гомологии Хованова

В математике гомологии Хованова — это ориентированный инвариант зацепления , возникающий как когомологии коцепного комплекса . Его можно рассматривать как категоризацию полинома Джонса .

Его разработал в конце 1990-х годов Михаил Хованов .

Обзор

Любой диаграмме зацеплений D, представляющей зацепку L , мы сопоставляем скобку Хованова [ D ] — коцепной комплекс градуированных векторных пространств . Это аналог скобки Кауфмана в построении полинома Джонса . Далее мы нормализуем [ D ] серией сдвигов степени (в градуированных векторных пространствах ) и сдвигов высоты (в комплексе коцепей ), чтобы получить новый комплекс коцепей C ( D ). Когомологии характеристика этого коцепного комплекса оказываются инвариантом L , эйлерова а его градуированная — Джонса от L. полиномом

Определение

Это определение соответствует формализму, данному в статье Дрора Бар-Натана 2002 года.

Пусть { l } обозначает операцию сдвига степени в градуированных векторных пространствах, то есть однородный компонент в измерении m сдвигается вверх до измерения m + l .

Аналогично, пусть [ s ] обозначает операцию сдвига высоты в коцепных комплексах, то есть r -е векторное пространство или модуль в комплексе сдвигается на ( r + s )-е место, при этом все дифференциальные отображения сдвигаются соответствующим образом.

Пусть V — градуированное векторное пространство с одним генератором q степени 1 и одним генератором q ⁻¹ степени −1.

Теперь возьмем произвольную диаграмму D, ссылку L. представляющую Аксиомы скобки Хованова следующие:

1. [ ø ] = 0 → Z → 0, где ø обозначает пустую ссылку.
2. [ O D ] = V ⊗ [ D ] , где O обозначает несвязанный тривиальный компонент.
3. [ D ] знак равно F (0 → [ D ₀ ] → [ D ₁ ] {1} → 0)

В третьем из них F обозначает операцию "сглаживания", при которой одиночный комплекс образуется из двойного комплекса путем взятия прямых сумм по диагоналям. Кроме того, D ₀ обозначает «0-сглаживание» выбранного пересечения в D , а D ₁ обозначает «1-сглаживание», аналогично соотношению мотка для скобки Кауфмана.

Далее построим "нормированный" комплекс C ( D ) = [ D ] [− n ₋ ]{ n ₊ − 2 n ₋ }, где n ₋ обозначает количество левых пересечений в выбранной диаграмме для D , а n ₊ количество правых пересечений.

Гомологии Хованова L C тогда определяются как когомологии H ( L ) этого комплекса ( D ) . Оказывается, гомологии Хованова действительно являются инвариантом L и не зависят от выбора диаграммы. Градуированная эйлерова характеристика H ( L ) оказывается полиномом Джонса L. от Однако , что H ( L было показано ) содержит больше информации о L, чем полином Джонса , но точные детали еще не до конца изучены.

В 2006 году Дрор Бар-Натан разработал компьютерную программу для расчета гомологии (или категории) Хованова для любого узла.

теории

Одним из наиболее интересных аспектов гомологии Хованова является то, что ее точные последовательности формально подобны тем, которые возникают в гомологиях Флоера 3 -многообразий . Более того, оно было использовано для получения еще одного доказательства результата, впервые продемонстрированного с использованием калибровочной теории и ее родственников: нового доказательства Якоба Расмуссена теоремы Питера Кронхаймера и Томаша Мровки , ранее известной как гипотеза Милнора (см. ниже). Существует спектральная последовательность, связывающая гомологии Хованова с гомологиями узла Флоера Петера Ожвата и Золтана Сабо (Dowlin 2018). Эта спектральная последовательность подтвердила более раннюю гипотезу о взаимосвязи между двумя теориями (Данфилд и др., 2005). Другая спектральная последовательность (Ожсват-Сабо, 2005) связывает вариант гомологий Хованова с гомологиями Хигорада Флоера разветвленного двойного накрытия вдоль узла. Третий (Bloom 2009) сходится к варианту монопольной гомологии Флоера разветвленного двойного накрытия. В 2010 году Кронхаймер и Мровка продемонстрировали спектральную последовательность, примыкающую к их группе гомологий Флоера инстантонного узла, и использовали ее, чтобы показать, что гомология Хованова (как и гомология Флоера инстантонного узла) обнаруживает неузел.

Гомологии Хованова связаны с теорией представлений алгебры Ли sl ₂ . С тех пор Михаил Хованов и Лев Розанский определили гомологии, теории _{связанные с sl n} для всех n . В 2003 году Катарина Строппель расширила гомологии Хованова до инварианта клубков (категоризированная версия инвариантов Решетихина-Тураева), который также обобщается на sl _n для всех n . Пол Зейдель и Иван Смит построили теорию гомологий одноградуированных узлов, используя гомологию Флоера лагранжевого пересечения , которая, как они предполагают, изоморфна одноградуированной версии гомологий Хованова. Чиприан Манолеску с тех пор упростил их конструкцию и показал, как восстановить полином Джонса из коцепного комплекса, лежащего в основе его версии инварианта Зейделя-Смита .

Связь со связующими (узловыми) полиномами

На Международном конгрессе математиков в 2006 году Михаил Хованов дал следующее объяснение отношения к узловым полиномам с точки зрения гомологии Хованова. Отношение мотка для трех звеньев $L_{1},L_{2}$ и $L_{3}$ описывается как

$\lambda P(L_{1})-\lambda ^{-1}P(L_{2})=(q-q^{-1})P(L_{3}).$

Замена $\lambda =q^{n},n\leq 0$ приводит к полиномиальному инварианту связи $P_{n}(L)\in \mathbb {Z} [q,q^{-1}]$, нормированный так, что

${\begin{aligned}P_{n}(unknot)&=q^{n-1}+q^{n-3}+\cdots +q^{1-n}&&n>0\\P_{0}(unknot)&=1\end{aligned}}$

Для $n>1$ полином $P_{n}(L)$ можно интерпретировать с помощью теории представлений квантовой группы $U_{q}(sl(n))$ и $P_{0}(L)$ через квантовую супералгебру Ли $U_{q}(gl(1|1))$.

• Полином Александера $P_{0}(L)$ является эйлеровой характеристикой биградуированной теории гомологий узлов.
• $P_{1}(L)=1$ тривиально.
• Джонса Полином $P_{2}(L)$ является эйлеровой характеристикой биградуированной теории гомологий зацеплений.
• Весь полином HOMFLY-PT является эйлеровой характеристикой тройной градуированной теории гомологии зацеплений.

Приложения

Первое применение гомологии Хованова было предложено Якобом Расмуссеном, который определил s- инвариант, используя гомологии Хованова. Этот целочисленный инвариант узла дает оценку рода срезов и достаточен для доказательства гипотезы Милнора .

В 2010 году Кронхаймер и Мровка доказали, что гомология Хованова обнаруживает узел . Теория с категоризацией содержит больше информации, чем теория без категоризации. Хотя гомологии Хованова обнаруживают узел, пока неизвестно, делает ли это полином Джонса .

Ссылки

• Бар-Натан, Дрор (2002), «О классификации полинома Джонса Ховановым», Алгебраическая и геометрическая топология , 2 : 337–370, arXiv : math.QA/0201043 , Bibcode : 2002math......1043B , doi : 10.2140/agt.2002.2.337 , MR   1917056 , S2CID   11754112 .
• Блум, Джонатан М. (2011), «Спектральная последовательность хирургии связей в гомологиях Флоера монополя», Advances in Mathematics , 226 (4): 3216–3281, arXiv : 0909.0816 , doi : 10.1016/j.aim.2010.10.014 , МР   2764887 , S2CID   11791207 .
• Данфилд, Натан М.; Гуков, Сергей ; Расмуссен, Джейкоб (2006), «Суперполином для гомологий узлов» , Экспериментальная математика , 15 (2): 129–159, arXiv : math.GT/0505662 , doi : /10586458.2006.10128956 , MR   2253002 , 3060662   10.1080 .
• Хованов, Михаил (2000), «Категоризация полинома Джонса», Duke Mathematical Journal , 101 (3): 359–426, arXiv : math.QA/9908171 , doi : 10.1215/S0012-7094-00-10131-7 , МР   1740682 , S2CID   119585149 .
• Хованов, Михаил (2006), «Гомология и категоризация связей», Международный конгресс математиков. Том. II , Цюрих: Европейское математическое общество, стр. 989–999, arXiv : math.GT/0605339 , MR   2275632 .
• Озсват, Питер ; Сабо, Золтан (2005), «О гомологиях Хигорада Флоера разветвленных двойных накрытий», Advance in Mathematics , 194 (1): 1–33, arXiv : math.GT/0309170 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05 .008 , MR   2141852 , S2CID   17245314 .
• Строппель, Катарина (2005), «Категорификация категорий Темперли-Либа, клубков и кобордизмов с помощью проективных функторов», Duke Mathematical Journal , 126 (3): 547–596, CiteSeerX   10.1.1.586.3553 , doi : 10.1215/S0012 -7094-04-12634-Х , МР   2120117 .

Внешние ссылки

• Гомологии Хованова - детектор узла Кронхаймера и Мровки .
• Рукописные слайды выступления М.Хованова
• « Гомологии Хованова », Атлас узлов .