Узел трилистник

Эта статья о топологической концепции. Чтобы узнать о складке белка, см. складку узла-трилистника .

Трилистник
Общее имя	Верхний узел
Инвариант Арфа	1
Длина косы	3
Оплетка нет.	2
Номер моста.	2
Номер крестика.	1
Пересечение нет.	3
Род	1
Гиперболический объем	0
Палка нет.	6
Туннель №.	1
Развязывание нет.	1
Обозначение Конвея	[3]
Обозначение A – B	3 1
Обозначение Даукера	4, 6, 2
Последний/   следующий	0 1 /  4 1
Другой
чередующийся , тор , волокнистый , крендель , простой , срез узла , двусторонний , трехцветный , твист

В теории узлов , разделе математики , узел-трилистник является простейшим примером нетривиального узла . Трилистник можно получить, соединив два свободных конца обычного узла сверху , в результате чего образуется завязанная петля . Как простейший узел, трилистник имеет фундаментальное значение для изучения математической теории узлов.

Узел трилистник назван в честь растения трехлистного клевера (или трилистника).

Описания

Узел-трилистник можно определить как кривую, полученную из следующих параметрических уравнений :

${\begin{aligned}x&=\sin t+2\sin 2t\\y&=\cos t-2\cos 2t\\z&=-\sin 3t\end{aligned}}$

(2,3) -торический узел также является узлом-трилистником. Следующие параметрические уравнения дают (2,3)-торический узел, лежащий на торе $(r-2)^{2}+z^{2}=1$:

${\begin{aligned}x&=(2+\cos 3t)\cos 2t\\y&=(2+\cos 3t)\sin 2t\\z&=\sin 3t\end{aligned}}$

Видео по изготовлению узла «трилистник».

Верхний узел становится узлом-трилистником, соединяя концы.

Реализация узла трилистника.

Любая непрерывная деформация приведенной выше кривой также считается узлом-трилистником. В частности, любая кривая, изотопная узлу-трилистнику, также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистником считается и узла-трилистника. В топологии и теории узлов трилистник обычно определяется с использованием диаграммы узла вместо явного параметрического уравнения.

В алгебраической геометрии трилистник также можно получить как пересечение в C ² единицы 3-сферы S ³ с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z ² + ш ³ ( каспидальный куб ).

Левый трилистник и правый трилистник.

Если один конец ленты или ремня трижды перевернуть, а затем приклеить к другому, край образует узел-трилистник.

Симметрия

Узел-трилистник хиральный в том смысле, что узел-трилистник можно отличить от собственного зеркального отображения. Два получившихся варианта известны как левый трилистник и правый трилистник . Невозможно непрерывно деформировать левый трилистник в правый трилистник или наоборот. (То есть два трилистника не являются изотопными .)

Несмотря на хиральность, узел трилистника также является обратимым, а это означает, что нет различия между трилистником, ориентированным против часовой стрелки , и трилистником, ориентированным по часовой стрелке. То есть хиральность трилистника зависит только от верхнего и нижнего пересечений, а не от ориентации кривой.

Узел трилистник трехцветный .

Форма узла-трилистника без визуальной тройной симметрии.

Нетривиальность

Узел-трилистник нетривиален, а это означает, что невозможно «развязать» узел-трилистник в трех измерениях, не разрезая его. Математически это означает, что узел-трилистник не изотопен узлу . В частности, не существует последовательности ходов Райдемейстера , которая развязала бы трилистник.

Доказательство этого требует построения инварианта узла , который отличает трилистник от узла. Самый простой такой инвариант — трехцветность : трилистник трехцветный, а узел — нет. Кроме того, практически каждый полином основного узла отличает трилистник от узла, как и большинство других инвариантов сильного узла.

Классификация

В теории узлов трилистник — первый нетривиальный узел и единственный узел с номером пересечения три. Это простой узел , и он указан как 3 ₁ в обозначениях Александра-Бриггса . Обозначение Даукера для трилистника — 4 6 2, а обозначение Конвея — [3].

Трилистник можно описать как (2,3) -торический узел . Это также узел, полученный замыканием косы σ ₁ ³ .

Трилистник – это чередующийся узел . Однако это не узел-срез , то есть он не ограничивает гладкий двумерный диск в четырехмерном шаре; Один из способов доказать это — отметить, что его подпись не равна нулю. Другое доказательство состоит в том, что его полином Александера не удовлетворяет условию Фокса-Милнора .

Трилистник представляет собой волокнистый узел , что означает, что его дополнение в $S^{3}$ представляет собой расслоение над окружностью $S^{1}$. Трилистник K можно рассматривать как набор пар $(z,w)$ комплексных чисел таких, что $|z|^{2}+|w|^{2}=1$ и $z^{2}+w^{3}=0$. Тогда это расслоение имеет отображение Милнора $\phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|$ как проекция расслоения узла дополнения $S^{3}\setminus \mathbf {K}$ в круг $S^{1}$. Волокно представляет собой однажды проколотый тор . Поскольку дополнение к узлу также является слоем Зейферта с краем, оно имеет горизонтальную несжимаемую поверхность — это также слой отображения Милнора . (Это предполагает, что узел утолщен и превратился в полноторие N _ε ( K ), и что внутренняя часть этого полнотора была удалена, чтобы создать компактное дополнение к узлу. $S^{3}\setminus \operatorname {int} (\mathrm {N} _{\varepsilon }(\mathbf {K} )$.)

Инварианты

Полином Александера узла-трилистника равен

$$\Delta (t)=t-1+t^{-1},$$

и Конвея полином

$$\nabla (z)=z^{2}+1.$$

Джонса Полином ​

$$V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},$$

а полином Кауфмана трилистника равен

$$L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.$$

Полином ХОМФЛИ трилистника равен

$$L(\alpha ,z)=-\alpha ^{4}+\alpha ^{2}z^{2}+2\alpha ^{2}.$$

Группа узлов трилистника представлена ​​в презентации.

$$\langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle$$

или эквивалентно

$$\langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .$$

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

В религии и культуре

Трилистник, как простейший нетривиальный узел, является распространенным мотивом в иконографии и изобразительном искусстве . Например, распространенной формой символа трикетра является трилистник, как и некоторые версии германского Валькнута .

• 
  Древний норвежский кулон Мьёлльнир с трилистниками.
• 
  Простой трикетра символ
• 
  Плотно завязанный трикетра
• 
  Германский Валькнут
• 
  Металлический Валькнут в форме трилистника.
• 
  Кельтский крест с узлами-трилистниками.
• 
  Каролингский крест
• 
  Узел-трилистник в ATV логотипе
• 
  Математическая поверхность, границей которой является узел-трилистник под разными углами.

В современном искусстве гравюра М. « К. Эшера Узлы » изображает три узла-трилистника, твердые формы которых скручены по-разному.

См. также

• Ссылка на крендель
• Узел восьмерка (математика)
• Три символа
• Узел лапчатка
• Гордиев узел

Внешние ссылки

• Вольфрамальфа: (2,3)-торический узел
• 3д модель узла трилистника