Группа кос

Обычная коса из пяти прядей. Каждая стрелка составляет еще два элемента $B_{5}$.

В математике группа кос из n нитей (обозначается $B_{n}$), также известный как группа кос Артина , — это группа, элементы которой являются классами эквивалентности n -кос (например, при объемлющей изотопии ), а групповая операция — композиция кос (см. § Введение ). Примеры применения групп кос включают теорию узлов , где любой узел может быть представлен как замыкание определенных кос (результат, известный как теорема Александера ); в математической физике , где каноническое представление Артина группы кос соответствует уравнению Янга – Бакстера (см. § Основные свойства ); и в монодромии инвариантах алгебраической геометрии .

Введение

В этом введении пусть n = 4 ; обобщение на другие значения n будет простым. Рассмотрим два набора по четыре предмета, лежащие на столе, при этом предметы в каждом наборе расположены по вертикальной линии и так, что один набор расположен рядом с другим. (На иллюстрациях ниже это черные точки.) С помощью четырех нитей каждый предмет первого набора соединяется с предметом второго набора так, что получается взаимно однозначное соответствие. Такое соединение называется косой . Часто одни пряди придется пропускать над другими или под другими, и это крайне важно: следующие два соединения представляют собой разные косички:

отличается от

С другой стороны, два таких соединения, которым можно придать одинаковый вид, «вытягивая пряди», считаются одной и той же косой:

то же самое, что

Все пряди необходимо двигаться слева направо; такие узлы не считаются косами:

это не коса

Любые две косы можно составить , нарисовав первую рядом со второй, определив четыре элемента посередине и соединив соответствующие пряди:

составленный с

урожайность

Другой пример:

составленный с

урожайность

Композиция кос σ и τ записывается как στ .

Совокупность всех кос из четырех прядей обозначается через $B_{4}$. Приведенная выше композиция кос действительно является групповой операцией. Элементом идентичности является коса, состоящая из четырех параллельных горизонтальных прядей, а обратная сторона косы состоит из той косы, которая «отменяет» все, что делала первая коса, что получается путем переворачивания диаграммы, такой как приведенная выше, через вертикальную линию, идущую через его центр. (Первые два примера кос, приведенных выше, являются обратными друг другу.)

Приложения

Теория кос недавно была применена к механике жидкости , особенно к области хаотического перемешивания в потоках жидкости. Переплетение (2 + 1)-мерных пространственно-временных траекторий, образованных движением физических стержней, периодических орбит или «призрачных стержней» и почти инвариантных множеств, использовалось для оценки топологической энтропии нескольких искусственных и встречающихся в природе жидких систем. , с использованием классификации Нильсена-Терстона .

Другая область интенсивных исследований, связанных с группами кос и связанными с ними топологическими концепциями в контексте квантовой физики, - это теория и (предполагаемая) экспериментальная реализация предложенных частиц- анионов . Они вполне могут в конечном итоге стать основой для квантовых вычислений с коррекцией ошибок , и поэтому их абстрактное исследование в настоящее время имеет фундаментальное значение в квантовой информации .

Формальное обращение

Основная статья: Конфигурационное пространство (математика) § Связь с группами кос

Чтобы поставить вышеизложенное неформальное обсуждение групп кос на прочную почву, необходимо использовать гомотопическую концепцию алгебраической топологии , определяя группы кос как фундаментальные группы конфигурационного пространства . Альтернативно, можно определить группу кос чисто алгебраически через отношения кос, держа в уме изображения только для руководства интуицией.

Чтобы объяснить, как свести группу кос в смысле Артина к фундаментальной группе, рассмотрим связное многообразие $X$ размерности не менее 2. Симметричное произведение $n$ копии $X$ означает частное $X^{n}$, $n$-кратное декартово произведение $X$ перестановочным действием симметрической группы на $n$ нити, действующие на индексы координат. То есть упорядоченный $n$-tuple находится на той же орбите , что и любая другая его переупорядоченная версия.

Путь в $n$-кратно симметричное произведение — это абстрактный способ обсуждения $n$ точки $X$, рассматриваемый как неупорядоченный $n$-кортеж, независимо отслеживающий $n$ струны. Поскольку мы должны требовать, чтобы струны никогда не проходили друг через друга, необходимо перейти в подпространство $Y$ симметричного произведения орбит $n$-кортежи различных точек. То есть мы удаляем все подпространства $X^{n}$ определяется условиями $x_{i}=x_{j}$ для всех $1\leq i<j\leq n$. Это инвариант относительно симметричной группы, и $Y$ является фактором по симметричной группе неисключенного $n$-кортежи. В условиях размерности $Y$ будет подключен.

Тогда, используя это определение, мы можем назвать группу кос $X$ с $n$ струны фундаментальная группа $Y$ (при любом выборе базовой точки – это определено с точностью до изоморфизма). Случай, когда $X$ Евклидова плоскость является исходной плоскостью Артина. В некоторых случаях можно показать, что высшие гомотопические группы $Y$ тривиальны.

Закрытые косы

См. Также: Брунновская коса.

Когда X — плоскость, коса может быть замкнутой , т. е. соответствующие концы могут быть соединены попарно, образуя звено , т. е. возможно переплетенный союз возможно завязанных петель в трех измерениях. Число компонентов связи может быть любым от 1 до n , в зависимости от перестановки нитей, определяемой ссылкой. Теорема Дж. В. Александера показывает, что каждое звено можно получить таким образом как «замыкание» косы. Сравните со строковыми ссылками .

Разные косы могут порождать одно и то же звено, так же как разные схемы пересечений могут порождать один и тот же узел . В 1935 году Андрей Марков-младший описал два хода на диаграммах кос, которые приводят к эквивалентности в соответствующих замкнутых косах. Одноходовая версия теоремы Маркова была опубликована в 1997 году.

Воан Джонс первоначально определил свой многочлен как инвариант косы, а затем показал, что он зависит только от класса замкнутой косы.

Теорема Маркова дает необходимые и достаточные условия, при которых замыкания двух кос являются эквивалентными связями.

Индекс оплетки

«Индекс косы» — это наименьшее количество строк, необходимое для создания замкнутого представления ссылки в косе. Он равен наименьшему числу окружностей Зейферта в любой проекции узла.

История

Группы кос были явно введены Эмилем Артином в 1925 году, хотя (как Вильгельм Магнус в 1974 году отметил ) они уже подразумевались в Адольфа Гурвица работе о монодромии 1891 года.

Группы кос можно описать явными представлениями , как это показал Эмиль Артин в 1947 году. Группы кос понимаются и в более глубокой математической интерпретации: как фундаментальная группа определенных конфигурационных пространств .

Как говорит Магнус, Гурвиц дал интерпретацию группы кос как фундаментальной группы конфигурационного пространства (ср. теорию кос ), интерпретацию, которая была потеряна из поля зрения, пока она не была заново открыта Ральфом Фоксом и Ли Нойвиртом в 1962 году.

Основные свойства

Генераторы и отношения

Рассмотрим следующие три косы:

$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$

Каждая коса в $B_{4}$ можно записать как композицию нескольких таких кос и их обратных. Другими словами, эти три косы порождают группу $B_{4}$. Чтобы убедиться в этом, произвольную косу сканируют слева направо на предмет пересечений; начиная сверху, при каждом перекрещивании прядей $i$ и $i+1$ встречается, $\sigma _{i}$ или $\sigma _{i}^{-1}$ записывается в зависимости от того, является ли прядь $i$ перемещается под или над прядью $i+1$. Достигнув правого конца, коса записалась как произведение $\sigma$и их обратные.

Ясно, что

(я) $\sigma _{1}\sigma _{3}=\sigma _{3}\sigma _{1}$,

в то время как следующие два соотношения не столь очевидны:

(ииа) $\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1}=\sigma _{2}\sigma _{1}\sigma _{2}$,

(ИИБ) $\sigma _{2}\sigma _{3}\sigma _{2}=\sigma _{3}\sigma _{2}\sigma _{3}$

(эти отношения лучше всего можно оценить, нарисовав косу на листе бумаги). Можно показать, что все остальные отношения между косами $\sigma _{1}$, $\sigma _{2}$ и $\sigma _{3}$ уже следуют из этих соотношений и аксиом группы.

Обобщив этот пример на $n$ пряди, группа $B_{n}$ можно абстрактно определить с помощью следующего представления :

$B_{n}=\left\langle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}\mid \sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\right\rangle ,$

где в первой группе отношений $1\leq i\leq n-2$ а во второй группе отношений $i-j\geq 2$. Это представление приводит к обобщению групп кос, называемых группами Артина . Кубические отношения, известные как отношения кос , играют важную роль в теории уравнений Янга – Бакстера .

Дополнительные свойства

• Группа кос $B_{1}$ тривиально ​ , $B_{2}$ это бесконечная циклическая группа $\mathbb {Z}$, и $B_{3}$ изоморфна группе узлов – трилистника в частности, это бесконечная неабелева группа .
• Группа n -прядных кос $B_{n}$ встраивается как подгруппа в $(n+1)$группа кос из двух прядей $B_{n+1}$ добавив дополнительную нить, которая не пересекает ни одну из первых n нитей. Возрастающее объединение групп кос со всеми $n\geq 1$ это бесконечная группа кос $B_{\infty }$.
• Все неидентичные элементы $B_{n}$ иметь бесконечный порядок ; то есть, $B_{n}$ не имеет скручивания .
• Существует левоинвариантный линейный порядок на $B_{n}$ назывался орденом Дехорного .
• Для $n\geq 3$, $B_{n}$ содержит подгруппу, изоморфную свободной группе с двумя образующими.
• Существует гомоморфизм $B_{n}\to \mathbb {Z}$ определяется σ _i ↦ 1 . Так, например, коса σ ₂ σ ₃ σ ₁ ⁻¹ σ ₂ σ ₃ отображается в 1 + 1 − 1 + 1 + 1 = 3 . Это отображение соответствует абелианизации группы кос. Поскольку σ _i ^к ↦ k , то σ _i ^к является тождественным тогда и только тогда, когда $k=0$. Это доказывает, что генераторы имеют бесконечный порядок.

Взаимодействия

Связь с симметрической группой и группой чистых кос

Забывая, как пряди скручиваются и перекрещиваются, каждая коса из n прядей определяет перестановку из n элементов. Это присвоение совместимо с композицией и, следовательно, становится гомоморфизмом Bn → _из Sn групповым _{сюръективным} группы кос на симметрическую группу . Образ косы σi _∈ Bn — _это транспозиция si ₊ = ( i , i ∈ Sn _. 1 ) Эти транспозиции порождают симметрическую группу, удовлетворяют отношениям группы кос и имеют порядок 2. Это преобразует представление Артина группы кос в представление Кокстера симметричной группы:

$S_{n}=\left\langle s_{1},\ldots ,s_{n-1}|s_{i}s_{i+1}s_{i}=s_{i+1}s_{i}s_{i+1},s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}{\text{ for }}|i-j|\geq 2,s_{i}^{2}=1\right\rangle .$

Ядро на гомоморфизма Bn _и → Sn _, — это подгруппа Bn _{группой} называемая кос n нитях обозначаемая Pn _. чистых Это можно рассматривать как фундаментальную группу пространства из n наборов различных точек евклидовой плоскости. В чистой косе начало и конец каждой пряди находятся в одинаковом положении. Чистые группы кос укладываются в короткую точную последовательность.

$1\to F_{n-1}\to P_{n}\to P_{n-1}\to 1.$

Эта последовательность расщепляется, и поэтому чистые группы кос реализуются как итерированные полупрямые произведения свободных групп.

Связь между B ₃ и модульной группой

$B_{3}$ является универсальным центральным расширением модульной группы.

Группа кос $B_{3}$ является универсальным центральным расширением модульной группы $\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )$, причем они располагаются как решетки внутри (топологической) универсальной покрывающей группы

${\overline {\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )}}\to \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )$.

модулярная группа изоморфна факторгруппе Более того, модулярная группа имеет тривиальный центр, и, следовательно , $B_{3}$ по модулю его центра , $Z(B_{3}),$ и, что эквивалентно, группе внутренних автоморфизмов $B_{3}$.

Вот конструкция этого изоморфизма . Определять

$a=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{1},\quad b=\sigma _{1}\sigma _{2}$.

Из соотношений кос следует, что $a^{2}=b^{3}$. Обозначая этот последний продукт как $c$, из соотношений кос можно убедиться, что

$\sigma _{1}c\sigma _{1}^{-1}=\sigma _{2}c\sigma _{2}^{-1}=c$

подразумевая, что $c$ находится в центре $B_{3}$. Позволять $C$ обозначим подгруппу ​ $B_{3}$ порожденная c и , поскольку C ⊂ Z ( B3 _можно ) это нормальная подгруппа взять факторгруппу B3 _/ , C . Мы утверждаем, что B ₃ / C ≅ PSL(2, Z ) ; этому изоморфизму можно придать явный вид. Классы C σ ₁ C и σ ₂ отображаются в

$\sigma _{1}C\mapsto R={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\qquad \sigma _{2}C\mapsto L^{-1}={\begin{bmatrix}1&0\\-1&1\end{bmatrix}}$

где L и R — стандартные ходы влево и вправо на дереве Штерна–Броко ; хорошо известно, что эти ходы порождают модульную группу.

Альтернативно, одним из распространенных представлений модульной группы является

$\langle v,p\,|\,v^{2}=p^{3}=1\rangle$

где

$v={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},\qquad p={\begin{bmatrix}0&1\\-1&1\end{bmatrix}}.$

Отображение a в v и b в p дает гомоморфизм сюръективной группы B ₃ → PSL(2, Z ) .

Центр B ₃ равен C , что является следствием того факта, что c находится в центре, модулярная группа имеет тривиальный центр и указанный выше сюръективный гомоморфизм имеет ядро ​​C .

Связь с группой классов отображения и классификацией кос.

группа кос B _n Можно показать, что изоморфна группе классов отображений с проколотого диска n проколами . Это легче всего визуализировать, представляя каждый прокол соединенным веревкой с границей диска; тогда каждый гомоморфизм отображения, который переставляет местами два прокола, можно рассматривать как гомотопию струн, то есть сплетение этих струн.

С помощью этой интерпретации косы группой классов отображения каждая коса может быть классифицирована как периодическая, приводимая или псевдоаносова .

Связь с теорией узлов

Если дана коса и соединить первый левый элемент с первым правым элементом с помощью новой нити, второй левый элемент со вторым правым элементом и т. д. (без создания кос в новых нитях ), получается звено , а иногда и узел . Теорема Александера в теории кос утверждает, что верно и обратное: каждый узел и каждое звено возникают таким образом по крайней мере из одной косы; такую ​​косу можно получить, разрезав звено. Поскольку косы могут быть конкретно заданы в виде слов в генераторах σ _i , это часто является предпочтительным методом ввода узлов в компьютерные программы.

Вычислительные аспекты

Проблема слов для отношений кос эффективно разрешима и существует нормальная форма для элементов B _n в терминах образующих σ ₁ , ..., σ _{n −1} . (По сути, вычисление нормальной формы косы — это алгебраический аналог «выдергивания нитей», как показано в нашем втором наборе изображений выше.) Система компьютерной алгебры Free GAP может выполнять вычисления в B _n, если элементы заданы с точки зрения этих генераторов. Существует также пакет CHEVIE для GAP3 со специальной поддержкой групп кос. Проблема слов также эффективно решается с помощью представления Лоуренса-Краммера .

Помимо проблемы слов, существует несколько известных сложных вычислительных задач, которые могут реализовать группы кос, и приложения в криптографии . были предложены

Действия

По аналогии с действием симметричной группы перестановками, в различных математических постановках существует естественное действие группы кос на n -наборы объектов или на n -свернутое тензорное произведение , которое включает в себя некоторые «повороты». Рассмотрим произвольную группу G и пусть X — множество всех n наборов элементов группы G, которых является единичным элементом группы G. произведение Тогда Bn _: действует на X следующим образом

$\sigma _{i}\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{n}\right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1}x_{i}x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{n}\right).$

Таким образом, элементы x _i и x _{i +1} меняются местами и, кроме того, x _i скручивается внутренним автоморфизмом, соответствующим x _{i +1} – это гарантирует, что произведение компонентов x остается единичным элементом. Можно проверить, что соотношения группы кос выполняются и эта формула действительно определяет Bn _{групповое} на X. действие Другой пример: моноидальная категория со сплетением — это моноидальная категория с действием группы кос. Такие структуры играют важную роль в современной математической физике и приводят к инвариантам квантовых узлов .

Представительства

Элементы группы кос Bn _{более конкретно могут} быть представлены матрицами. Одним из классических таких представлений является представление Бурау , где элементы матрицы представляют собой полиномы Лорана с одной переменной . Давно стоял вопрос о том, является ли представление Бурау точным , но ответ оказался отрицательным для n ≥ 5 . В более общем смысле, это была серьезная открытая проблема, являются ли группы кос линейными . В 1990 году Рут Лоуренс описала семейство более общих «представлений Лоуренса», зависящих от нескольких параметров. В 1996 году Четан Наяк и Фрэнк Вильчек предположили, что по аналогии с проективными представлениями SO(3) проективные представления группы кос имеют физический смысл для некоторых квазичастиц в дробном квантовом эффекте Холла . Примерно в 2001 году Стивен Бигелоу и Даан Краммер независимо друг от друга доказали, что все группы кос линейны. В их работе использовалось Лоуренса-Краммера. представление измерения $n(n-1)/2$ в зависимости от переменных q и t . Путем соответствующей специализации этих переменных группа кос $B_{n}$ может быть реализована как подгруппа общей линейной группы над комплексными числами .

Бесконечно генерируемые группы кос

Есть много способов обобщить это понятие на бесконечное число нитей. Самый простой способ — взять прямой предел групп кос, где прикрепляющие отображения $f\colon B_{n}\to B_{n+1}$ отправить $n-1$ генераторы $B_{n}$ до первого $n-1$ генераторы $B_{n+1}$ (т.е. путем присоединения тривиальной нити). Однако эта группа не допускает метризуемой топологии, оставаясь при этом непрерывной.

Поль Фабель показал, что существует две топологии , которые можно наложить на результирующую группу, каждая из которых дает другую группу. Первая — очень ручная группа, изоморфная группе классов отображений бесконечно проколотого диска — дискретному набору проколов, ограничивающемуся границей диска .

Вторую группу можно рассматривать так же, как и группы конечных кос. Поместите прядь в каждую из точек $(0,1/n)$ и набор всех кос, где коса определяется как совокупность путей из точек $(0,1/n,0)$ по пунктам $(0,1/n,1)$ так что функция дает перестановку на конечных точках - изоморфна этой более дикой группе. Интересным фактом является то, что группа чистых кос в этой группе изоморфна как обратному пределу конечных групп чистых кос, так и обратному пределу конечных групп чистых кос. $P_{n}$ и фундаментальной группе гильбертова куба минус множество

$\{(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\mid x_{i}=x_{j}{\text{ for some }}i\neq j\}.$

Когомологии

См. Также: Конфигурационное пространство (математика) § Связь с группами кос.

Когомологии группы $G$ определяется как когомологии соответствующего Эйленберга – Маклейна классифицирующего пространства , $K(G,1)$, который представляет собой комплекс CW, однозначно определяемый $G$ вплоть до гомотопии. Классифицирующее пространство для группы кос $B_{n}$ это н ^й неупорядоченное конфигурационное пространство $\mathbb {R} ^{2}$, то есть набор $n$ отдельные неупорядоченные точки на плоскости:

$\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})=\{\{u_{1},...,u_{n}\}:u_{i}\in \mathbb {R} ^{2},u_{i}\neq u_{j}{\text{ for }}i\neq j\}$.

Итак, по определению

$H^{*}(B_{n})=H^{*}(K(B_{n},1))=H^{*}(\operatorname {UConf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})).$

Расчеты коэффициентов в $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$ можно найти у Фукса (1970).

Аналогично, классифицирующее пространство для группы чистых кос $P_{n}$ является $\operatorname {Conf} _{n}(\mathbb {R} ^{2})$, затем ^й упорядоченное конфигурационное пространство $\mathbb {R} ^{2}$. В 1968 году Владимир Арнольд показал, что целые когомологии группы чистых кос $P_{n}$ является фактором внешней алгебры, порожденной совокупностью классов первой степени. $\omega _{ij}\;\;1\leq i<j\leq n$, с учетом отношений

$\omega _{k,\ell }\omega _{\ell ,m}+\omega _{\ell ,m}\omega _{m,k}+\omega _{m,k}\omega _{k,\ell }=0.$

См. также

• Группа Артина-Титса
• Плетеная моноидальная категория
• Плетеное векторное пространство
• Плетеная алгебра Хопфа
• Теория узлов
• Некоммутативная криптография
• Сферическая группа кос

Дальнейшее чтение

• Бирман, Джоан ; Брендл, Тара Э. (26 февраля 2005 г.), Braids: A Survey , arXiv : math.GT/0409205 . В Менаско и Тистлтуэйте, 2005 г.
• Карлуччи, Лоренцо; Дехорной, Патрик ; Вейерманн, Андреас (2011), «Результаты о недоказуемости с использованием кос», Труды Лондонского математического общества , 3, 102 (1): 159–192, arXiv : 0711.3785 , doi : 10.1112/plms/pdq016 , MR   2747726 , S2CID   16467487
• Чернавский, А.В. (2001) [1994], «Теория кос» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Делинь, Пьер (1972), «Построения групп обобщенных кос», Inventiones Mathematicae , 17 (4): 273–302, Bibcode : 1972InMat..17..273D , doi : 10.1007/BF01406236 , ISSN   0020-9910 , MR   0422673 , S2CID   123680847
• Фокс, Ральф ; Нойвирт, Ли (1962), «Группы кос», Mathematica Scandinavica , 10 : 119–126, doi : 10.7146/math.scand.a-10518 , MR   0150755
• Кассель, Кристиан; Тураев, Владимир (2008), Braid Groups , Springer, ISBN  978-0-387-33841-5
• Менаско, Уильям ; Тистлтуэйт, Морвен , ред. (2005), Справочник по теории узлов , Elsevier, ISBN  978-0-444-51452-3

Внешние ссылки

• «Группа кос» . ПланетаМатематика .
• CRAG: Библиотека вычислений CRyptography и Groups из Стивенса. Университета Центра алгебраической криптографии
• Маколи, М. Лекция 1.3: Группы по науке, искусству и математике . Теория визуальных групп . Клемсонский университет.
• Бигелоу, Стивен . «Исследование Java-апплета B5» . Архивировано из оригинала 4 июня 2013 года . Проверено 1 ноября 2007 г.
• Страница Липмаа, Хельгера, Криптографии и групп кос , заархивировано из оригинала 3 августа 2009 г.
• Далвит, Эстер (2015). Косы – фильм .
• Шерих, Нэнси. Представления групп кос . Танцуй свою докторскую степень . более подробно раскрыто в книге «За математикой «Танцуй со своей докторской степенью», часть 1: группы кос».