Торовый узел

Премия EureleA за изображение (2,3)-тора узла.

В теории узлов — торический узел это особый вид узла , лежащий на поверхности незавязанного тора в R. ³. Аналогично, звено тора — это звено , лежащее на поверхности тора таким же образом. Каждый торический узел задается парой взаимно простых целых чисел p и q . Зацепление тора возникает, если p и q не взаимно просты (в этом случае число компонентов равно НОД ( p, q )). Торический узел тривиален (эквивалентен неузелку) тогда и только тогда, когда либо p , либо q равны 1 или −1. Простейшим нетривиальным примером является (2,3)-торический узел, также известный как узел-трилистник .

Геометрическое представление

Торический узел можно отобразить геометрически несколькими способами, которые топологически эквивалентны (см. «Свойства» ниже), но геометрически различны. В этой статье и ее рисунках используется следующее соглашение.

( p , q )-торический узел обматывает q раз вокруг круга внутри тора и p раз вокруг своей оси вращательной симметрии . ^{[примечание 1]}. Если p и q не взаимно просты, то мы имеем торическое звено с более чем одним компонентом.

Направление, в котором нити узла обвивают тор, также регулируется различными соглашениями. Чаще всего нити образуют правосторонний винт при pq > 0 . ^[3]^[4]^[5]

( p , q )-торический узел можно задать параметризацией

{\begin{aligned}x&=r\cos(p\phi )\\y&=r\sin(p\phi )\\z&=-\sin(q\phi )\end{aligned}}

где $r=\cos(q\phi )+2$ и $0<\phi <2\pi$ . Оно лежит на поверхности тора, заданного формулой $(r-2)^{2}+z^{2}=1$ (в цилиндрических координатах ).

Возможны и другие параметризации, поскольку узлы определяются с точностью до непрерывной деформации. Иллюстрации для (2,3)- и (3,8)-торических узлов можно получить, взяв $r=\cos(q\phi )+4$ , а в случае (2,3)-торического узла дополнительно вычитая соответственно $3\cos((p-q)\phi )$ и $3\sin((p-q)\phi )$ из приведенных выше параметризаций x и y . Последнее гладко обобщается на любые взаимно простые p,q, удовлетворяющие $p<q<2p$ .

Характеристики

Торический узел тривиален тогда и только тогда, когда либо p , либо q равны 1 или −1. ^[4]^[5]

Каждый нетривиальный торический узел является простым. ^[6] и хиральный . ^[4]

Торический узел ( p , q ) эквивалентен торическому узлу ( q , p ). ^[3]^[5] Это можно доказать, перемещая нити по поверхности тора. ^[7] Торический узел ( p ,− q ) является лицевой стороной (зеркальным изображением) торического узла ( p , q ). ^[5] Торический узел (− p ,− q ) эквивалентен торическому узлу ( p , q ), за исключением обратной ориентации.

Любой ( p , q )-торический узел можно сделать из замкнутой косы с p нитями. Подходящее слово для косы — ^[8]

(\sigma _{1}\sigma _{2}\cdots \sigma _{p-1})^{q}.

(Эта формула предполагает общепринятое соглашение о том, что генераторы кос представляют собой правые скручивания, ^[4]^[8]^[9]^[10] за которым не следует страница Википедии о косах.)

Число пересечений торического узла ( p , q ) с p , q > 0 определяется выражением

c знак равно min(( п -1) q , ( q -1) п ).

Род > торического узла с , q p 0 равен

g={\frac {1}{2}}(p-1)(q-1).

Полином Александера торического узла равен ^[3]^[8]

t^{k}{\frac {(t^{pq}-1)(t-1)}{(t^{p}-1)(t^{q}-1)}},

где

k=-{\frac {(p-1)(q-1)}{2}}.

Полином Джонса (правого) торического узла имеет вид

t^{(p-1)(q-1)/2}{\frac {1-t^{p+1}-t^{q+1}+t^{p+q}}{1-t^{2}}}.

Дополнением к торическому узлу в 3-сфере является многообразие Зейферта , расслоенное над диском двумя особыми слоями.

Пусть Y — p -кратная дурацкая шапочка с удаленным изнутри диском, Z — q -кратная дурацкая шапка с удаленным изнутри диском, а X — фактор-пространство, полученное путем отождествления Y и Z вдоль их граничного круга. Узловое дополнение деформации узла ( , q ) -тора втягивается в пространство X. p Поэтому группа узлов торического узла имеет представление

\langle x,y\mid x^{p}=y^{q}\rangle .

Торические узлы — единственные узлы, группы узлов которых имеют нетривиальный центр (который является бесконечным циклическим, порожденным элементом $x^{p}=y^{q}$ в презентации выше).

Коэффициент растяжения торического узла ( p , q ), как кривой в евклидовом пространстве , равен Ω(min( p , q )), поэтому торические узлы имеют неограниченные коэффициенты растяжения. Студент-исследователь Джон Пардон получил премию Моргана 2012 года за исследование, доказывающее этот результат, который решил проблему, первоначально поставленную Михаилом Громовым . ^[11]^[12]

Подключение к сложным гиперповерхностям

( p , q )-торические узлы возникают при рассмотрении зацепления изолированной комплексной гиперповерхностной особенности. Комплексную гиперповерхность пересекают гиперсферой с центром в изолированной особой точке и достаточно малым радиусом, так что она не охватывает и не сталкивается с какими-либо другими особыми точками. Пересечение дает подмногообразие гиперсферы.

Пусть p и q — взаимно простые целые числа, большие или равные двум. Рассмотрим голоморфную функцию $f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C}$ данный $f(w,z):=w^{p}+z^{q}.$ Позволять $V_{f}\subset \mathbb {C} ^{2}$ быть набором $(w,z)\in \mathbb {C} ^{2}$ такой, что $f(w,z)=0.$ Учитывая действительное число $0<\varepsilon \ll 1,$ мы определяем реальную трехсферу $\mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {R} ^{4}\hookrightarrow \mathbb {C} ^{2}$ как указано $|w|^{2}+|z|^{2}=\varepsilon ^{2}.$ Функция $f$ имеет изолированную критическую точку $(0,0)\in \mathbb {C} ^{2}$ с $\partial f/\partial w=\partial f/\partial z=0$ тогда и только тогда, когда $w=z=0.$ Таким образом, мы рассматриваем структуру $V_{f}$ близко к $(0,0)\in \mathbb {C} ^{2}.$ Для этого рассмотрим пересечение $V_{f}\cap \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}\subset \mathbb {S} _{\varepsilon }^{3}.$ Это пересечение является так называемым звеном особенности. $f(w,z)=w^{p}+z^{q}.$ Ссылка на $f(w,z)=w^{p}+z^{q}$ , где p и q взаимно просты и оба больше или равны двум, является в точности торическим узлом ( p , q ). ^[13]

Список

Рисунок справа — звено тора (72,4).

Развязать узел , 3 ₁ узел (3,2), 5 ₁ узел (5,2), 7 ₁ узел (7,2), 8 ₁₉ узел (4,3), 9 ₁ узел (9,2), 10 ₁₂₄ узла. (5,3)

Стол #	АБ	П	вопрос	Крест #
0	0 ₁			0
3а1	3 ₁	2	3	3
5а2	5 ₁	2	5	5
7а7	7 ₁	2	7	7
8н3	8 ₁₉	3	4	8
9а41	9 ₁	2	9	9
10н21	10 ₁₂₄	3	5	10
11а367		2	11	11
13a4878		2	13	13
14н21881		3	7	14
15н41185		4	5	15
15а85263		2	15	15
16н783154		3	8	16
		2	17	17
		2	19	19
		3	10	20
		4	7	21
		2	21	21
		3	11	22
		2	23	23
		5	6	24
		2	25	25
		3	13	26
		4	9	27
		2	27	27
		5	7	28
		3	14	28
		2	29	29
		2	31	31
		5	8	32
		3	16	32
		4	11	33
		2	33	33
		3	17	34
		6	7	35
		2	35	35
		5	9	36
		7	8	48
		7	9	54
		8	9	63

г -торический узел

Узел g-тора — это замкнутая кривая, нарисованная на g-торе . С технической точки зрения, это гомеоморфный образ круга в S³ , который можно реализовать как подмножество тела рода g -ручки в S³ (дополнением которого также является тело-ручка рода g ). Если ссылка является подмножеством тела ручки второго рода, это ссылка двойного тора . ^[14]

Для второго рода простейшим примером двойного торического узла, который не является торовым узлом, является узел в форме восьмерки . ^[15]^[16]

Примечания

^ Обратите внимание, что такое использование ролей p и q противоречит тому, что появляется. ^[1] Это также не соответствует изображениям, которые появляются в: ^[2]

См. также

Ссылки

^ Торовый узел в Wolfram Mathworld [1] .
^ «36 торических узлов», Атлас узлов. [2] .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узла . Математическая ассоциация Америки. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-88385-027-3 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мурасуги, Кунио (1996). Теория узлов и ее приложения . Биркхойзер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 3-7643-3817-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каваучи, Акио (1996). Обзор теории узлов . Биркхойзер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 3-7643-5124-1 .
^ Норвуд, FH (1 января 1982 г.). «Каждый двухобразующий узел прост» . Труды Американского математического общества . 86 (1): 143–147. дои : 10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2044414 .
^ Бейкер, Кеннет (28 марта 2011 г.). «pq — это q p» . Зарисовки топологии . Проверено 9 ноября 2020 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ликориш, WBR (1997). Введение в теорию узлов . Спрингер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-387-98254-Х .
^ Дехорной, П.; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2000). Почему косы можно заказать? (PDF) . п. ^{[ нужна страница ]}. Архивировано из оригинала (PDF) 15 апреля 2012 г. Проверено 12 ноября 2011 г.
^ Бирман, Дж. С.; Брендл, TE (2005). «Косы: обзор». В Менаско, В.; Тистлетуэйт, М. (ред.). Справочник по теории узлов . Эльзевир. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-444-51452-Х .
^ Кехо, Элейн (апрель 2012 г.), «Премия Моргана 2012 г.», Уведомления Американского математического общества , том. 59, нет. 4, стр. 569–571, doi : 10.1090/noti825 .
^ Пардон, Джон (2011), «Об искажении узлов на врезанных поверхностях», Annals of Mathematics , Second Series, 174 (1): 637–646, arXiv : 1010.1972 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.21 , MR 2811613 , S2CID 55567836
^ Милнор, Дж. (1968). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Издательство Принстонского университета. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-691-08065-8 .
^ Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и Связи . Опубликуй или погибни, Inc. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-914098-16-0 .
^ Хилл, Питер (декабрь 1999 г.). «О двухторовых узлах (I)» . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 08 (8): 1009–1048. дои : 10.1142/S0218216599000651 . ISSN 0218-2165 .
^ Норвуд, Фредерик (ноябрь 1989 г.). «Кривые поверхности» . Топология и ее приложения . 33 (3): 241–246. дои : 10.1016/0166-8641(89)90105-3 .

Внешние ссылки

[first-3] Обратите внимание, что такое использование ролей p и q противоречит тому, что появляется. ^[1] Это также не соответствует изображениям, которые появляются в: ^[2]

[1] Торовый узел в Wolfram Mathworld [1] .

[2] «36 торических узлов», Атлас узлов. [2] .

[livingston-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ливингстон, Чарльз (1993). Теория узла . Математическая ассоциация Америки. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-88385-027-3 .

[murasugi-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Мурасуги, Кунио (1996). Теория узлов и ее приложения . Биркхойзер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 3-7643-3817-2 .

[kawauchi-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Каваучи, Акио (1996). Обзор теории узлов . Биркхойзер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 3-7643-5124-1 .

[7] Норвуд, FH (1 января 1982 г.). «Каждый двухобразующий узел прост» . Труды Американского математического общества . 86 (1): 143–147. дои : 10.1090/S0002-9939-1982-0663884-7 . ISSN 0002-9939 . JSTOR 2044414 .

[8] Бейкер, Кеннет (28 марта 2011 г.). «pq — это q p» . Зарисовки топологии . Проверено 9 ноября 2020 г.

[lickorish-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ликориш, WBR (1997). Введение в теорию узлов . Спрингер. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-387-98254-Х .

[dehornoy-10] Дехорной, П.; Дынников Иван; Рольфсен, Дейл; Вист, Берт (2000). Почему косы можно заказать? (PDF) . п. ^{[ нужна страница ]}. Архивировано из оригинала (PDF) 15 апреля 2012 г. Проверено 12 ноября 2011 г.

[birman-11] Бирман, Дж. С.; Брендл, TE (2005). «Косы: обзор». В Менаско, В.; Тистлетуэйт, М. (ред.). Справочник по теории узлов . Эльзевир. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-444-51452-Х .

[12] Кехо, Элейн (апрель 2012 г.), «Премия Моргана 2012 г.», Уведомления Американского математического общества , том. 59, нет. 4, стр. 569–571, doi : 10.1090/noti825 .

[13] Пардон, Джон (2011), «Об искажении узлов на врезанных поверхностях», Annals of Mathematics , Second Series, 174 (1): 637–646, arXiv : 1010.1972 , doi : 10.4007/annals.2011.174.1.21 , MR 2811613 , S2CID 55567836

[MILNOR-14] Милнор, Дж. (1968). Особые точки комплексных гиперповерхностей . Издательство Принстонского университета. п. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-691-08065-8 .

[15] Рольфсен, Дейл (1976). Узлы и Связи . Опубликуй или погибни, Inc. ^{[ нужна страница ]}. ISBN 0-914098-16-0 .

[16] Хилл, Питер (декабрь 1999 г.). «О двухторовых узлах (I)» . Журнал теории узлов и ее разветвлений . 08 (8): 1009–1048. дои : 10.1142/S0218216599000651 . ISSN 0218-2165 .

[17] Норвуд, Фредерик (ноябрь 1989 г.). «Кривые поверхности» . Топология и ее приложения . 33 (3): 241–246. дои : 10.1016/0166-8641(89)90105-3 .

[примечание 1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[1]

[2]

v т и Теория узлов ( узлы и звенья )
Hyperbolic	Figure-eight (4₁) Three-twist (5₂) Stevedore (6₁) 6₂ 6₃ Endless (7₄) Carrick mat (8₁₈) Perko pair (10₁₆₁) Conway knot (11n34) Kinoshita–Terasaka knot (11n42) (−2,3,7) pretzel (12n242) Whitehead (5² ₁) Borromean rings (6³ ₂) L10a140
Satellite	Composite knots Granny Square Knot sum
Torus	Unknot (0₁) Trefoil (3₁) Cinquefoil (5₁) Septafoil (7₁) Unlink (0² ₁) Hopf (2² ₁) Solomon's (4² ₁)
Invariants	Alternating Arf invariant Bridge no. 2-bridge Brunnian Chirality Invertible Crosscap no. Crossing no. Finite type invariant Hyperbolic volume Khovanov homology Genus Knot group Link group Linking no. Polynomial Alexander Bracket HOMFLY Jones Kauffman Pretzel Prime list Stick no. Tricolorability Unknotting no. and problem
Notation and operations	Alexander–Briggs notation Conway notation Dowker–Thistlethwaite notation Flype Mutation Reidemeister move Skein relation Tabulation
Other	Alexander's theorem Berge Braid theory Conway sphere Complement Double torus Fibered Knot List of knots and links Ribbon Slice Sum Tait conjectures Twist Wild Writhe Surgery theory
Category Commons