN  978-0-444-88054-3 . , Глава 6.