Киральный многогранник
В изучении абстрактных многогранников киральный многогранник — это максимально симметричный многогранник, но не зеркально-симметричный, формализованный в терминах действия группы симметрии многогранника на его флаги .
Определение
[ редактировать ]Более техническое определение кирального многогранника — это многогранник, который имеет две орбиты флагов под своей группой симметрий , причем соседние флаги на разных орбитах. Это означает, что он должен быть транзитивным по вершинам , транзитивным по ребрам и транзитивным по граням , поскольку каждая вершина, ребро или грань должны быть представлены флагами на обеих орбитах; однако он не может быть зеркально-симметричным, поскольку каждая зеркальная симметрия многогранника меняла бы некоторую пару соседних флагов. [1]
Для целей этого определения группа симметрии многогранника может быть определена одним из двух разных способов: она может относиться к симметрии многогранника как геометрического объекта (в этом случае многогранник называется геометрически киральным ) или может будем называть симметрии многогранника комбинаторной структурой (автоморфизмами абстрактного многогранника ). Хиральность имеет смысл для любого типа симметрии, но два определения классифицируют разные многогранники как киральные или некиральные. [2]
Геометрически киральные многогранники
[ редактировать ]Геометрически киральные многогранники относительно экзотичны по сравнению с более обычными правильными многогранниками. Геометрически киральный многогранник не может быть выпуклым. [3] и многие известные геометрически киральные многогранники перекошены .
В трех измерениях
[ редактировать ]В трех измерениях геометрически киральный многогранник не может иметь конечное число конечных граней. Например, курносый куб является вершинно-транзитивным, но его флаги имеют более двух орбит, и он не является ни транзитивным по ребру, ни транзитивным по граням, поэтому он недостаточно симметричен, чтобы соответствовать формальному определению киральности. Квазиправильные многогранники и их двойники, такие как кубооктаэдр и ромбдодекаэдр , представляют собой еще один интересный тип почти промаха: они имеют две орбиты флагов, но зеркально симметричны, и не каждая соседняя пара флагов принадлежит разным орбитам. Однако, несмотря на отсутствие конечных киральных трехмерных многогранников, существуют бесконечные трехмерные киральные косые многогранники типов {4,6}, {6,4} и {6,6}. [2]
В четырех измерениях
[ редактировать ]![[икона]](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1c/Wiki_letter_w_cropped.svg/20px-Wiki_letter_w_cropped.svg.png){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, добавив к нему . ( январь 2024 г. ) |
В четырех измерениях существуют геометрически киральные конечные многогранники. Одним из примеров является куб Роли, косой многогранник на скелете 4-куба . [4] [5]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Шульте, Эгон ; Вайс, Асия Ивич (1991), «Киральные многогранники», Грицманн, П.; Штурмфельс Б. (ред.), Прикладная геометрия и дискретная математика (The Victor Klee Festschrift) , Серия DIMACS по дискретной математике и теоретической информатике, том. 4, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 493–516, MR 1116373 .
- ^ Перейти обратно: а б Шульте, Эгон (2004), «Киральные многогранники в обычном пространстве. I», Дискретная и вычислительная геометрия , 32 (1): 55–99, doi : 10.1007/s00454-004-0843-x , MR 2060817 , S2CID 13098983 .
- ^ Пеллисер, Дэниел (2012). «Развития и открытые проблемы киральных многогранников». Ars Mathematica Contemporanea . 5 (2): 333–354. дои : 10.26493/1855-3974.183.8a2 .
- ^ Брачо, Хавьер; Хабард, Изабель; Пеллисер, Дэниел (2014), «Конечный киральный 4-многогранник в ℝ 4 ", Дискретная и вычислительная геометрия
- ^ Монсон, Барри (2021), На кубике Роли , arXiv : 2102.08796
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Монсон, Барри; Писански, Томаж ; Шульте, Эгон; Вайс, Асия Ивич (2007), «Полусимметричные графы из многогранников», Журнал комбинаторной теории , серия A, 114 (3): 421–435, arXiv : math/0606469 , doi : 10.1016/j.jcta.2006.06.007 , МР 2310743 , S2CID 10203794 .
- Хабард, Изабель; Вайс, Асия Ивич (2005), «Самодуальность киральных многогранников», Журнал комбинаторной теории , серия A, 111 (1): 128–136, doi : 10.1016/j.jcta.2004.11.012 , MR 2144859 .
- Кондер, Марстон ; Хабард, Изабель; Писански, Томаж (2008), «Конструкции для киральных многогранников», Журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 77 (1): 115–129, doi : 10.1112/jlms/jdm093 , MR 2389920 , S2CID 14658184 .
- Монсон, Барри; Ивич Вайс, Азия (2008), «Графы Кэли и симметричные 4-многогранники» , Ars Mathematica Contemporanea , 1 (2): 185–205, doi : 10.26493/1855-3974.79.919 , MR 2466196 .