Калаи 3 ^ ^д догадка

Нерешенная задача по математике :

Каждый ли

d

-мерный центрально-симметричный многогранник имеют не менее

3^{d}

непустые лица?

(еще нерешенные задачи по математике)

В геометрии , точнее в теории многогранников , 3 Калаи ^д Гипотеза — это гипотеза о полиэдральной комбинаторике , центрально-симметричных многогранников сделанная Гилом Калаи в 1989 году. ^{[ 1 ]} Он утверждает, что каждый d -мерный центрально-симметричный многогранник имеет не менее 3 ^д непустые грани (включая сам многогранник как грань, но не включая пустое множество ).

Примеры

В двух измерениях простейшими центрально-симметричными выпуклыми многоугольниками являются параллелограммы , которые имеют четыре вершины, четыре ребра и один многоугольник: 4 + 4 + 1 = 9 = 3. ². Куб 8 + 12 + 6 + 1 = 27 центрально симметричен и имеет 8 вершин, 12 ребер, 6 квадратных сторон и 1 тело: = 3. ³. Другой трехмерный выпуклый многогранник , правильный октаэдр , также центрально-симметричен и имеет 6 вершин, 12 ребер, 8 треугольных сторон и 1 сплошную: 6 + 12 + 8 + 1 = 27 = 3. ³.

В более высоких измерениях гиперкуб [0, 1] ^д имеет ровно 3 ^д грани, каждая из которых может быть определена путем указания для каждой из координатных осей d того, проецируется ли грань на эту ось в точку 0, точку 1 или интервал [0, 1]. В более общем смысле каждый многогранник Ханнера имеет ровно 3 ^д лица. Если гипотеза Калаи верна, эти многогранники будут принадлежать к числу центрально-симметричных многогранников с наименьшим возможным количеством граней. ^{[ 1 ]}

Статус

Известно, что эта гипотеза верна для $d\leq 4$ . ^{[ 2 ]} Также известно, что это верно для симплициальных многогранников : в этом случае из гипотезы Имре Барани и Ласло Ловаса ( 1982 ) следует, что каждый центрально-симметричный симплициальный многогранник имеет по крайней мере столько же граней каждого измерения, сколько и перекрестный многогранник, доказанное Ричард Стэнли ( 1987 ). ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Действительно, эти две предыдущие статьи были процитированы Калаем как часть основы для выдвижения его гипотезы. ^{[ 1 ]} Другой специальный класс многогранников, для которых была доказана гипотеза, — это многогранники Хансена расщепляемых графов , которые использовались Рагнаром Фрейем, Маттиасом Хенце и Морицем Шмиттом и др. ( 2013 ), чтобы опровергнуть более сильные предположения Калаи. ^{[ 5 ]}

3 ^д гипотеза остается открытой для произвольных многогранников в более высоких измерениях.

Связанные предположения

В той же работе, что и та, в которой 3 ^д Появляется гипотеза, Калаи выдвинул более сильную гипотезу о том, что f -вектор каждого выпуклого центрально-симметричного многогранника P доминирует над f -вектором по крайней мере одного многогранника Ханнера H той же размерности. Это означает, что для каждого числа i до размерности P количество i -мерных граней P больше или равно количеству i -мерных граней H. от 0 Если бы это было правдой, это подразумевало бы истинность 3 ^д догадка; однако позже более сильная гипотеза была опровергнута. ^{[ 2 ]}

Связанная с этим гипотеза, также приписываемая Калаи, известна как гипотеза полного флага и утверждает, что куб (а также каждый из многогранников Ханнера) имеет максимальное количество (полных) флагов , то есть d !2 ^д, среди всех центрально-симметричных многогранников. ^{[ 6 ]}

Наконец, оба 3 ^д Гипотезу и гипотезу полного флага иногда называют комбинаторными аналогами гипотезы Малера . Все три гипотезы утверждают, что многогранники Ханнера минимизируют определенные комбинаторные или геометрические величины, были решены в схожих частных случаях, но в целом широко открыты. В частности, гипотеза полного флага была решена в некоторых особых случаях с использованием геометрических методов. ^{[ 7 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 , S2CID 8917264 .
^ Jump up to: ^а ^б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR 2471868 , S2CID 8483579 /
^ Ламб, Имре ; Ловас, Ласло (1982), «Теорема Борсука и количество граней центрально-симметричных многогранников», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 40 (3–4): 323–329, doi : 10.1007/BF01903592 , MR 0686332 , S2CID 12 2301493 .
^ Стэнли, Ричард П. (1987), «О количестве граней центрально-симметричных симплициальных многогранников», Graphs and Combinatorics , 3 (1): 55–66, doi : 10.1007/BF01788529 , MR 0932113 , S2CID 6524086 .
^ Фрей, Рагнар; Хенце, Матиас; Шмитт, Мориц В.; Циглер, Гюнтер М. (2013), «Числа граней центрально-симметричных многогранников, полученных из расщепленных графов» , Electronic Journal of Combinatorics , 20 (2): #P32, arXiv : 1201.5790 , doi : 10.37236/3315 , MR 3066371 .
^ Сенешаль, М. (Ред.). (2013). Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении. Springer Science & Business Media. Глава 22.10
^ Файфман Д., Верникос К. и Уолш К. (2023). Объемный рост геометрии Фанка и флаги многогранников. Препринт arXiv arXiv:2306.09268.

[kalai-1] Jump up to: ^а ^б ^с Калаи, Гил (1989), «Число граней центрально-симметричных многогранников», Graphs and Combinatorics , 5 (1): 389–391, doi : 10.1007/BF01788696 , MR 1554357 , S2CID 8917264 .

[swz09-2] Jump up to: ^а ^б Саньял, Раман; Вернер, Аксель; Циглер, Гюнтер М. (2009), «О гипотезах Калаи относительно центрально-симметричных многогранников», Discrete & Computational Geometry , 41 (2): 183–198, arXiv : 0708.3661 , doi : 10.1007/s00454-008-9104-8 , MR 2471868 , S2CID 8483579 /

[3] Ламб, Имре ; Ловас, Ласло (1982), «Теорема Борсука и количество граней центрально-симметричных многогранников», Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae , 40 (3–4): 323–329, doi : 10.1007/BF01903592 , MR 0686332 , S2CID 12 2301493 .

[4] Стэнли, Ричард П. (1987), «О количестве граней центрально-симметричных симплициальных многогранников», Graphs and Combinatorics , 3 (1): 55–66, doi : 10.1007/BF01788529 , MR 0932113 , S2CID 6524086 .

[5] Фрей, Рагнар; Хенце, Матиас; Шмитт, Мориц В.; Циглер, Гюнтер М. (2013), «Числа граней центрально-симметричных многогранников, полученных из расщепленных графов» , Electronic Journal of Combinatorics , 20 (2): #P32, arXiv : 1201.5790 , doi : 10.37236/3315 , MR 3066371 .

[6] Сенешаль, М. (Ред.). (2013). Формирование пространства: исследование многогранников в природе, искусстве и геометрическом воображении. Springer Science & Business Media. Глава 22.10

[7] Файфман Д., Верникос К. и Уолш К. (2023). Объемный рост геометрии Фанка и флаги многогранников. Препринт arXiv arXiv:2306.09268.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]