Хиральность (математика)

В геометрии фигура является хиральной (и говорят, что она обладает киральностью ), если она не идентична своему зеркальному изображению или, точнее, если ее нельзя отобразить в свое зеркальное изображение только с помощью вращений и перемещений . Объект, который не является хиральным, называется ахиральным .

Хиральный объект и его зеркальное отражение называются энантиоморфами . Слово хиральность происходит от греческого χείρ (хеир), рука, наиболее известный хиральный объект; Слово энантиоморф происходит от греческого ἐναντίος (энантиос) «противоположный» + μορφή (морфе) «форма».

Примеры

Тетромино . S и Z являются энантиоморфами в 2-мерном измерении
С	С

Некоторым киральным трехмерным объектам, таким как спираль , можно приписать праворукость или леворукость , согласно правилу правой руки .

Многие другие знакомые объекты демонстрируют ту же киральную симметрию человеческого тела, например перчатки и туфли. Правые туфли отличаются от левых только тем, что являются зеркальным отражением друг друга. Напротив, тонкие перчатки не могут считаться хиральными, если их можно носить наизнанку . ^[1]

J-, L-, S- и Z-образной формы Тетромино из популярной видеоигры «Тетрис» также проявляют хиральность, но только в двумерном пространстве. По отдельности они не содержат зеркальной симметрии на плоскости.

Хиральность и группа симметрии

Фигура является ахиральной тогда и только тогда, когда ее группа симметрии содержит хотя бы одну изометрию , меняющую ориентацию . (В евклидовой геометрии любую изометрию можно записать как $v\mapsto Av+b$ с ортогональной матрицей $A$ и вектор $b$ . Определитель $A$ тогда либо 1, либо −1. Если это -1, изометрия меняет ориентацию, в противном случае она сохраняет ориентацию.

Существует общее определение киральности, основанное на теории групп. ^[2] Это не относится ни к какой концепции ориентации: изометрия является прямой тогда и только тогда, когда она является произведением квадратов изометрий, а если нет, то это косвенная изометрия. Полученное в результате определение киральности работает в пространстве-времени. ^[3]^[4]

Хиральность в двух измерениях

Цветное ожерелье посередине **хирально** в двух измерениях; два других **ахиральны** .
Это означает, что как физические ожерелья на столе, левое и правое можно повернуть в зеркальное отображение, оставаясь при этом на столе. Однако тот, что посередине, придется взять и повернуть в трех измерениях.

Разносторонний треугольник не имеет зеркальной симметрии и, следовательно, является киральным многогранником в двух измерениях.

В двух измерениях каждая фигура, обладающая осью симметрии, является ахиральной, и можно показать, что каждая ограниченная ахиральная фигура должна иметь ось симметрии. ( Ось симметрии фигуры $F$ это линия $L$ , такой, что $F$ инвариантен относительно отображения $(x,y)\mapsto (x,-y)$ , когда $L$ выбран в качестве $x$ -ось системы координат.) По этой причине треугольник является ахиральным, если он равносторонний или равнобедренный , и киральным, если он разносторонний .

Рассмотрим следующий шаблон:

Эта фигура является хиральной, поскольку не идентична своему зеркальному изображению:

Но если продлить узор в обоих направлениях до бесконечности, получится (неограниченная) ахиральная фигура, не имеющая оси симметрии. Его группа симметрии представляет собой группу фризов, созданную одним скользящим отражением .

Хиральность в трех измерениях

В трех измерениях каждая фигура, обладающая зеркальной плоскостью симметрии S ₁ , центром инверсии симметрии S ₂ или более высокой неправильного вращения (роторного отражения) Sn _осью симметрии ^[5] является ахиральным. ( Плоскость симметрии фигуры $F$ это самолет $P$ , такой, что $F$ инвариантен относительно отображения $(x,y,z)\mapsto (x,y,-z)$ , когда $P$ выбран в качестве $x$ - $y$ -плоскость системы координат. Центр симметрии фигуры $F$ это точка $C$ , такой, что $F$ инвариантен относительно отображения $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ , когда $C$ выбран в качестве начала системы координат.) Однако обратите внимание, что существуют ахиральные фигуры, у которых нет ни плоскости, ни центра симметрии. Примером может служить рисунок

F_{0}=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}

который инвариантен относительно изометрии, изменяющей ориентацию $(x,y,z)\mapsto (-y,x,-z)$ и, следовательно, ахирален, но не имеет ни плоскости, ни центра симметрии. Фигура

F_{1}=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}

также является ахиральным, поскольку начало координат является центром симметрии, но у него нет плоскости симметрии.

Ахиральные фигуры могут иметь центральную ось .

Теория узлов

Узел если называется ахиральным, его можно непрерывно деформировать до зеркального отображения, в противном случае его называют киральным узлом . Например, узел и узел «восьмерка» являются ахиральными, тогда как узел «трилистник» является хиральным.

См. также

Ссылки

^ Тунг, Йок Чай; Ван, Ши Юнг (апрель 1997 г.). «Пример действия топологических резиновых перчаток человека». Журнал химического образования . 74 (4): 403. doi : 10.1021/ed074p403 .
^ Петижан, М. (2020). «Киральность в метрических пространствах. Памяти Мишеля Деза» . Письма об оптимизации . 14 (2): 329–338. дои : 10.1007/s11590-017-1189-7 .
^ Петижан, М. (2021). «Киральность в геометрической алгебре» . Математика . 9 (13). 1521. дои : 10.3390/math9131521 .
^ Петижан, М. (2022). «Хиральность в аффинных пространствах и пространстве-времени». arXiv : 2203.04066 [ math-ph ].
^ «2. Операции симметрии и элементы симметрии» . chemwiki.ucdavis.edu . 3 марта 2014 года . Проверено 25 марта 2016 г.

Дальнейшее чтение

Флапан, Эрика (2000). Когда топология встречается с химией . Перспективы. Издательство Кембриджского университета и Американская математическая ассоциация. ISBN 0-521-66254-0 .

Внешние ссылки

Симметрия, киральность, меры симметрии и меры киральности: общие определения
Киральные многогранники Эрика В. Вайсштейна , Демонстрационный проект Вольфрама .
Киральное многообразие в Атласе многообразий.

[1] Тунг, Йок Чай; Ван, Ши Юнг (апрель 1997 г.). «Пример действия топологических резиновых перчаток человека». Журнал химического образования . 74 (4): 403. doi : 10.1021/ed074p403 .

[2] Петижан, М. (2020). «Киральность в метрических пространствах. Памяти Мишеля Деза» . Письма об оптимизации . 14 (2): 329–338. дои : 10.1007/s11590-017-1189-7 .

[3] Петижан, М. (2021). «Киральность в геометрической алгебре» . Математика . 9 (13). 1521. дои : 10.3390/math9131521 .

[4] Петижан, М. (2022). «Хиральность в аффинных пространствах и пространстве-времени». arXiv : 2203.04066 [ math-ph ].

[5] «2. Операции симметрии и элементы симметрии» . chemwiki.ucdavis.edu . 3 марта 2014 года . Проверено 25 марта 2016 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]