Объем Малера

В выпуклой геометрии центрально малеров объем выпуклого -симметричного тела — безразмерная величина , связанная с телом и инвариантная относительно линейных преобразований . Он назван в честь немецко-английского математика Курта Малера . Известно, что фигурами с максимально возможным малеровским объемом являются шары и сплошные эллипсоиды ; теперь это известно как неравенство Бляшке – Сантало . До сих пор не решенная гипотеза Малера утверждает, что минимально возможный объем Малера достигается гиперкубом .

Определение

Выпуклое тело в евклидовом пространстве определяется как компактное выпуклое множество с непустой внутренностью. Если $B$ представляет собой центрально-симметричное выпуклое тело в $n$ -мерное евклидово пространство, полярное тело $B^{\circ }$ — другое центрально-симметричное тело в том же пространстве, определяемое как множество $\left\{x\mid x\cdot y\leq 1{\text{ for all }}y\in B\right\}.$ Объем Малера $B$ является произведением объемов $B$ и $B^{\circ }$ . ^{[ 1 ]}

Если $T$ является обратимым линейным преобразованием, то $(TB)^{\circ }=(T^{-1})^{\ast }B^{\circ }$ . Применение $T$ к $B$ умножает свой объём на $\det T$ и умножает объем $B^{\circ }$ к $\det(T^{-1})^{\ast }$ . Поскольку эти определители являются мультипликативными обратными , общий малеровский объем $B$ сохраняется при линейных преобразованиях.

Примеры

Полярное тело $n$ -мерная единичная сфера сама по себе является еще одной единичной сферой. Таким образом, его малеровский объем равен квадрату его объема:

{\frac {\Gamma (3/2)^{2n}4^{n}}{\Gamma ({\frac {n}{2}}+1)^{2}}}

где $\Gamma$ это гамма-функция . По аффинной инвариантности любой эллипсоид имеет одинаковый малеровский объем. ^{[ 1 ]}

Полярным телом многогранника или многогранника является его двойственный многогранник или двойственный многогранник . В частности, полярным телом куба или гиперкуба является октаэдр или перекрестный многогранник . Его малеровский объем можно рассчитать как ^{[ 1 ]}

{\frac {4^{n}}{\Gamma (n+1)}}.

Малеровский объем сферы примерно в два раза больше малеровского объема гиперкуба. $\left({\tfrac {\pi }{2}}\right)^{n}$ . ^{[ 1 ]}

Экстремальные формы

Нерешенная задача по математике :

Всегда ли малеровский объем центрально-симметричного выпуклого тела равен объему гиперкуба того же измерения?

(еще нерешенные задачи по математике)

Неравенство Бляшке-Сантало утверждает, что формы с максимальным объемом Малера представляют собой сферы и эллипсоиды. Трехмерный случай этого результата был доказан Вильгельмом Бляшке ( 1917 ); полный результат был доказан намного позже Луисом Сантало ( 1949 ) с использованием метода, известного как симметризация Штейнера , с помощью которого любое центрально-симметричное выпуклое тело можно заменить телом, более похожим на сферу, без уменьшения его малеровского объема. ^{[ 1 ]}

Формы с минимальным известным объемом Малера — это гиперкубы , перекрестные многогранники и, в более общем плане, многогранники Ханнера , которые включают эти два типа фигур, а также их аффинные преобразования. Гипотеза Малера утверждает, что малеровский объем этих фигур является наименьшим из любого n -мерного симметричного выпуклого тела; остается нерешенным, когда $n\geq 4$ . Как пишет Терри Тао : ^{[ 1 ]}

Основная причина, почему эта гипотеза настолько сложна, заключается в том, что в отличие от верхней границы , в которой существует по существу только один экстремайзер с точностью до аффинных преобразований (а именно, шар), для нижней границы существует множество различных экстремайзеров - не только куб и октаэдра, но также произведения кубов и октаэдров, полярные тела из произведений кубов и октаэдров, произведения полярных тел… ну, вы поняли. Действительно трудно представить себе какой-либо поток или процедуру оптимизации, которая сходилась бы именно к этим телам, а не к каким-либо другим; может потребоваться радикально иной тип аргументации.

Бургейн и Милман (1987) доказали, что объем Малера ограничен снизу $c^{n}$ раз больше объема сферы для некоторой абсолютной константы $c>0$ , что соответствует масштабируемому поведению объема гиперкуба, но с меньшей константой. Куперберг (2008) доказал, что, более конкретно, можно взять $c={\tfrac {1}{2}}$ в этом пределе. Результат этого типа известен как обратное неравенство Сантало .

Частичные результаты

Двумерный случай гипотезы Малера был решен Малером. ^{[ 2 ]} и трехмерный случай Ирие и Сибаты. ^{[ 3 ]}
Известно, что каждый из многогранников Ханнера является строгим локальным минимизатором малеровского объема в классе выпуклых тел, симметричных по началу координат, наделенных расстоянием Банаха–Мазура . Впервые это было доказано Назаровым, Петровым, Рябогиным и Звавичем для единичного куба: ^{[ 4 ]} и позже обобщен на все многогранники Ханнера Джегилом Кимом. ^{[ 5 ]}
Гипотеза Малера справедлива для зонотопов . ^{[ 6 ]}
Гипотеза Малера справедлива в классе безусловных тел , то есть выпуклых тел, инвариантных относительно отражения от каждой координатной гиперплоскости { x _i = 0}. Впервые это было доказано Сен-Раймоном в 1980 году. ^{[ 7 ]} Позже Мейер нашел гораздо более короткое доказательство. ^{[ 8 ]} В дальнейшем это было обобщено на выпуклые тела с группами симметрии , которые являются более общими группами отражений . Тогда минимизаторы не обязательно являются многогранниками Ханнера, но оказались правильными многогранниками, соответствующими группам отражений. ^{[ 9 ]}
Рейснер и др. (2010) показали, что минимизатор объема Малера должен иметь гауссову кривизну, равную нулю почти всюду на своей границе, что убедительно свидетельствует о том, что минимальное тело является многогранником. ^{[ 10 ]}

Для асимметричных тел

Объем Малера можно определить так же, как произведение объема на полярный объем, для выпуклых тел, внутренняя часть которых содержит начало координат независимо от симметрии. Малер предположил, что для этого обобщения минимальный объем получается симплексом с центром тяжести в начале координат. Как и в случае с симметричной гипотезой Малера, известны обратные неравенства Сантало, показывающие, что минимальный объем находится по крайней мере в пределах экспоненциального множителя симплекса. ^{[ 11 ]}

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Мужчина (2007) .
^ Малер, Курт (1939). «Минимальная задача для выпуклых многоугольников». Mathematica (Зутфен) Б : 118–127.
^ Ирие, Хироши; Сибата, Масатака (2020). «Симметричная гипотеза Малера для объемного произведения в трехмерном случае». Математический журнал Дьюка . 169 (6): 1077–1134. arXiv : 1706.01749 . дои : 10.1215/00127094-2019-0072 . МР 4085078 .
^ Nazarov et al. (2010)
^ Ким, Джегил (2014). «Произведение минимального объема вблизи многогранников Ханнера» . Журнал функционального анализа . 266 (4): 2360–2402. дои : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 .
^ Рейснер, Шломо (1986). «Зоноиды с минимальным объемом продукта». Математический журнал . 192 (3): 339–346. дои : 10.1007/BF01164009 .
^ Сен-Раймон, Дж. (1980). «Об объеме симметричных выпуклых тел». Вводный аналитический семинар . 81 .
^ Мейер, Матье (1986). «Объемная характеристика некоторых конечномерных стандартизированных пространств» . Израильский математический журнал . 55 (3): 317–326. дои : 10.1007/BF02765029 .
^ Барт, Ф.; Фраделизи, М. (апрель 2013 г.). «Объемное произведение выпуклых тел со многими симметриями». Американский журнал математики . 135 (2): 311–347. дои : 10.1353/ajm.2013.0018 . JSTOR 23525797 .
^ Райснер, Шломо; Шютт, Карстен; Вернер, Элизабет М. (2012). «Гипотеза Малера и кривизна». Уведомления о международных математических исследованиях . 2012 (1): 1–16. arXiv : 1009.3583 . дои : 10.1093/imrn/rnr003 .
^ Куперберг (2008) .

Ссылки

Блашке, Вильгельм (1917). «Сверхаффинная геометрия VII: Новые экстремальные свойства эллипса и эллипсоида». Бер. Женатый саксонец Академическая наука Лейпциг Матем.-Физ. Кл. (на немецком языке). 69 . Лейпциг: 412–420.
Бурген, Жан ; Мильман, Виталий Д. (1987). «Новые свойства объемного соотношения для выпуклых симметричных тел в $\mathbb {R} ^{n}$ ". Математические изобретения . 88 (2): 319–340. Бибкод : 1987InMat..88..319B . doi : 10.1007/BF01388911 . MR 0880954 .
Куперберг, Грег (2008). «От гипотезы Малера до связующих интегралов Гаусса». Геометрический и функциональный анализ . 18 (3): 870–892. arXiv : math/0610904 . дои : 10.1007/s00039-008-0669-4 . МР 2438998 .
Назаров, Федор; Петров, Федор; Рябогин Дмитрий; Звавич, Артем (2010). «Замечание к гипотезе Малера: локальная минимальность единичного куба». Математический журнал Дьюка . 154 (3): 419–430. arXiv : 0905.0867 . дои : 10.1215/00127094-2010-042 . МР 2730574 .
Сантало, Луис А. (1949). «Аффинный инвариант для выпуклых тел $n$ -мерное пространство». Portugaliae Mathematica (на испанском языке). 8 : 155–161. MR 0039293 .
Тао, Теренс (8 марта 2007 г.). «Открытый вопрос: гипотеза Малера о выпуклых телах» . Переработано и перепечатано в Тао, Теренс (2009). «3.8 Гипотеза Малера для выпуклых тел». Структура и случайность: страницы первого года математического блога . Американское математическое общество . стр. 216–219. ISBN 978-0-8218-4695-7 .

[tao-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Мужчина (2007) .

[2] Малер, Курт (1939). «Минимальная задача для выпуклых многоугольников». Mathematica (Зутфен) Б : 118–127.

[3] Ирие, Хироши; Сибата, Масатака (2020). «Симметричная гипотеза Малера для объемного произведения в трехмерном случае». Математический журнал Дьюка . 169 (6): 1077–1134. arXiv : 1706.01749 . дои : 10.1215/00127094-2019-0072 . МР 4085078 .

[4] Nazarov et al. (2010)

[5] Ким, Джегил (2014). «Произведение минимального объема вблизи многогранников Ханнера» . Журнал функционального анализа . 266 (4): 2360–2402. дои : 10.1016/j.jfa.2013.08.008 .

[6] Рейснер, Шломо (1986). «Зоноиды с минимальным объемом продукта». Математический журнал . 192 (3): 339–346. дои : 10.1007/BF01164009 .

[7] Сен-Раймон, Дж. (1980). «Об объеме симметричных выпуклых тел». Вводный аналитический семинар . 81 .

[8] Мейер, Матье (1986). «Объемная характеристика некоторых конечномерных стандартизированных пространств» . Израильский математический журнал . 55 (3): 317–326. дои : 10.1007/BF02765029 .

[9] Барт, Ф.; Фраделизи, М. (апрель 2013 г.). «Объемное произведение выпуклых тел со многими симметриями». Американский журнал математики . 135 (2): 311–347. дои : 10.1353/ajm.2013.0018 . JSTOR 23525797 .

[10] Райснер, Шломо; Шютт, Карстен; Вернер, Элизабет М. (2012). «Гипотеза Малера и кривизна». Уведомления о международных математических исследованиях . 2012 (1): 1–16. arXiv : 1009.3583 . дои : 10.1093/imrn/rnr003 .

[FOOTNOTEKuperberg2008-11] Куперберг (2008) .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

v т и Выпуклый анализ и вариационный анализ
Основные понятия	Выпуклая комбинация Выпуклая функция Выпуклый набор
Темы (список)	Теория Шоке Выпуклая геометрия Выпуклое метрическое пространство Выпуклая оптимизация Двойственность Множитель Лагранжа Преобразование Лежандра Локально выпуклое топологическое векторное пространство Симплекс
Карты	Выпуклое сопряжение Вогнутый ( Закрыто К- Логарифмически Правильный Псевдо- Квази- ) Выпуклая функция Функция инвекс Преобразование Лежандра Полунепрерывность Субпроизводная
Основные результаты (список)	Теорема Каратеодори Вариационный принцип Экланда Теорема Фенхеля – Моро. Неравенство Фенхеля-Янга Неравенство Дженсена Неравенство Эрмита–Адамара. Теорема Крейна – Милмана Лемма Мазура Лемма Шепли – Фолкмана. Робинсон-Урсеску Саймонс Урсеску
Наборы	Выпуклая оболочка ( Ортогонально , Псевдо- ) Выпуклое множество Эффективный домен Эпиграф Гипограф Джон эллипсоид Объектив Радиальное множество / Алгебраическая внутренняя часть Зонотоп
Ряд	Связанные выпуклые ряды ( (cs, lcs)-замкнутые , (cs, bcs)-полные , (нижние) идеально выпуклые , (H x ) и (Hw x ) )
Двойственность	Двойная система Разрыв двойственности Сильная двойственность Слабая двойственность
Приложения и сопутствующее	Выпуклость в экономике