Флаг (геометрия)

В (многогранной) , каждая из которых содержится в геометрии флаг — это последовательность граней многогранника следующем, и имеет ровно одну грань из каждого измерения .

Более формально, флаг $ψ$ n $F$ -многогранника — это набор ${F -1, F 0, ..., F n}$ такой, что $i ⩽ F i +1 ($ $-1 ⩽ i ⩽ n - 1)$ и при этом является в точности одним $F i$ в $ψ$ для каждого $($ i $-1 \leq i \leq n).$ Однако, поскольку минимальная грань $F -1$ и максимальная грань $F n$ должны присутствовать в каждом флаге, их часто исключают из списка граней в качестве сокращения. Последние два называются неправильными лицами.

Например, флаг многогранника состоит из одной вершины , одного ребра , инцидентного этой вершине, и одной многоугольной грани, инцидентной обеим, плюс две неправильные грани.

Многогранник можно считать правильным тогда и только тогда, когда его группа симметрии по транзитивна своим флагам. Это определение исключает киральные многогранники.

Геометрия падения

В более абстрактной геометрии инцидентности , которая представляет собой набор, имеющий симметричное и рефлексивное отношение , называемое инцидентностью, определенное для его элементов, флаг представляет собой набор взаимно инцидентных элементов. ^[1] Этот уровень абстракции обобщает как приведенную выше концепцию многогранника, так и связанную с ней концепцию флага из линейной алгебры.

Флаг является максимальным , если он не содержится в более крупном флаге. Геометрия инцидентности (Ω, $I$ ) имеет ранг $r,$ если Ω можно разбить на множества Ω ₁ , Ω ₂ , ..., Ω _$r$ , такие, что каждый максимальный флаг геометрии пересекает каждое из этих множеств ровно по одному элементу. В этом случае элементы множества Ω _$j$ называются элементами типа $j$ .

Следовательно, в геометрии ранга $r$ каждый максимальный флаг имеет ровно $r$ элементов.

Геометрию инцидентности ранга 2 обычно называют структурой инцидентности с элементами типа 1, называемыми точками, и элементами типа 2, называемыми блоками (или в некоторых ситуациях линиями). ^[2] Более формально,

Структура инцидентности — это тройка D = ( V , B ,

I

), где V и B — любые два непересекающихся множества, а

—

бинарное отношение между V и B , то есть

I

⊆ V × B. I Элементы V будем называть точками , элементы блоков B и элементы

I-

флагов . ^[3]

Примечания

^ Багспехер и Розенбаум 1998 , стр. 3
^ Багспехер и Розенбаум 1998 , стр. 5
^ Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986). Теория дизайна . Издательство Кембриджского университета . п. 15. . 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3

Ссылки

Бойтельспехер, Альбрехт; Розенбаум, Ют (1998), Проективная геометрия: от основ к приложениям , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-48277-1
Питер Р. Кромвель, Многогранники , Издательство Кембриджского университета, 1997, ISBN 0-521-55432-2
Питер МакМаллен , Эгон Шульте, Абстрактные правильные многогранники , издательство Кембриджского университета, 2002. ISBN 0-521-81496-0

[1] Багспехер и Розенбаум 1998 , стр. 3

[2] Багспехер и Розенбаум 1998 , стр. 5

[3] Бет, Томас; Юнгникель, Дитер ; Ленц, Ханфрид (1986). Теория дизайна . Издательство Кембриджского университета . п. 15. . 2-е изд. (1999) ISBN 978-0-521-44432-3

[1]

[2]

[3]