Jump to content

Калаи 3 ^ д догадка

Нерешенная задача по математике :
Каждый ли -мерный центрально-симметричный многогранник имеют не менее непустые лица?

В геометрии , точнее в теории многогранников , 3 Калаи д Гипотеза — это гипотеза о полиэдральной комбинаторике , центрально-симметричных многогранников сделанная Гилом Калаи в 1989 году. [ 1 ] Он утверждает, что каждый d -мерный центрально-симметричный многогранник имеет не менее 3 д непустые грани (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество ).

Куб и правильный октаэдр — два примера, для которых граница гипотезы точна.

В двух измерениях простейшими центрально-симметричными выпуклыми многоугольниками являются параллелограммы , которые имеют четыре вершины, четыре ребра и один многоугольник: 4 + 4 + 1 = 9 = 3. 2 . Куб 8 + 12 + 6 + 1 = 27 центрально симметричен и имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных сторон и 1 тело: = 3. 3 . Другой трехмерный выпуклый многогранник , правильный октаэдр , также центрально-симметричен и имеет 6 вершин, 12 ребер, 8 треугольных сторон и 1 сплошную: 6 + 12 + 8 + 1 = 27 = 3. 3 .

В более высоких измерениях гиперкуб [0, 1] д имеет ровно 3 д грани, каждая из которых может быть определена путем указания для каждой из координатных осей d того, проецируется ли грань на эту ось в точку 0, точку 1 или интервал [0, 1]. В более общем смысле каждый многогранник Ханнера имеет ровно 3 д лица. Если гипотеза Калаи верна, эти многогранники будут принадлежать к числу центрально-симметричных многогранников с наименьшим возможным количеством граней. [ 1 ]

Известно, что эта гипотеза верна для . [ 2 ] Также известно, что это верно для симплициальных многогранников : в этом случае из гипотезы Имре Барани и Ласло Ловаса ( 1982 ) следует, что каждый центрально-симметричный симплициальный многогранник имеет по крайней мере столько же граней каждого измерения, сколько и перекрестный многогранник, доказанное Ричард Стэнли ( 1987 ). [ 3 ] [ 4 ] Действительно, эти две предыдущие статьи были процитированы Калаем как часть основы для выдвижения его гипотезы. [ 1 ] Другой специальный класс многогранников, для которых была доказана гипотеза, — это многогранники Хансена расщепляемых графов , которые использовались Рагнаром Фрейем, Маттиасом Хенце и Морицем Шмиттом и др. ( 2013 ), чтобы опровергнуть более сильные предположения Калаи. [ 5 ]

3 д гипотеза остается открытой для произвольных многогранников в более высоких измерениях.

[ редактировать ]

В той же работе, что и та, в которой 3 д Появляется гипотеза, Калаи выдвинул более сильную гипотезу о том, что f -вектор каждого выпуклого центрально-симметричного многогранника P доминирует над f -вектором по крайней мере одного многогранника Ханнера H той же размерности. Это означает, что для каждого числа i до размерности P количество i -мерных граней P больше или равно количеству i -мерных граней H. от 0 Если бы это было правдой, это подразумевало бы истинность 3 д догадка; однако позже более сильная гипотеза была опровергнута. [ 2 ]

Связанная с этим гипотеза, также приписываемая Калаи, известна как гипотеза полного флага и утверждает, что куб (а также каждый из многогранников Ханнера) имеет максимальное количество (полных) флагов , то есть d !2 д , среди всех центрально-симметричных многогранников. [ 6 ]

Наконец, оба 3 д Гипотезу и гипотезу полного флага иногда называют комбинаторными аналогами гипотезы Малера . Все три гипотезы утверждают, что многогранники Ханнера минимизируют определенные комбинаторные или геометрические величины, были решены в схожих частных случаях, но в целом широко открыты. В частности, гипотеза полного флага была решена в некоторых особых случаях с использованием геометрических методов. [ 7 ]

  1. ^ Jump up to: а б с Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR   1554357 , S2CID   8917264 .
  2. ^ Jump up to: а б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR   2471868 , S2CID   8483579 /
  3. ^ Ламб, Имре ; Ловас, Ласло (1982), «Теорема Борсука и количество граней центрально-симметричных многогранников», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 40 (3–4): 323–329, doi : 10.1007/BF01903592 , MR   0686332 , S2CID   12 2301493 .
  4. ^ Стэнли, Ричард П. (1987), «О количестве граней центрально-симметричных симплициальных многогранников», Graphs and Combinatorics , 3 (1): 55–66, doi : 10.1007/BF01788529 , MR   0932113 , S2CID   6524086 .
  5. ^ Фрей, Рагнар; Хенце, Матиас; Шмитт, Мориц В.; Циглер, Гюнтер М. (2013), «Числа граней центрально-симметричных многогранников, полученных из расщепленных графов» , Electronic Journal of Combinatorics , 20 (2): #P32, arXiv : 1201.5790 , doi : 10.37236/3315 , MR   3066371 .
  6. ^ Сенешаль, М. (Ред.). (2013). Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении. Springer Science & Business Media. Глава 22.10
  7. ^ Файфман Д., Верникос К. и Уолш К. (2023). Объемный рост геометрии Фанка и флаги многогранников. Препринт arXiv arXiv:2306.09268.
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: b48a67ca994b28a24def7e8943d00a4e__1723014000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/b4/4e/b48a67ca994b28a24def7e8943d00a4e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Kalai's 3^d conjecture - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)