Скобочный полином

В математической области теории узлов ( скобочный полином также известный как скобка Кауфмана ) является полиномиальным инвариантом оснащенных связей . Хотя он не является инвариантом узлов или связей (поскольку он не инвариантен относительно движений Райдемейстера типа I ), подходящим образом «нормализованная» версия дает знаменитый инвариант узла, называемый полиномом Джонса . Многочлен в скобках играет важную роль в объединении полинома Джонса с другими квантовыми инвариантами . В частности, интерпретация Кауфмана полинома Джонса допускает обобщение на инварианты трехмерных многообразий .

Скобочный полином был открыт Луисом Кауфманом в 1987 году.

Определение

Скобочный полином любой (неориентированной) диаграммы связей $L$, обозначенный $\langle L\rangle$, является полиномом от переменной $A$, характеризующийся тремя правилами:

• $\langle \bigcirc \rangle =1$, где $\bigcirc$ это стандартная диаграмма узла
• 
• $\langle \bigcirc \sqcup L\rangle =(-A^{2}-A^{-2})\langle L\rangle$

Картинки во втором правиле представляют собой скобки диаграмм связей, которые внутри диска различаются, как показано, но идентичны снаружи. Третье правило означает, что добавление круга, не пересекающегося с остальной частью диаграммы, умножает скобку оставшейся диаграммы на $-A^{2}-A^{-2}$.

Дальнейшее чтение

• Луи Х. Кауфман, Модели состояний и полином Джонса. Топология 26 (1987), вып. 3, 395–407. (вводит скобочный полином)

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Полином в скобках» . Математический мир .